同济大学信号与系统第五章第2讲_滤波器

1、 5.4 理想的低通滤波器理想的低通滤波器一、理想的低通滤波器及其频率特性一、理想的低通滤波器及其频率特性)()()(jeHH定义：一个理想的低通滤波器允许低于截止定义：一个理想的低通滤波器允许低于截止 频率频率 c的所有频率分量无失真地通过，而对高于的所有频率分量无失真地通过，而对高于 c的所有的所有频率分量能完全抑制。频率分量能完全抑制。频率特性：频率特性：0 1)(Hcc其中其中,t0为通过理想低通滤为通过理想低通滤波器后的响应相对于激励波器后的响应相对于激励的延迟时间的延迟时间0, 1,0)()(tHdeHHthtj)(21)()(1F Fdeecctjtj021)()(sin)(21

2、00)(|0ttttttjecccdttjcc)(0ttSacc二、理想的低通滤波器的冲激响应二、理想的低通滤波器的冲激响应0(1)t)(h(t)的波形：的波形：不同于不同于 (t)的波形，产生了严重的失真。这是因为理的波形，产生了严重的失真。这是因为理想低通滤波器是频带有限系统，而想低通滤波器是频带有限系统，而 (t)的频带宽度是的频带宽度是无限的，经理想低通滤波器加工，必然对信号波形产无限的，经理想低通滤波器加工，必然对信号波形产生影响：生影响：凡是高于凡是高于 c的频率分量都衰减为零。的频率分量都衰减为零。1、 (t)在在t=0时刻作用于系统，而系统响应时刻作用于系统，而系统响应h(t)

3、在在 t=t0时刻才达到最大峰值，表明系统有延时刻才达到最大峰值，表明系统有延 时作用；时作用；2、h(t) 比比 (t)的波形展宽了许多，表明的波形展宽了许多，表明 (t)的的 高频分量被滤波器衰减掉了；高频分量被滤波器衰减掉了；3、冲激响应、冲激响应h(t)在在t0时，响应值已经存在，时，响应值已经存在， 即系统的响应超前于激励，所以：理想低通即系统的响应超前于激励，所以：理想低通 滤波器是非因果系统，在物理上无法实现。滤波器是非因果系统，在物理上无法实现。 实际的滤波器是它的逼近。实际的滤波器是它的逼近。已知理想的低通滤波器的频率特性为已知理想的低通滤波器的频率特性为cctjeH, 0,

4、)(0输入阶跃信号的频谱为输入阶跃信号的频谱为jE1)()(四、理想低通滤波器的阶跃响应四、理想低通滤波器的阶跃响应于是阶跃响应的傅立叶变换为于是阶跃响应的傅立叶变换为)(1)()()()(0ctjejHEGdeejtgcctjtj01)(21)(所以：所以：ccdjettj)(02121ccccdttdjtt)(sin21)(cos212100cdtt00)()()()(sin1210000ttdttttc)(121sin121)(0)(00ttSidxxxtgcttc代入上式代入上式)(0ttx令令式中式中)(sin00ttydxxxySSi(y)被称为正弦积分函数。画出被称为正弦积分函数

5、。画出g(t)的波形的波形滤波器的作用使阶跃响应有了一个时间延迟；滤波器的作用使阶跃响应有了一个时间延迟；阶跃响应有一个上升时间；阶跃响应有一个上升时间；t0时时,g(t) 0，也说明理想的低通滤波器，也说明理想的低通滤波器 是一个非是一个非因果系统。因果系统。阶跃响应的上升时间与系统截止频率成反比；阶跃响应的上升时间与系统截止频率成反比；2cB 利用低通滤波，从频域角度，相当于为激励的频谱利用低通滤波，从频域角度，相当于为激励的频谱开窗，在窗口内仅能看到一部分频率分量。开窗，在窗口内仅能看到一部分频率分量。利用矩形窗函数取信号频谱时，在时域的不连续点利用矩形窗函数取信号频谱时，在时域的不连续

6、点要出现上冲，理论研究表明，采用其他形式的窗函要出现上冲，理论研究表明，采用其他形式的窗函数有可能消除上冲。如选用升余弦类型的窗函数。数有可能消除上冲。如选用升余弦类型的窗函数。理想低通对矩形脉冲的响应理想低通对矩形脉冲的响应)()(1)( 1)()()(001ttSittSitrtututecc矩形脉冲的表示式为：矩形脉冲的表示式为：其理想低通响应：其理想低通响应：RLjLCCjRLjCjRjVjVjH212111111)()()()(2)()(11)(jccejHjjH理想低通滤波器不可以实现，但理想低通滤波器不可以实现，但可逼近。可逼近。LRC低通滤波电路如右低通滤波电路如右图所示：图所

7、示：CLR LCc1若若记记5.5 系统的物理可实现性和佩利系统的物理可实现性和佩利-维纳准则维纳准则222)(11)(ccjH系统可实现的准则：系统可实现的准则：h(t)=0, t0的部的部分，即是物理可实现系统：分，即是物理可实现系统：0)()(0tttSH( )物理可实现的物理可实现的必要条件必要条件是是dH21)(ln如果系统函数的幅度特性在某一限定的频带内为零如果系统函数的幅度特性在某一限定的频带内为零,即即则取对数后则取对数后0)(jH上式积分不收敛，则系统不可实现，因此理想低通、上式积分不收敛，则系统不可实现，因此理想低通、高通、带通滤波器均不可实现。高通、带通滤波器均不可实现。

8、)(lnjH2、频域准则（佩利、频域准则（佩利-维纳准则）维纳准则）)2lim(2)arctan(2lim)111 (11)ln(1)(ln222222BBBdddedjHBB2)( ejH对于高斯（钟型）函数对于高斯（钟型）函数利用佩利利用佩利-维纳准则：维纳准则：系统不可实现系统不可实现佩利佩利-维纳准则要求可实现网络的幅度衰减不能过于维纳准则要求可实现网络的幅度衰减不能过于迅速。对于由有理多项式构成的幅度特性，能够满迅速。对于由有理多项式构成的幅度特性，能够满足佩利足佩利-维纳准则。维纳准则。佩利佩利-维纳准则仅从幅度特性提出要求，而在相位方维纳准则仅从幅度特性提出要求，而在相位方面没有

9、约束。假定将一物理可实现系统的冲激响应面没有约束。假定将一物理可实现系统的冲激响应左移，成为非因果系统，则仍满足幅度要求，而实左移，成为非因果系统，则仍满足幅度要求，而实际成了非物理可实现系统。际成了非物理可实现系统。因此，佩利因此，佩利-维纳准则仅是必要条件。维纳准则仅是必要条件。满足佩利满足佩利-维纳准则，可找到适当的相位函数和幅度维纳准则，可找到适当的相位函数和幅度函数一起构成物理可实现系统。函数一起构成物理可实现系统。5.65.6希尔伯特变换与系统函数的约束性希尔伯特变换与系统函数的约束性系统可实现性的实质是具有因果性，由于因果性的系统可实现性的实质是具有因果性，由于因果性的限制，系统

10、的实部和虚部或模与辐角将具备某种相限制，系统的实部和虚部或模与辐角将具备某种相互制约的特性，该特性以互制约的特性，该特性以Hilbert变换的形式表现。变换的形式表现。对于因果系统：对于因果系统：)()()(tuthth设设h(t)的傅立叶变换可分为实部和虚部之和：的傅立叶变换可分为实部和虚部之和：)()()()(jXRthFjH运用傅立叶变换的频域卷积定理：运用傅立叶变换的频域卷积定理：)()(21)(tuFthFthFdRXdXRdRXjdXRRXjXRjjXRjXR)(1)()(1)()(212)()(212)(1*)()()(21*)()()(211)()()(21)()(上式称为希尔伯特变换对，它说明具有因果性的系上式称为希尔伯特变换对，它说明具有因果性的系统的重要特性：实部被虚部唯一确定，反过来也一统的重要特性：实部被虚部唯一确定，反过来也一样。样。用类似的方法还可以研究可实现系统函数的模与相用类似的方法还可以研究可实现系统函数的模与相位之间的关系，可以证明：对于最小相移函数，模位之间的关系，可以证明：对于最小相移函数，模与相位之间也存在一定约束关系。若给定模，则相与相位之间也存在一定约束关系。若给定模，则相角被唯一确定，共同构成一个最小相移函数。角被唯一确定，共同构成一个最小相移函数。作业：5-15-25-45-小结：小结：一、非周期信号激励下系统的零状态响应一、