高三数学：专题七概率与统计(理)(含解析)

1、第1讲抽样方法、计数原理与二项式定理1(2014·重庆高考)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A100B150C200 D250【解析】样本抽取比例为，该校总人数为1 5003 5005 000，则，故n100，选A.【答案】A2(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个【解析】由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A72个；

2、若万位是4，则有2×A个48个，故40 000大的偶数共有7248120个选B.【答案】B3(2015·陕西高考)二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数为15，则n() A4 B5C6 D7【解析】C15，CC15，即15，解得n6.【答案】B4(2013·江西高考)(x2)5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D40【解析】设展开式的第r1项为Tr1C·(x2)5r·()rC·x102r·(2)r·x3rC·(2)r·x105r.若第r1项为常数项，则105r0，得r2，即常数项

3、T3C(2)240.【答案】C从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.抽样方法主要考查三种简单的抽样方法及适用条件，常与概率结合考查题型：选择题或填空题难度：基础题2.计数原理、排列与组合的应用主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，排列与组合的应用问题题型：选择题或填空题难度：基础题3.二项式定理的应用主要考查二项式定理的通项公式、二项式系数、二项式特定项(指定项)题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题抽样方法(自主探究型)1.(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存

4、在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法【解析】本题主要考查分层抽样的特征，意在考查考生对抽样方法的掌握情况结合几种抽样的定义知选C.【答案】C2(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90 B100C180 D300【解析】本题主要考查分层抽样，意在考查考生对抽样方法的应用由题意抽样比为，该样本的老年

5、教师人数为900×180(人)【答案】C3(2014·湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2<p3 Bp2p3<p1Cp1p3<p2 Dp1p2p3【解析】本题主要考查三种抽样方法的概率问题无论哪种抽样，每个个体被抽到的概率都相等【答案】D【规律感悟】1进行系统抽样的关键及关注点(1)关键：根据总体和样本的容量确定分段间隔，根据第一段确定编号(2)关注点：当总体不能被样本整除时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获

6、取整数问题2分层抽样的适用条件及注意点(1)适用条件：适用于总体由差异明显的几部分组成时的情况(2)注意点：分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中的每个个体被抽取的可能性相同；在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.计数原理、排列与组合的应用(师生共研型)【典例1】(1)(2014·福建高考)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个

7、球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)(2)(2014·重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72B120C144 D168(3)(201

8、4·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A24对 B30对C48对 D60对【解析】(1)运用加法原理与乘法原理的基本方法解决(2)本题主要考查数学知识在实际生活中的应用，因为同类节目不相邻，故可用插空法求解(3)本题主要考查解力及归纳推理的能力(1)本题可从题干最后一句入手，“1”表示所有篮球都不取出，“b5”表示所有篮球都取出，所以含有因式(1b5)，排除B，C，D选项，故选A.(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题

9、意的排法种数为14424120，选B.(3)法一：直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16×696(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有×9648(对)法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C12648.【答案】(1)A(2)B(3)C一题多变若题(3)变为：若两条异面直线所成的角为60

10、76;，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对【解析】依题意，注意到在正方体ABCDA1B1C1D1中，与直线AC构成异面直线且所成的角为60°的直线有BC1，BA1，A1D，DC1，注意到正方体ABCDA1B1C1D1中共有12条面对角线，可知所求的“黄金异面直线对”共有24对【答案】24【规律感悟】1.求解排列、组合问题的关注点排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘2排列、组合应用问题的常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法(2)合理分类与准确分步法(3)排列与组合混合问题先选后排法(4)相邻问题

11、捆绑法(5)不相邻问题插空法(6)定序问题缩倍法(7)多排问题一排法(8)“小集团”问题先整体后局部法(9)构造模型法(10)正难则反，等价转化法针对训练1(2015·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A150 B180C200 D280【解析】分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有·A90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C·A60种分派方法所以不同分派方法种数为9060150.故选A.【答案】A2(2014·大纲全国高考)有6名男

12、医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种【解析】从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5种，所以不同的选法共有15×575种，故选C.【答案】C二项式定理的应用(多维探究型)命题角度一与二项式系数有关的问题【典例2】(1)(2015·重庆高考)5的展开式中x8的系数是_(用数字作答)(2)(2015·新课标高考)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20C30 D60【解析】(1)本题考查二项式定理，考查考生的运算求解能力(2)本题考查二

13、项展开式，考查考生的运算求解能力(1)二项展开式通项为Tk1C(x3)5kkkCx15，令158，解得k2，因此x8的系数为2C.(2)Tk1C(x2x)5kyk，k2.C(x2x)3y2的第r1项为CCx2(3r)xry2，2(3r)r5，解得r1，x5y2的系数为CC30.【答案】(1)(2)C命题角度二与特定项有关的问题【典例3】(1)(2015·山西四校联考)若(x6)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于()A3 B4C5 D6(2)(2015·河北唐山一模)(x22)3展开式中的常数项为()A8 B12C20 D20【解析】(1)本题主要考查二项式定理及

14、二项展开式的通项公式(2)本题主要考查二项展开式的通项公式和运算求解能力(1)Tr1C(x6)nr()rCx6nr，当Tr1是常数项时，6nr0，即nr，又nN*，故n的最小值为5.故选C.(2)(x22)3(x)6，Tr1Cx6r·()rC(1)rx62r，令62r0得r3，常数项为C(1)320.【答案】(1)C(2)20命题角度三与二项式系数的和有关的问题【典例4】(1)(2015·湖北高考)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211C210 D29(2)(2015·新课标高考)(ax)(1x)4的

15、展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.【解析】(1)本题主要考查二项式系数及二项式系数和，意在考查考生对基础知识的掌握情况(2)本题主要考查二项式定理，意在考查考生的运算理解能力(1)由题意，CC，解得n10.则奇数项的二项式系数和为2n129.故选D.(2)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.【答案】(1)D(2)3【规律感悟】1.解决与二项式定理

16、有关问题关键要掌握的五个方面(1)Tr1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定(2)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项(3)公式中a，b的指数和为n，a，b不能颠倒位置(4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题(5)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题2与二项式定理有关问题的盘点类型解法求特定项或其系数常采用通项公式分析求解系数的和或差常用赋值法近似值问题利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题利用展开式求解针对训练1(2015·湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. BC6 D6【解析】5的展开式通项Tr1Cx

17、(1)rar·x(1)rarCxr，令r，则r1，T2aCx，aC30，a6，故选D.【答案】D2(2015·江西八校联考)若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a7的值是()A2 B3C125 D131【解析】令x1，则a0a1a2a82.又(12x)7展开式中第r1项Tr1C(1)r2rxr，a0C(1)0201，a8C(1)727128，a1a2a7125.【答案】C分类讨论思想求解排列与组合应用题思想诠释求解排列与组合应用题用到分类讨论思想的常见题型：1较复杂的计数问题：利用分类加法计数原理将复杂的问题分类计数2含特殊元素(位置)问题：常根据特

18、殊元素(位置)当选(由谁来占)的情况分类讨论3与几何图形有关的计数问题：可根据图形的形状、位置的变化进行分类典例剖析【典例】(2015·沈阳模拟)如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_个【审题策略】看到至少有一个顶点在圆内，联想到分类讨论思想，依次分1个点、2个点、3个点在圆内讨论求解【解析】按从圆内四点任取3点，2点，1点分三类：第一类：从圆内取3点，有C种；第二类：从圆内取2点，圆外12点中取1点有CC种；第三类：从圆内取1点，圆外12点中取2点，有

19、C(C4)种由分类加法计数原理知，所求的三角形共有CCCC(C4)312个【答案】312针对训练(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)【解析】不同的获奖分两类，一是有一人获两张奖券，一人获一张共有CA36种，二是有三人各获一张奖卷，共有A24.因此不同的获奖情况有60种【答案】601必记公式(性质)(1)排列数公式An(n1)(nm1)(这里，m，nN*，且mn)(2)组合数公式C(这里，m，nN*，且mn)C1.(3)组合数的性质CC.CCC.CCC2n.CCCC.(4)二项式定理

20、定理内容(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)通项公式：Tk1Cankbk.2易错提醒(1)忽视顺序：解决排列组合问题时，不要忽视问题与顺序是否有关这一条件(2)两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混，一定要区分开来限时训练(理18)建议用时实际用时错题档案40分钟一、选择题1(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是()A3B4C5 D6【解析】由题意知，将135号分成7组，每组

21、5名运动员，成绩落在区间139,151的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名选B.【答案】B2(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120C72 D24【解析】3人中每两人之间恰有一个空座位，有A×212种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A×A12种坐法，所以共有121224种坐法【答案】D3(2013·山东高考)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D279【解析】0,1,2，9共能组成9×10×10900(个)

22、三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个)【答案】B4(2014·浙江高考)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45 B60C120 D210【解析】f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCC120，故选C.【答案】C5(2015·山东师大附中一模)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为

23、()A360 B520C600 D720【解析】当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2CA480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为AA120，则不同的发言顺序的种数为480120600.故选C.【答案】C6(2014·四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种 B216种 C240种 D288种【解析】以甲队为研究对象为两类：当最左端排甲时，有A120种排法；当最左端排乙时，则最右端有4种排法，此时有4×A96(种)排法因此满足条件的排法共有12096216(种)故选B.【答案】B7(2015&#

24、183;洛阳统考)设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为()A16 B10 C4 D2【解析】2n展开式的通项公式为Tk1C·x2nkkC(1)kx，令0，得k，所以n可取10.【答案】B8(2015·湖南张家界二模)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种 C96种 D144种【解析】本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A2种结果程序B和C在实施时必须相邻

25、，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有AA48种结果根据分步计数原理知共有2×4896(种)结果，故选C.【答案】C9(2015·云南检测)在(ax6)4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3()A20B15C10 D5【解析】Tr1Ca4rbrx247r，令247r3，得r3，则4ab320，ab35.故选D.【答案】D10(2015·河南商丘4月)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A74 B121C74 D121【解析】展开式中含x3的项的系数为C(1)3C(1)3C

26、(1)3C(1)3121.【答案】D二、填空题11(2015·广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字做答)【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40×391 560条毕业留言【答案】1 56012(2015·天津高考)在6的展开式中，x2的系数为_【解析】6的展开式的通项Tr1Cx6rrCrx62r；当62r2时，r2，所以x2的系数为C2.【答案】13(2015·贵州七校联盟)(1x5y)5的展开式中不含x的项的系数和为_(结果化成最

27、简形式)【解析】(1x5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(15y)5的展开式的各项系数和，在(15y)5中，令y1，得展开式的各项系数和为(4)51024，所以(1x5y)5的展开式中不含x的项的系数和为1024.【答案】102414(2015·辽宁五校联考)在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回甲，则不同的传递方式有_种(用数字作答)【解析】设其余两人为乙、丙，列举可知前四次的传递结果为：(乙，丙，甲，乙)，(乙，丙，甲，丙)，(乙，丙，乙，丙)，(乙，甲，乙，丙)，(乙，甲，丙，乙)

28、，(丙，甲，乙，丙)，(丙，甲，丙，乙)，(丙，乙，甲，乙)，(丙，乙，甲，丙)，(丙，乙，丙，乙)，共10种【答案】1015(2015·宁夏银川4月)若asinxdx，则二项式(a)6的展开式中常数项是_【解析】asinxdx(cosx)|coscos02，二项式(2)6展开式的通项公式为Tr1C(2)6r·()r(1)r26rCx3r.令3r0，得r3，故展开式中常数项为T4(1)3263·C160.【答案】160第2讲概率、随机变量及其分布列1(2015·广东高考)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所

29、取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A1B.C. D.【解析】从袋中任取2个球共有C105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为.【答案】B2(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B.C. D.【解析】半圆的面积×1，SABCD2，P，故选B.【答案】B3(2015·新课标高考)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过

30、测试的概率为()A0.648 B0.432C0.36 D0.312【解析】该同学通过测试的概率为PC×0.62(10.6)C0.630.648.【答案】A4(2015·山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；(2

31、)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)【解】(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为：0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1，所以X的分布列为X011P则E(X)0×(1)×1×.从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.古典概型、几何概型及条件概率主要考查古典概型、几何概型、条件概率的公式；考查分类讨论思想、数形结合思想的应用.题型：选择题或填空题难度：基础题2.利用

32、互斥、对立、独立事件的概率公式求较复杂的概率主要考查互斥事件、对立事件、独立事件的定义及概率的求法题型：解答题难度：基础题或中档题3.离散型随机变量的分布列与期望主要考查统计、概率的有关知识；考查离散型随机变量的分布列、期望与方差题型：解答题难度：基础题或中档题古典概型、几何概型及条件概率(自主探究型)1.(2015·福建高考)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_【解析】本题考查几何概型、定积分等基础知识，意在考查考生的转化与化归能力、运算求解能力由几何概型的概率公式：P1.【答案】2(2

33、014·全国新课标高考)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B0.75C0.6 D0.45【解析】本题主要考查条件概率的应用根据条件概率的公式，直接代入，可求得随后一天的空气质量为优良的概率设某天空气质量优良，则随后一天空气质量也优良的概率为P，0.75·P0.6，解得P0.8，故选A.【答案】A3(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演

34、讲社团85未参加演讲社团230(1) 从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率【解】本题主要考查古典概型的概率计算，考查考生的逻辑思维能力(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本

35、事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P.【规律感悟】1.利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏2几何概型的适用条件及应用关键(1)

36、适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)关键：构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域3条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).利用互斥、对立、独立事件的概率公式求较复杂的概率(师生共研型)【典例1】(2014·全国大纲高考)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概

37、率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值【解】本题主要考查了相互独立事件发生的概率和概率加法公式的应用，考查了抽样概括能力、应用意识和创新意识(1)同一工作日至少有3人使用设备，包括恰有3人和恰有4人使用设备两类，分别计算其概率，利用概率加法公式计算结果；(2)分k2和k3讨论，确定k的最小值记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设

38、备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E表示事件：同一工作日4人需使用设备，F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)DA1·B·CA2·BA2··C，P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C×0.52，i0,1,2，所以P(D)P(A1·B·CA2·BA2··C)P(A1·B·C)P(A2·B)P(A2··C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P()P(C)0.31.(2)由(1)知，若k2，

39、则P(F)0.310.1.又EB·C·A2，P(E)P(B·C·A2)P(B)P(C)P(A2)0.06.若k3，则P(F)0.060.1.所以k的最小值为3.一题多变若题(1)变为：求同一工作日恰好有2人需使用设备的概率【解】设甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备记为A、B、C、D，则P(A)0.6，P(B)0.5，P(C)0.5，P(D)0.4.设同一工作日恰好有2人需使用设备记为事件E，则E··C·D·B··DA··C··B··DA&

40、#183;B··P(E)P(··C·D·B··D·B·C·A···DA··C·A·B··)P(·C·D)P(·B··D)P(·B·C·)P(A···D)P(A··C·)P(A·B··)0.4×0.5×0.5&#

41、215;0.40.4×0.5×0.5×0.40.4×0.5×0.5×0.60.6×0.5×0.5×0.40.6×0.5×0.5×0.60.6×0.5×0.5×0.60.32.【规律感悟】求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求

42、解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解(3)注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同针对训练(2015·北京高考)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a为何值时，

43、A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)【解】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i1,2，7.由题意可知P(Ai)P(Bi)，i1,2，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7).(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”由题意知，CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P

44、(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1).(3)a11或a18.离散型随机变量的分布列与期望(多维探究型)命题角度一与超几何分布有关的离散型随机变量的分布列与期望【典例2】(2015·天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，

45、求随机变量X的分布列和数学期望【解】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力(1)利用排列组合与古典概型的概率计算公式求解；(2)易知随机变量X服从超几何分布，进而得相应的概率，求出分布列，再利用期望公式求解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1×2×3×4×.命题角度二与互斥、独立事件有关的离散型随机变量的分布列与期望

46、【典例3】(2014·安徽高考)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)【解】本题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式，离散型随机变量的分布列、期望等，考查分类讨论思想、抽象概括能力以及运算求解能力用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.

47、(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)2×2××2.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(

48、X3)P(X4).故X的分布列为X2345PE(X)2×3×4×5×.命题角度三与统计交汇的离散型随机变量的分布列与期望【典例4】(2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)【解】本题主要考查了频率分布直方图、独立事件、二项分布以及

49、期望和方差(1)结合数据分布直方图先求解概率，再利用独立事件的概率公式求解；(2)先写出分布列、再利用二项分布求解期望和方差(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)×500.6，P(A2)0.003×500.15，P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C·(10.6)30.064，

50、P(X1)C·0.6(10.6)20.288，P(X2)C·0.62(10.6)0.432，P(X3)C·0.630.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)3×0.61.8，方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.【规律感悟】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值；(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；(3)根据分布列和期望、方差公式求解针对训练1(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的

51、传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故E(X)0×1×2×(个)2(2014·福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机

52、摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：()顾客所获的奖励额为60元的概率；()顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【解】(1)设顾客所获的奖励额为X.()依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.()依题意，得X的所有可能取值

53、为20,60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)20×60×40(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,4

54、0,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)20×60×100×60，X1的方差为D(X1)(2060)2×(6060)2×(10060)2×.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40×60×80×60，X2的方差为D(X2)(4060)2×(6060)2×