北航理论力学复习

1、1理论力学总结2矢量的绝对导数与相对导数 ：动系的角速度 对于标量函数: ( )af t( )daftdt对于矢量函数: xyzaaaaijkxyzxyzddddaaaaaadtdtdtdtaijkijkxyzaaaijkxyzaaaaijkxyzxyzddddaaaaaadtdtdtdtaijkijkddta a3绕相交轴转动的合成erer刚体的角速度: er刚体的角加速度: erdddtdtererdddtdter刚体的角加速度: ereraervvvaerddddtdtdtvvvoo Mrvrvoo Mro Mdddddtdtdtdtvrvroo Mro Mo Mrdddddtdtdtd

2、tvrvr r v动系为一般运动时点的加速度合成速度合成：o Mroo Mo Mrdddtdtrvarrv重合点的加速度rvra加速度合成：aercaaaa刚体一般运动的运动微分方程ed mdtcivFred()dticLM Fe()CimaM F投影到定系：投影到动系：edmmdtccivvF投影到动系：rred()dticcLLM F其中 为动系的角速度。刚体动力学动力学普遍定理动静法ccaIF平移刚体惯性力平移刚体(等同质点)Icm FaccacmaF刚体动力学动力学普遍定理动静法平面运动刚体惯性力平面运动刚体运动方程Icm FaccacmaF条件：刚体有质量对称面，且其平行于运动平面c

3、acIRFIcMIccJ M()cCJMF刚体动力学动力学普遍定理动静法定轴转动刚体惯性力刚体定轴转动微分方程0)()(I2I2IzccyccxFyxmFyxmFzzyzxzyyzxzxJMJJMJJMI2I2I()zzJMF刚体动力学一般运动刚体惯性力刚体运动微分方程ICCC MJJIcm FacaIRFIcMCcmaF()CCCddtMJJF10第10章要求l定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。l定点运动刚体有限位移的顺序不可交换.l定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.l定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移可以用矢量表示。l定点运动刚体的角

4、速度角加速度可以用矢量表示。l了解欧拉运动学方程.l了解欧拉动力学方程.l自转进动章动概念.定性理论11l定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用;l能计算定点运动刚体的动量矩;l能计算定点运动刚体的动能;l能计算陀螺力矩;l能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。l对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似为定量方面第10章要求ozJL12陀螺近似理论陀 螺： 满足条件 的定点运动刚体。xyJJ一、陀螺规则进动的条件问题性质：已知运动, 求力 。0()cosozzeJJJM即: , 方向沿节线.oconstM陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力精确结果xyz x y zo130()coso

5、zzeJJJM即: , 方向沿节线.oconstM陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力二、莱沙尔(Henri Resal)定理在定系中:ooddtLM定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度，等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩.oL精确结果14三、陀螺近似理论0()cosozzeJJJM如果:则:0()cosozzeJJJM zJ如果：090则也有：0()cosozzeJJJM zJ15四、陀螺近似理论的莱沙尔解释相对于定系:a () axyzijkxxyyzzJJJoLijk() exeyzzJJJijk则当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。oLxyz x y zo90oz

6、zJJLkoezJJL16当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。oLxyz zooLddtooLLddtoooLML由莱沙尔定理: zJoL zJoM0()cosozzeJJJM与精确解比较:oezJJL zJoM()(90 )17Cmg例：如图所示，已知质量为m的定点运动陀螺做规则进动( 0为常量)，其质心C到球铰链O的距离为L，该陀螺对质量对称轴z的转动惯量为 J，且以 绕 z 轴高速旋转，z 轴与 轴的夹角为 .求：陀螺的进动角速度 、铰链 O 的约束力在铅垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。1zNF解: 1. 取陀螺研究;

7、2. 受力分析:NFF3. 由动量矩定理:12sinsinJmgL14. 由动量定理(质心运动定理):0NFmg21sinmLF2118zABd0例：质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，AB 轴通过光滑球铰 A 与铅垂轴 z 相连接，如图示。若 AB 轴的长度为 d=3R 且不计其质量，圆盘作规则进动，求水平轴 AB 绕铅垂轴 z 的进动角速度大小 以及球铰链 A 水平方向的约束力的大小 . =_； =_。00ABFABF0()cosozzeJJJM陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力精确结果当：0(1)90(2)ozJM19例：确定一个正方体在空间的位置需

8、要_个独立的参数。 A：3；B：4；C：5；D：6 .例：在光滑水平面上运动的刚性球的自由度是_。 A：3；B：4；C：5；D：6 .20例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，则该圆锥的角速度矢量 与角加速度矢量 的关系是_ 。A：平行于；B： 垂直于； C：为零矢量；D：为非零矢量。A：平行于AC；B： 垂直于AC且平行于AB； C：垂直于ABC三点确定的平面；D：不能确定。例：如图所示，定点运动的圆锥在水平固定圆盘上纯滚动。若圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母线。在图示瞬时， C 点的加速度矢量 的方向_ 。C

9、a22例：如图所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 的大小。 =_ ， =_， =_。BaBa：自转角速度：进动角速度24例：若定点运动刚体角速度矢量 的大小为非零常量，其方向始终变化，则该刚体的角加速度矢量 可能是_。D： 为非零常矢量。A：；0B： ； ,0 C：；,0 例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度和向轴加速度 的大小。MvRaNaoMaOMv 0() OM 0OM 0MvR0()

10、NMav2200NaR 00()0ROMa 00RaR例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 、转动加速度和向轴加速度 的大小。MvRaNaMMaBMv RBMa aMv27OA例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A 的转动加速度的大小 和向轴加速度的大小 . =_； =_ARaARaANaANa28例：正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其上 A、B两点的速度方向，如图所示，则此时该刚体角速度矢量 平行于_。 A： A、B 两点连线；B： 平行于 Oz 轴；C： 平行于 Oy 轴；D： 平行于 Ox 轴

11、。OxyzABAvBv29A： 只能确定其角速度矢量所在平面；B： 能求角速度的大小和方向；C： 能求角加速度的大小和方向；D： 能求刚体对定点的动量矩大小和方向。 OzABAvBv例：已知质量为 m 棱长为 L 的正方形刚体绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬时其顶点 A、B两点速度矢量满足关系式(垂直于 OAB 平面)方向，且 . 根据已知条件，能求刚体的哪些物理量？AB vvAuv xyijABOAOBvv,xy 30A： 一定能够；B： 一定不能够；C： 不一定能够。例：若刚体绕 O 点作定点转动，已知某瞬时其上 A、B 两点的速度分别为 和 ，且大小均不为零。若 O、A、B 三点均不重

12、合，则_该刚体的角速度。 BvAv原因：若 O、A、B 三点共线。 31例：不论刚体作什么运动，刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影_。 A：一定相等；B：一定不相等；C：不一定相等。例：如图所示，圆盘以匀角速度 绕 CD 轴转动，框架以匀角速度 绕铅垂轴转动。则该定点运动圆盘 角速度的大小 =_(方向画在图上)， 角加速度的大小 =_(方向画在图上)。1z32221z1zz133例：如图所示，半径为 R 的圆盘以匀角速度 绕框架上的CD 轴转动，框架以匀角速度 绕铅垂轴 AB 转动。求：圆盘在图示位置的最高点速度的大小 v，该点的向轴加速度的大小 和转动加速度的大小 。 v =_; =_；

13、 =_。1zNaNaRaRa34例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度 绕 BC 轴转动，正方形框架以匀角速度 绕 AB 轴转动。求该圆盘的绝对角速度 的大小和绝对角加速度 的大小。 =_； =_。00235例：如图所示，圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度每分钟绕 BC 轴转动 2 周，正方形框架以匀角速度每分钟绕 AB 轴转动 2 周。求该圆盘的动能及对 B 点的动量矩。 2 2rad/s602 2rad/s60=45=0212zJmR221()42xyBCJJmRm36例：匀角速度定轴转动刚体在运动过程中，其_等物理量一定为常量。 A： 相对质心的动量矩；B： 动能；

14、C： 动量；D： 对转轴的动量矩。原因：动量和动量矩是矢量。 37Cmg例：如图所示，定点运动陀螺做规则进动(即该陀螺的自转角速度 和进动角速度 的大小不变，且对称轴 z 与铅垂轴 的夹角 不变)，则该陀螺在运动过程中，其_保持不变。1z21A： 相对 O 点的动量矩；B： 动能；C： 动量；D： 相对 轴的动量矩。1zE： 相对 z 轴的动量矩。38例：质心在转轴上的定轴转动刚体，当其角速度不为零时，该刚体对质心的动量矩矢量_。 A： 一定平行于转轴；B： 一定不平行于转轴；C： 不一定平行于转轴。39例：如图所示，圆柱固连在水平轴 上，并以匀角速度 绕该轴转动，同时框架以匀角速度 绕铅垂轴

15、 CO 转动。其中：x,y,z 是圆柱上关于 点的三个相互垂直的惯量主轴，且圆柱对这三根轴的转动惯量分别为 . 则该瞬时圆柱对 点的动量矩：12OO3O3O,xyzJJJ x z y xJ3_ _ _OLijkcoszJsinyJ40例：如图所示，正方形框架以匀角速度 绕水平轴 AB 转动，质量为 m 半径为 R 的均质圆盘 M 以匀角速度 绕正方形框架上的CD 轴转动。且 ，CD 轴到轴承 A、B 的距离皆为 l . 若正方形框架和轴 AB 的质量不计，求框架运动到铅垂平面内时，圆盘产生的陀螺力矩的大小 ；以及作用在轴承上的约束力的大小 =_； =_。00gMgMAFAFAF2012gMMR

16、201142AFMRMgl题10-14：题10-17：与例10-2类似。题10-18：求维持图示运动所需的 x = ?Am gBm g动量矩：212oBm RLoL0ooddtLL由动量矩定理：()ooddtLMF2012BBAm Rm gdm gxx43第9、11章要求l能够利用拉格朗日方程(含第一类)列写系统的动力学方程；l能计算广义力；l能给出拉格朗日方程的首次积分，并能利用初始条件计算积分常数；l能计算单自由度系统微振动的固有频率，了解共振概念；l能根据初条件计算振动的振幅与初相位；l了解两类拉格朗日方程的应用场合。gAB6. 质量为 m 的质点可在半径为 R 的圆环内运动，圆环以常角

17、速度 绕 AB 轴作定轴转动，如图所示。 为质点的广义坐标，此时质点的动能可表示成 ，其中 (i=0,1,2) 为广义速度的 i 次齐函数。求：210TTTTiT2_T 1_T 0_T 2211()(sin )22Tm Rm R21()2m R021(sin )2m R例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求： xABgmgm用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V (杆在铅垂位置时为势能零点)；若初始时，杆位于铅垂位置。=0，圆盘中心A点的速度为u，杆

18、的角速度为零。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。要求：给出解题的基本理论和基本步骤。 xABg例：滑块与均质圆盘用杆 AB 铰接在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如图所示，其中 AB 杆长为 l，圆盘半径为 R，各物件质量均为 m . 不计所有摩擦。求：用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V ( 杆在铅垂位置时为势能零点)；若初始时，杆位于铅垂位置 ，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为 ，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。000,00 xABg例：AB 杆长 l，圆盘半径 R，各物件质量均为m. 不计所有摩擦。给出系统的动能 T

19、 和势能 V (杆铅垂时势能取零)；222222222111cossin22222411cossin24llTmxmxmlmxllmR(1 cos )(1 cos )2lVmgmgl xABg若初始时，杆位于铅垂位置。=0，滑块的速度为u，方向水平向右；圆盘的角速度为。，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。222222222111cossin22222411cossin24(1cos )(1cos )2llLTVmxmxmlmxllmRlmgmgl222222222111cossin22222411cossin24(1cos )(1cos )2llLTVmxmxmlmx

20、llmRlmgmgl有首次积分:12LcxLcTVE1coscos2lmxm xm xlc2212mRc确定积分常数:1coscos2lmxm xm xlc2212mRc222222222111cossin22222411cossin24(1 cos )(1 cos )2llmxmxmlmxllmRlmgmglE初始 , 滑块速度 u 向右；圆盘角速度 逆时针。0000,01cmumumu22012cmR222220111102224EmumumumR例：系统在铅垂平面内运动。系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长 l，圆盘半径 R，各物件质量均为 m . 不计所有摩擦。求：用系统的广义坐标和广

21、义速度给出系统的动能 T 和势能 V (杆在铅垂位置时为势能零点)；若初始时，杆位于铅垂位置 ，滑块的速度为u，方向水平向右；两圆盘的角速度均为 ，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分常数。000,00 xABg(1 cos )(1 cos )2lVmgmgl2222222222211 122 211cossin2222411cossin24TmxmrllmxmlmxllmR xABg123LcxLcLcTVE53解: (1) 以整体为研究对象；gm(2) 受力分析和运动分析(3) 利用动力学普遍方程:AogB30P例: 系质量为 m 长为 L 的均质杆 OA 和质量为 m

22、长为 2L 的均质杆 AB 用光滑柱铰连接并悬挂于 O 点，AB 杆的 B 端放在光滑水平面上。若系统初始静止， OA 杆铅垂，在铰链 A 上作用一水平推力 P ，求初始时 AB 杆和 OA 杆的角加速度的大小 和 。ABOAgmABOAtBABAaaaBaAa0AB54AogB30Pgmgm加惯性力2OALm2112OAmLOAmL取虚位移Ar(3) 利用动力学普遍方程:21102212AAOAAOAOAArmLPrrmLmLrL34OAPmL例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位置无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。 解：(

23、1) 对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。OAAB,2IOAOAlFm(),2IABOAABlFml21,3IOAOAMml2112IABABMmlIOAFIOAMIABFIABMmgmgIOAFIOAMIABFIABMmgmg(2) 取两杆的转角 和 为广义坐标。 OAAB(3) 取虚位移0,0ABOAAB022ABIABABIABABllWmgFMIOAFIOAMIABFIABMmgmgOA(3) 取虚位移0,0OAAB02OAIOAOAOAIABOAlWmgMmg lFl 93,77OAABggll F例：初始静止, 求两杆的角加速度。 例：拉

24、格朗日方程的循环积分反映的是质点系的_。 A：某个广义动量守恒；B：广义能量守恒。例：二自由度线性振动系统的固有频率与系统的_ 有关。 A：广义质量；B：广义刚度；C：初始位置；D：初始速度。例：单自由度线性振动系统的振动周期与_有关。 A：广义质量；B：广义刚度；C：初始位置；D：初始速度。1km2k2k例：图示系统的等效弹簧刚度系数k*=_。 例：图示系统的固有频率 =_。 212kk212kkmAog例：长为 l 质量为 m 的均质杆 OA 用光滑柱铰链悬挂在 o 点，下端与刚度系数为 k 的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动力学方程_。 221 12

25、3Tml21()(1cos )22lVk lmg2211()22 2lk lmg2211032mlklmglAog例：长为 l 质量为 m 的均质杆 OA 用光滑柱铰链悬挂在 o 点，下端与刚度系数为 k 的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的固有频率 =_。 2211032mlklmgl221213klmglml例：质量为 m 半径为 R 的均质圆盘可绕其中心水平轴 O 作定轴转动, 质量为 m 的滑块 A 与圆盘通过铰链用长为 R 的无质量杆 AB 连接，不计所有摩擦，系统在铅垂面内运动, 求系统在静平衡位置附近作微幅振动的固有频率 =_。 oABg2221 11(2 sin )2 22TmRmR