中考二轮复习：猜想证明问题

1、初中数学中考二轮复习：猜想证明问题编稿老师巩建兵一校安宁二校杨雪审核宋树庆猜想证明问题 考点精讲一、考纲要求1. 掌握好代数和几何基础知识，理解相关的定义、定理、法则、性质、判定，并会灵活运用；2. 经历猜想、证明与拓展的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索与发现的体验；3. 在解决问题的过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。二、考题规律猜想证明类试题的考查范围有猜想命题的规律或结论（不要求证明）与猜想命题的结论（要求证明）两种。单纯猜想规律或结论的问题经常以填空、选择的形式作为压轴题，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性，也

2、就是规律。相对而言，猜想命题的结论（要求证明）的试题难度较大，解答具体题目时往往是直观猜想与科学论证、具体应用相结合。三、考向预测纵观近几年的中考数学压轴题，可以发现猜想证明类试题出现的频率日益增高。因为此类试题能比较系统地考查学生的逻辑推理能力、合情推理能力、发现规律和关系的能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力，对于猜想证明类试题，由于题目新颖、综合性强、结构独特，具有较好的区分度，因此，该类试题已逐步成为中考的一大热点题型。考点1：数式类归纳猜想问题通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，要求学生猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等

3、式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。示例：（毕节地区）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_。思路分析：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第n个数即可。答案：根据题意得：这一组数的第n个数是。技巧点拨：此题是数式规律的猜想问题，弄清题中的规律是解答本题的关键。考点2：图案类归纳猜想问题根据一组相关图形的变化规律，通过图形的变化总结所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对

4、照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。示例：下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n（n>1）盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是_。思路分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n（n>1）盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S3n3。答案：S3n3技巧点拨：对于图案类归纳猜想问题，先通过图案的位置关系转化为数量关系，再通过数量关系总结规律解题。考点3：数量关系类归纳猜想问题数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也

5、是根据题目给出的关系式进行类比，如果涉及几何图形，应将几何图形中的线段之间的长度关系、角之间的和差关系、面积关系、周长关系等用式子表示出来，仿照猜想数式规律的方法解答。示例：某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC（0°90°），现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上。活动一：如图所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒。数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：_；（填“能”或“不能”）（2）设AA1A1A2A2A31，_度；若记小棒A2n1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2a1

6、，A3A4a2），求此时a2、a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）。活动二：如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2AA1。数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则_，_，_；（用含的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求的范围。思路分析：根据等腰三角形的两底角相等和三角形的外角与内角的关系总结归纳规律。答案：（1）显而易见，能。（2）22.5；AA1A1A2A2A31，A1A2A2A3，A1A3，AA31。又A2A3A3A4，A1A2A3A4。同理，A3A4A5A6，AAA2A1AA4A3AA6A5，AA3A3A4，AA5A5A6，a

7、2A3A4AA31，a3AA3A3A5a2A3A5。A3A5a2，a3A5A6AA5a2a2（1）2。，an（1）n1。（3）12，2AAA3A213，3AAA4A324。（4）由题意得，18°22.5°。技巧点拨：这是一道典型的归纳猜想型问题，以物理学中反射的知识作为命题载体，而三角形外角等于不相邻的两个内角和，是解决问题的主干数学知识。猜想证明问题 典例精析例题1 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有1个平行四边形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为（ ）个A. 55B.

8、 42C. 41D. 29思路分析：由于图5个122，图11个12323，图191234234，由此即可得到第个图形中平行四边形的个数。注意本题中的平行四边形包括由多个图组成的平行四边形。答案：图平行四边形有5个122，图平行四边形有11个12323，图平行四边形有191234234，图的平行四边形的个数为1234562345641。故选C。技巧点拨：本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度。根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题。例题2 （1）如下表：方程1，方程2，方程

9、3，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：序号方程方程的解123（2）若方程（ab）的解是x16，x210，求a、b的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。思路分析：通过解方程不难求出：x13，x24，将，代入方程易求a和b的值，要求第n个方程和它的解，需根据前几个方程总结规律。答案：（1）解方程得，x13，x24；（2）将，代入方程（ab），易求得a12，b5；（3）第n个方程是：，它的解是：。技巧点拨：本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点

10、的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。例题 （1）计算：如图，直径为a的三等圆O1、O2、O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）。（2）探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图所示的方案一和如图所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和（用含n、a的代数式表示）。（3）应用：现有长方体集装箱，其内部空间长为5米，宽为3.1米，高为3.1米。用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运

11、多少根钢管？（1.73）思路分析：（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理进行求解；（2）n个圆的直径即为中的高，根据等边三角形的性质和勾股定理进行计算中的高；（3）结合上述结论进行分析。答案：（1）O1、O2、O3两两外切，O1O2O2O3O1O3a，又O2AO3A，O1AO2O3，O1A；（2）hnna，a；（3）方案二装运钢管最多。即：按图的方式排放钢管，放置根数最多。根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n，可得（n1）×0.10.13.1，解得n35.68，n为正整数，n35，钢管放置的最多根数为：31×1830×171068（根

12、）。技巧点拨：本题综合性较强，主要考查的知识包括：圆的相关性质、等边三角形的性质、勾股定理等。猜想证明问题 提分宝典归纳法解决猜想证明问题归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳猜想证明”的思想方法，数学归纳法是完全归纳法的一种，是严谨的数学证明。例题1 （安徽）观察下列关于自然数的等式：324×125 524×229 724×3213 根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：924&

13、#215;_2_；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性。思路分析：由三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可。答案：（1）第四个等式：924×4217；（2）第n个等式为：（2n1）24n22（2n1）1，左边（2n1）24n24n24n14n24n1，右边2（2n1）14n214n1，左边右边，（2n1）24n22（2n1）1。技巧点拨：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题。实际上，例1题是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这

14、种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例2是通过类比猜想结果，我们就叫它作“猜结果”吧。例题2 图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向上的边长均为b）：在图中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）。（1）在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1_，S2_，S3_；（3）联想与探索：如图，

15、在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。思路分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a1，b，这样面积就不难求了。答案：（1）如下图所示：（2）S1abb，S2abb，S3abb；（3）空白部分表示的草地面积是abb。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a1，b）技巧点拨：本题主要考查了矩形的性质和平移的性质。能利用平

16、移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键。其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考。但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识。能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键。（答题时间：90分钟）1. 一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 20132. （武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个

17、点，按此规律第5个图中共有点（ ）个A. 31B. 46C. 51D. 663. 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正六边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6当AB1时，l2 015等于（ ）A. B. C. D. 4. 观察下面的几个算式：1214，123219，123432116，12345432125，根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：1239910099321的值为（ ）A. 100B. 1 000C. 10 000D. 100 0005. （株洲）在平面直角

18、坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（ ）A. （66，34）B. （67，33）C. （100，33）D. （99，34）*6. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序实数对是（ ）A. （11，3）B. （3，11）C.

19、（11，9）D. （9，11）*7. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1。在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换。若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）A. 6B. 5C. 3D. 2*8. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）。延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2015个正方

20、形的面积为（ ）A. 5（）2 015B. 5（）2 015C. 5（）4 030D. 5（）4 0309. （滨州）计算下列各式的值：。观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得_。 10. 用等号或不等号填空：（1）比较2x与x 21的大小；当x2时，2x_x21；当x1时，2x_x21；当x1时，2x_x21。（2）可以推测：当x取任意实数时，2x_x21。11. （湘潭）如图，按此规律，第6行最后一个数字是_，第_行最后一个数是2014。12. （珠海）如图，在等腰RtOAA1中，OAA190°，OA1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtO

21、A2A3，则OA4的长度为_。*13. （四川资阳）如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作P2CP3，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是_。*14. （云南）观察规律并填空：（1）； （1）（1）；（1）（1）（1）；（1）（1）（1）（1）；（1）（1）（1）（1）（1）_。（用含n的代数式表示，n是正整数，且n2）*15. （扬州）设a1，a2，a2014是从1，0，1这三个数中取值的一列数，若a1a2a201469，（a11）2（a21）2（a20

22、141）24001，则a1，a2，a2014中为0的个数是_。*16. （邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，依此类推，这样至少移动_次后，该点到原点的距离不小于41。17. 观察下列算式：1×322341；2×432891；3×54215161；_；（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成

23、立吗？并说明理由。18. （孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图的方式放置。点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线yx1和x轴上，试求点B6的坐标。19. 给出下列命题：命题1：直线yx与双曲线y有一个交点是（1，1）；命题2：直线y8x与双曲线y有一个交点是；命题3：直线y27x与双曲线y有一个交点是；命题4：直线y64x与双曲线y有一个交点是；（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；（2）请验证你猜想的命题n是真命题。20. 观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图图图三个角上三个数的积1×（

24、1）×22（3）×（4）×（5）60三个角上三个数的和1（1）22（3）（4）（5）12积与和的商2÷21（2）请用你发现的规律求出图中的数y和图中的数x。21. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、方程组n。（1）将方程组1的解填入表中；方程组对应方程组的解（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；（3）若方程组的解是。求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？*22. （菏泽）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，确定第n（n是整数，

25、且n3）行从左到右数第n2个数。（用含n的代数式表示）*23. 设，设，请用含n的代数式表示S，其中n为正整数。*24. 阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（，）。观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为_；（2）另取两点B（1.6，2.1）、C（1，0）。有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点

26、C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，。则P3、P8的坐标分别为_，_；拓展延伸：（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标。1. D 解析：该纸链是5的倍数，由题意设被截去部分为5n215n3，从其选项中看，选D。2. B 解析：第1个图中共有11×34个点，第2个图中共有11×32×310个点，第3个图中共有11×32×33×319个点，第n个图共有11×32×33×33n个点。所以第5个图中共有点的个数是11×32&#

27、215;33×34×35×346。故选B。3. B 解析：根据题意可发现规律：每段弧所对的圆心角度数都等于60°，Kn1Kn的半径为n，所以l2 015。4. C 解析：由题意可知，1239910099321100210000。5. C 解析：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，100÷333余1，走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×31100，纵坐标为33×133，棋子所处位置的坐标是（100，33）。故选C。*6. A 解析：由题意可知，前n排的数

28、字个数满足123n58，且n是上述不等式的最小整数解，所以n11，所以58这个数在第11排，前10排共有1231055个数，而且第11排是奇数排，所以第11排数字从左到右依次是56，57，58，59，60，61，62，63，64，65，66。所以表示58的有序实数对是（11，3）。*7. B 解析：不妨把立体图形用平面的形式表现出来。如下图所示，前三次变换过程为由图可以发现，三次变换可还原成初始状态。十次意味着三轮还原后又变换了一次，所以骰子朝上一面的点数是5。*8. D 解析：由题意知，OA1，OD2，DA，ABAD，利用互余关系证得DOAABA1，BA1AB，A1B1A1CAB，同理，A2

29、B2A1B1（）2，一般地，AnBn（）n，第2 015个正方形的面积为（A2 015B2 015）25（）4 030，故选D。9. 102014 解析：10101，100102，1000103，1000104，102014。 10. （1） （2） 解析：因为x22x1（x1）20，即2xx21。11. 16 672 解析：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10，第n行的最后一个数字为13（n1）3n2，第6行最后一个数字是3×6216；3n22014，解得n672。因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014。12.4 解析：OAA1为等腰直角三角形，O

30、A1，AA1OA1，OA1OA；OA1A2为等腰直角三角形，A1A2OA1，OA2OA12；OA2A3为等腰直角三角形，A2A3OA22，OA3OA22；OA3A4为等腰直角三角形，A3A4OA32，OA4OA34。*13. （，） 解析：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是，P6的纵坐标为。*14. 解析：（1）（1）（1）（1）（1）。 *15. 165 解析：（a11）2（a21）2（a20141）2a12a22a201422（a1a2a2014）2014a12a22a201422×692014a12

31、a22a201422152，设有x个1，y个1，z个0，化简得xy69，xy1849，解得x959，y890，z165，有959个1，890个1，165个0。*16. 28 解析：由题意可得：移动1次后该点对应的数为011，到原点的距离为1；移动2次后该点对应的数为132，到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数为264，到原点的距离为4；移动4次后该点对应的数为495，到原点的距离为5；移动5次后该点对应的数为5127，到原点的距离为7；移动6次后该点对应的数为7158，到原点的距离为8；移动（2n1）次后该点到原点的距离为3n2；移动2n次后该点到原点的距离为3n1。当3n241时，解得：n，n是正整数，n最小值为15，此时移动了29次。当3n141时，解得：n14。n是正整数，n最小值为14，此时移动了28次。综上所述：至少移动28次后，该点到原点的距离不小于41。17. 解：（1）4×65224251；（2）n（n2）（n1）21；（3）一定成立。理由：因为n（n2）（n1）2n22n（n22n1）n22nn22n11，故（2）中的式子一定成立。18. 解：直线yx1，x0时，y1，A1B11，点B1（1，1）；当x1时y2，A2（1，2），B2（3，2）；同理，