D11_1对弧长曲线积分1

1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 1

2、0limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量.采用目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,是定义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若对 的任意分割和对局部的任意取点, 2. .定义定义: :( , , )f x y z下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xOy 面

3、上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分思考思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中dx 可能为负.目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质szyxfd),() 1 ( （, 为常数)szyxfd),()2( 由 组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(sz

4、yxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目录 上页 下页 返回 结束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证明证明:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(目录 上页 下页 返回 结束 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkkt

5、nk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf目录 上页 下页 返回 结束 xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形

6、式:( ) (),L 则syxfLd),( ( )cos,( )sin)f 推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(1222( )( )d baxxf) )(,()(),(, )(tttf目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目录 上页 下页 返

7、回 结束 例例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为1:cos2(0)4La利用对称性 , 得sxILd4142204cos( )( )d 402dcos4a222a22:cos2 ,LaOyx44目录 上页

8、下页 返回 结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中 为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)szyxfd),(),(为常数szyxgd),(目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )