数值计算：数值求积(2)

1、3 复化求积复化求积 /* Composite Quadrature */Havent we had enough formulae? Whats up now?Oh come on, you dont seriously consider h=(b a)/2 acceptable, do you?Why cant you simply refine the partition if you have to be so picky?Dont you forget the oscillatory nature of high-degree polynomials!Uh-oh高次插值有高次插值有R

2、unge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复化复化求积公式。求积公式。 复化梯形公式：复化梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/ 3 Composite Quadrat

3、ure 复化复化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444121101( ) ( )4()2()( )6nnbkkakkhf x dxf af xf xf b= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：为方便编程，可采用另一记法：令为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数，为偶数， 这时这时 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhSn例例 对于函数对于函数 ，利用下表计算积分，利用下表计

4、算积分xxxfsin)( dxxxI 10sin0.84147090.84147090.87719250.87719250.90885160.90885160.93615560.93615560.95885100.95885100.97672670.97672670.98961580.98961580.99739780.9973978x)(xf08/14/14/38/52/18/38/711 解解 将积分区间将积分区间00，11划分为划分为8 8等份，等份， 应用应用复化梯形法求得复化梯形法求得945609.08 T 将区间将区间00，11划分为划分为4 4等份，应用复化辛普等份，应用复化辛普

5、森法求得森法求得9460832. 04 S 两种算法计算量基本相同，但精度却差别两种算法计算量基本相同，但精度却差别很大，同准确值很大，同准确值 比较复化梯形比较复化梯形法的结果只有两位有效数字，而复化辛普森法法的结果只有两位有效数字，而复化辛普森法的结果有六位有效数字。的结果有六位有效数字。9460831. 0 I3 Composite Quadrature解：解：。xxexfxfexf )()( ,)()4( 42102112 hefRN在区间在区间00，11上，上， )( maxxfexf )(max)4(例例 分别用复化梯形公式与复化辛普森公式计算积分分别用复化梯形公式与复化辛普森公式

6、计算积分 的近似值，要求其截断误差小于等于的近似值，要求其截断误差小于等于 ，问各需取多少个节点问各需取多少个节点? ?dxeIx 1041021 由此得：由此得： ，取，取 ，则，则 需取需取 个节点。个节点。0149. 0 h0148. 0 h6 .67 N691 N 4410212880 hefRN用复化辛普森公式，有用复化辛普森公式，有则则由此可知由此可知 ，取，取 ，则只需，则只需4798. 0 h085. 21 hN3 N取取 个节点。个节点。712 N3 Composite Quadrature用复化梯形公式求积时，有用复化梯形公式求积时，有3 Composite Quadrat

7、ure 收敛速度与误差估计：收敛速度与误差估计：定义定义 若一个积分公式的误差满足若一个积分公式的误差满足 且且C 0，则，则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例：例：计算计算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502运算量基本运算量基本相同相同3 Composite QuadratureQ: 给定精度给定精度 ，如何取，如何取 n

8、 ?例如：要求例如：要求 ，如何判断，如何判断 n = ？ |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba 上例中若要求上例中若要求 ，则，则610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 409通常采取将区间通常采取将区间不断对分不断对分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 时，时，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时412fRfRnn 412

9、 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用来判断计算可用来判断计算是否停止。是否停止。 具体方法如下：用具体方法如下：用 作为作为 的近似值，则截断误差为的近似值，则截断误差为 。那么由。那么由 与与 来估计误差，来估计误差，nT2I nnTT 231若：若：（ 为计算结果的允许误差），则停止计算，并取为计算结果的允许误差），则停止计算，并取 作为积作为积分的近似值；分的近似值；nT2 32 nnTT是否满足是否满足否则将区间再次分半后算出否则将区间再次分半后算出 ，并检验不，并检验不nT4 nnTT24等式等式 将区间逐次分半进行计算（每分一次就进行一次计算），将区间逐次分半进行计算（每

10、分一次就进行一次计算），可以用可以用 与与 来估计误差，利用前后两次计算结果来判断误差来估计误差，利用前后两次计算结果来判断误差的大小的方法，我们通常称作误差的的大小的方法，我们通常称作误差的事后估计法事后估计法。nT2nT3 Composite Quadrature类似推导，还可得下列结论：类似推导，还可得下列结论：61021524 SS故故 是满足精度要求的近似解。是满足精度要求的近似解。9460833. 04 S解解 可先算出可先算出 ，然后将区间分半（即二等，然后将区间分半（即二等分），并计算分），并计算 ，显然，显然 不合要求，故再次将不合要求，故再次将区间分半（即四等分），并计算区

11、间分半（即四等分），并计算 ，因为，因为 9461459. 01 S9460869. 02 S2S9460833. 04 S)(141)(15122222nnnnnnSSSSSSI 对于柯特斯公式，若对于柯特斯公式，若 在在 a，b 上连续且变化不大，有上连续且变化不大，有)()6(xf)(141)(63123222nnnnnnCCCCCCI 对于辛普森公式，若对于辛普森公式，若 在在 a，b 上连续且变化不大，有上连续且变化不大，有)()4(xfu例例 若要求用辛普森方法计算积分若要求用辛普森方法计算积分 的近似值，的近似值， 使误差不超过使误差不超过 。（。（I=0.9460831）dxx

12、xI 10sin61021 3 Composite Quadrature4 4龙贝格（龙贝格（Romberg）算法）算法 将积分区间将积分区间a,b n等分，则一共有等分，则一共有n+1个分点，按梯形公个分点，按梯形公式计算的近似值式计算的近似值 。将求积区间再二分一次，则分点增至。将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，其中老分点个，其中老分点n+1个，个，nT为避免计算中的重复，为避免计算中的重复， 的式子改造如下：的式子改造如下：nT2 nknnnabkafnabTT122)12(2212121 ( )2()( )42nnkbabaTf af akf bnn注意到分点注意到分点)12

13、 , 2 , 1(2 nknabkaxk1211 ( )2(2)( )42 2(21)2nnknkbabaTf af akf bnnbaf akn 梯形法的递推化梯形法的递推化 公式表明，只要算出新增加的公式表明，只要算出新增加的 个点上的函数值，就可以求出个点上的函数值，就可以求出 与直接用梯形公式求与直接用梯形公式求 相比较，相比较，计算工作量几乎节省了一半。计算工作量几乎节省了一半。nnT2nT2利用公式在电子计算机上求积分的计算步骤如下：利用公式在电子计算机上求积分的计算步骤如下：为了便于编制程序，通常将积分区间为了便于编制程序，通常将积分区间 的等分数依次的等分数依次取取 ，并将递推

14、式改写成，并将递推式改写成,ba,24 ,22 ,21210 )()(21bfafabT 1121222)12(221kkkikkabiafabTT （1 1）计算初值）计算初值1T（2 2）1KkT2（3 3）计算新的梯形值）计算新的梯形值（4 4）精度控制：若）精度控制：若 ，则停止计算，并输出，则停止计算，并输出 作为积分的近似值；否则作为积分的近似值；否则k k k k+1+1，并转第（，并转第（3 3）步继）步继续计算（其中续计算（其中 根据问题的精度要求确定）。根据问题的精度要求确定）。 1223kkTTkT24 Romberg Integration解解： 定义定义 由梯形公式得

15、由梯形公式得,8414709. 0)1(, 1)0( ff.9397933. 0)21(212112 fTT,9588510. 0)21( fn例例 利用梯形公式计算积分利用梯形公式计算积分 ，使误差不过，使误差不过 。dxxxI 10sin61021 .9207355. 0)1()0(211 ffT利用递推式有利用递推式有进一步二分求积区间，新分点的函数值为进一步二分求积区间，新分点的函数值为 则有则有,9896158. 0)41( f,9088516. 0)43( f.9445135. 0)43()41(412124 ffTT继续二分下去，继续二分下去， 有：有： 9460815. 012

16、827 TT9460827. 025628 TT6221021378 TT因因9460827. 0sin8210 Tdxxx故取故取4 Romberg Integration计算了129个点上的值已知对于已知对于 = 0.510 6 须将区间对分须将区间对分7 次，得到次，得到 T128 = 0.9460827由由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 考察考察412 nnTITI483134TT = 0.9460833= S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序列序列 梯形法

17、计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度是本节梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度是本节讨论的讨论的中心问题中心问题。Romberg算法算法 计算了9个点上的值4 Romberg Integration)(3122nnnTTTI 4 Romberg Integration 理查德森理查德森外推法外推法 /* Richardsons extrapolation */利用利用低低阶公式产生阶公式产生高高精度的结果。精度的结果。设对于某一设对于某一 h 0，有公式，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值近似计算某一未知值 I。由。由Taylor展开得到：展开得到： T0(h) I = 1 h + 2

18、h2 + 3 h3 + i 与与 h 无关无关现将现将 h 对分，得：对分，得： .)(3232222120 hhhhIT Q：如何将公式精度由如何将公式精度由 O(h) 提高到提高到 O(h2) ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：.12)()(2)(32210201 hhIhTThTh .)(42312 hhIhT 12)()(221212 hTTh.)(2211 mmmhhIhT 12)()(2121 mmhmmhTT ， 624113)()2(4hhIhThThT ,)(24221 llhahahaIhT 其中系数其中系数 与与h 无关无关 。),2,1(

19、 lla定理表明定理表明 是是 阶，若用阶，若用h/2代替代替h, ,有有IhT )()(2hO,)2(164224221 llhahahaIhT再做变换，得再做变换，得 设设 , ,则有则有,)(baCxf 定理定理4 Romberg Integration这里这里 以及后面出现的以及后面出现的 均为与均为与h无关的系数，这样构造无关的系数，这样构造k kkr ,的的 与积分值与积分值 近似的阶为近似的阶为 。)(1hTI)(4hO则又可进一步从余项展开式中消去则又可进一步从余项展开式中消去 的项，而有的项，而有4h 82612)(hrhrIhT这样构造出的这样构造出的 ，其实就是，其实就是

20、Cotes序列序列，它与积分值，它与积分值 的逼近的逼近阶为阶为 。如此继续下去，每加速一次，误差的量级就提高。如此继续下去，每加速一次，误差的量级就提高2 2阶阶. .)(2hTI)(6hO这样构造的序列这样构造的序列 ，就是，就是Simpson序列序列 。)(1hT),2(1hT,2nnSS),(151)2(1516)(112hThThT ， 6416262411hhIhT 若令若令4 Romberg Integration上述处理方法通常称为上述处理方法通常称为理查森（理查森（Richardson）外推加速算法。）外推加速算法。)(141)2(144)(11hThThTmmmmmm经过经

21、过 次加速后，余项便取下列形式：次加速后，余项便取下列形式：), 2 , 1( mm )2(22)1(21)(mmmhhIhT 设以设以 表示二分表示二分k次后求得的梯形值，且以次后求得的梯形值，且以 表示序列表示序列 的的m次加速值，则由上面递推公式可得到：次加速值，则由上面递推公式可得到：kmTkT0 kT0kmmkmmmkmTThT111141144)( ), 2 , 1( k若记若记 , ,则有则有)()(0hThT 此公式也被称为此公式也被称为龙贝格求积算法龙贝格求积算法。4 Romberg Integration在计算机上实现所谓龙贝格算法，就是二分过程中逐步在计算机上实现所谓龙贝

22、格算法，就是二分过程中逐步形成形成T数表的具体方法，其步骤如下：数表的具体方法，其步骤如下：（2 2）求梯形值）求梯形值 ，按递推公式，按递推公式0()2kb aT计算计算 。 1121222)12(221kkkikkabiafabTT1kT)(141)2(144)(111hThThTkmmkmmmkm 逐个求出逐个求出T T数表的第数表的第k行其余各元素行其余各元素 (j=1,2,k(j=1,2,k）。）。jkjT （4 4）若）若 （预先给定的精度），则终止计算，并（预先给定的精度），则终止计算，并取取 ；否则令；否则令k+1 k 转（转（2 2）继续计算。）继续计算。 010kkTTIT

23、k )0(（3 3）求加速值，按公式）求加速值，按公式4 Romberg Integration （1 1）取取k=0,h=b-a,求求 令令1 k （k记区间记区间a,b的二分数）。的二分数）。0( ) ( )( )/ 2Thh f af b例例 用龙贝格算法计算积分用龙贝格算法计算积分 。 dxxI 1023解解 在在00，11上仅一次连续可微，用龙贝格上仅一次连续可微，用龙贝格算法计算见下表，算到算法计算见下表，算到k=5的精度与辛普森求积精度相当。的精度与辛普森求积精度相当。这里这里I 的精确值为的精确值为0.4。23)(xxf Tk)(0Tk)(1Tk)(5Tk)(2Tk)(3Tk)

24、(4500000.0426777.0407018.0401812.0400118.0402369.0400432.0400077.0400014.0400302.0400054.0400050.0400463.0400009.0400009.0400009.0400002.0400002.0400002.0400002.0400002.0 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T4 Romberg

25、 IntegrationHW: p.122 #8（法二）（法二）令公式对令公式对 准确成立，有准确成立，有32, 1)(xxxxf 210 AA01100 xAxA32211200 xAxA0311300 xAxA)()()(110011xfAxfAdxxf 例例5 高斯型积分高斯型积分 /* Gaussian Quadrature */解解 （法一）（法一）利用利用n =1时的时的Newton-Cotes公式，有公式，有)1()1()(11ffdxxf 代数精度为代数精度为1 1。,31,3110 xx110 AA)31()31()(11ffdxxf 它至少有它至少有3 3次代数精确度，而以

26、两个端点为节点的梯形次代数精确度，而以两个端点为节点的梯形公式却只有公式却只有1 1次代数精度。次代数精度。解解：设公式对设公式对f (x) = 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有：，准确成立，则有：例例：构造形如构造形如 的的 2 点点 公式。公式。 101100)()()(xfAxfAdxxfx 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 01010 AAxx不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。 bankkkxfAdxxfx0)()()( 构造具有构造具有2n+1次代数精度的求

27、积公式次代数精度的求积公式将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式具有具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点点，公式称为公式称为Gauss 型求积公式型求积公式。5 Gaussian QuadratureGauss点与正交多项式零点的关系点与正交多项式零点的关系 bakkdxxlxA)()( 其中其中 是关于是关于GaussGauss点的点的LagrangeLagrange插值基函数，从而得到插值基函数，

28、从而得到插值型求积公式插值型求积公式)(xlk nkkkbaxfAdxxfx0)()()( 选互异节点选互异节点 使插值型求积公式的代数精度使插值型求积公式的代数精度为为2n+1，则称该求积公式为，则称该求积公式为GaussGauss型的。称这些节点为型的。称这些节点为GaussGauss点。点。定义定义,10nxxx 一般利用正交多项式来确定一般利用正交多项式来确定GaussGauss点点 然后然后, ,利用插值原理确定利用插值原理确定GaussGauss求积系数求积系数 ,10nxxx 如果像上面两个例子那样，直接利用代数精度如果像上面两个例子那样，直接利用代数精度的概念，去联立求解的概念

29、，去联立求解2n+2 个非线性方程组。方程组是个非线性方程组。方程组是可解的，但当可解的，但当n稍大时，求解就变得相当复杂。稍大时，求解就变得相当复杂。Gauss型求积公式是插值型的，确定型求积公式是插值型的，确定Gauss点是关键！点是关键！5 Gaussian Quadrature5 Gaussian Quadrature证明：证明： “” x0 xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。 bankkkxfAdxxfx0)()()( 对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)， Pm(x) (x)的次数的次数不大于不

30、大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立： nkkkmkbamxxPAdxxxPx0)()()()()( 0= 0 “” 要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意次点，即要证公式对任意次数数不大于不大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：精确成立，即证明： nkkmkbamxPAdxxPx0)()()( 设设)()()()(xrxqxxPm bababamdxxrxdxxqxxdxxPx)()()()()()()( 0 nkkkxrA0)( nkkmkxPA0)( 求求 Gauss 点点 求求 (x) x0 xn 为为 Gauss 点

31、点 与任意次数与任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x) （带权）正交（带权）正交。 nkkxxx0)()( 定理定理n+1个求积节点的插值型求积公式代数精度的个求积节点的插值型求积公式代数精度的最高值为最高值为2n+1，因而高斯型求积公式因而高斯型求积公式常称为最高代数精度求积公式。常称为最高代数精度求积公式。在在Gauss型求积公式型求积公式 中，若取中，若取 则公式的左边则公式的左边 而右边而右边 故故n+1个节点的个节点的GaussGauss型求积公式的代数精度型求积公式的代数精度至多为至多为2n+1次。次。 nkkkbaxfAdxxfx0)()()( 202)()()(kn

32、kxxxxf 0)()(2 dxxxba 0)(2 nkkkxA n+1个节点的插值型求积公式至少可达到个节点的插值型求积公式至少可达到n次次 代数精度，至多只能达到代数精度，至多只能达到2n+1次代数精度。次代数精度。 正交多项式族正交多项式族 0, 1, , n, 有性质：任意次数不大有性质：任意次数不大于于n 的多项式的多项式 P(x) 必与必与 n+1 正交。正交。若取若取 (x) 为其中的为其中的 n+1，则，则 n+1的零点的零点就是就是 Gauss 点。点。215910 cb即：即：215910)(22 xxx 例例 求形如求形如的两点的两点GaussGauss型型 101100

33、)()()(xfAxfAdxxfx求积公式。求积公式。为区间为区间0, 10, 1上带权上带权 正交的多项式正交的多项式, ,则则xStep 1：构造正交多项式构造正交多项式 2(法一法一),设设 cbxxx22)( 100)dxcbxx2xx( 0),(x2 1020)(dxcbxxx 0),(2 15 Gaussian QuadratureStep 2：求求 2 = 0 的的 2 个根，即为个根，即为 Gauss 点点 x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1,289949. 0,821162. 0

34、10 xx)289949. 0(277556. 0)821162. 0(389111. 0)(10ffdxxfx 277556. 0,389111. 010 AA 10110010105232xAxAxdxxAAdxx解解线性线性方程组，方程组，简单。简单。Step3也可换为也可换为277556. 0)()(,389111. 0)()(10111000 dxxlxAdxxlxA （法二）（法二）设设 为区间为区间0, 10, 1上带权上带权 正交的多项式正交的多项式)()(10 xxxxx x则有则有 100)(dxxx dxxxxxxxxx)(1010210 032)(52721010 xx

35、xx0)(10 dxxxx 052)(72921010 xxxx 925272753252uvuv 289949. 0821162. 010 xx910,215 vu令，令，uxxvxx 1010,则有则有由韦达定理，知由韦达定理，知 是方程是方程 的两个根，解之得的两个根，解之得02159102 xx10, xxdxxxxxx)(1010 dxxxxxxxxx)(1010210 10, AA的求得同于（法一）。的求得同于（法一）。5 Gaussian Quadrature 例例 利用此公式计算利用此公式计算 的值。的值。 10dxexx2555. 1 2899. 08212. 0102776

36、. 03891. 010eeeAeAxx 注：注：构造正交多项式也可以利用构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推拟合中介绍过的递推式进行。式进行。5 Gaussian Quadrature 10dxexx解解5 Gaussian Quadrature 特殊正交多项式族：特殊正交多项式族： Legendre 多项式族：多项式族：1)( x 定义在定义在 1, 1上，上，kkkkkxdxdkxP)1(!21)(2 满足：满足： lklkPPklk1220),(xPP 10, 1由由 有递推有递推11)12()1( kkkkPxPkPk以以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为的根为节点

37、的求积公式称为Gauss-Legendre 公式公式。 Chebyshev 多项式族：多项式族：211)(xx 定义在定义在 1, 1上，上，) arccos( cos)(xkxTk Tn+1 的根为的根为 2212cosnkxkk = 0, , n以此为节点构造公式以此为节点构造公式 1102)()(11nkkkxfAdxxfx称为称为 Gauss-Chebyshev 公式公式。注意到积分端点注意到积分端点 1 可能是积分可能是积分的的奇点奇点，用普通，用普通Newton-Cotes公公式在端点会出问题。而式在端点会出问题。而Gauss公公式可能避免此问题的发生。式可能避免此问题的发生。 积

38、分区间为积分区间为 1, 11, 1时时, ,求积公式的代数精度为求积公式的代数精度为 的充的充要条件是要条件是 在在 1, 11, 1上与一切次数不超过上与一切次数不超过n 的多项式正的多项式正交。交。)(x 12 n由正交多项式的性质可知，由正交多项式的性质可知，n+1 次次勒让德勒让德多项式多项式 就就具有这个性质，所以用具有这个性质，所以用n+1次勒让德多项式的零点作为节点，次勒让德多项式的零点作为节点，可得高斯型求积公式。可得高斯型求积公式。)(1xPn 110)()(nkkkxfAdxxf该公式通常称为该公式通常称为高斯高斯勒让德勒让德（Gauss-Legendre）求积公式。求积

39、公式。5 Gaussian Quadrature高斯高斯勒让德勒让德( Gauss-Legendre) 求积公式求积公式构造形如构造形如的求积公式，使其为的求积公式，使其为Gauss型的。型的。 110)()(nkkkxfAdxxf便可得两点高斯便可得两点高斯勒让德求积公式勒让德求积公式若求积公式的代数精度为若求积公式的代数精度为3 3，则当，则当 时，上式能准确成时，上式能准确成 立，即由方程组立，即由方程组xxf, 1)( 111011100)31()31(21xdxAAdxAA110 AA 11)31()31()(ffdxxf不难验证，该公式的代数精度的确是不难验证，该公式的代数精度的确

40、是3 3。5 Gaussian Quadrature例例构造两点的构造两点的高斯高斯勒让德求积公式勒让德求积公式 1110)31()31()(fAfAdxxf 111100)()()(xfAxfAdxxf)13(21)(22 xxP31 作为作为GaussGauss点，则有点，则有解解 取二次取二次勒让德多项式勒让德多项式的两个零点的两个零点P110表表46给出了部分给出了部分Gauss-Legendre的节点和的节点和系数，以备查用。系数，以备查用。 若求积区间为若求积区间为a, b而而不是不是-1， 1怎么办？怎么办？ 例例 利用四点高斯利用四点高斯勒让德公式计算积分勒让德公式计算积分 （

41、积分（积分 0cos xdxex准确值为准确值为 。）。） 0703463.12)1(21 e对于对于 积分，通过变量替换积分，通过变量替换 可以化为可以化为 badxxf)(22abtabx 11)22(2dtabtabfab就可以用高斯就可以用高斯勒让德公式计算。勒让德公式计算。 badxxf)(解解 作变换作变换 则得则得)1(2tx 8611363. 02sin(3478548. 028611363. 022 ee3398810. 02sin(6521452. 0)8611363. 02sin3398810. 028611363. 02 ee)3398810. 02sin3398810

42、. 02 e 011)1(2)1(2cos2cosdttexdxetx 11222sin2tdteet 0701895.12 形如形如 的求积公式，若其代数精度为的求积公式，若其代数精度为2n+1，则称其为，则称其为高斯高斯-切比雪夫切比雪夫求积公式求积公式 1102)(1)(nkkkxfAdxxxf（Gauss-Chebyshev ）求积公式求积公式高斯高斯-切比雪夫切比雪夫 例例 求形如求形如 的两点的两点GaussGauss型求积公式。型求积公式。)()(1)(1100112xfAxfAdxxxf 解解：由于节点必是区间：由于节点必是区间 1 1，11上带权上带权 的二次正交的二次正交21