平面应力和平面应变

1、要点要点 建立平面问题的基本方程建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；边界条件的描述等程；边界条件的描述等一一 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题平面应力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 z 方向

2、不变化。方向不变化。xyyztba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy 平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。0z0zx可认为可认为整个薄板的整个薄板的各点各点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyx

3、yyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2. 平面应变问题平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多，且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几何形状和尺寸不变化尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作作用，且用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标

4、系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题

5、中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题3. 平面问题的求解平面问题的求解

6、问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；l二二 平面问

7、题基本方程平面问题基本方程xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydxxxyxy平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、v，方程与材料性质无

8、关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyxyyNlmYyxxNmlXYlmXmlsxysysxysx)()()()( 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件斜面上的应力斜面上的应力xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvyuxvyvxuxyyx几何方程几何方程说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关系，间的关系，是弹性力学的基本方

9、程之一。是弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不能确定不能确定u、v。xyyx,xyyx,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy 以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，增大为负增大为负。2. 刚体位移刚体位移物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。 即：即： ,0, 0, 0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(21xfvyfu(d)将将(d)代入代入(

10、c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf或写成：或写成： dxxdfdyydf)()(21上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，的函数，右边仅右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等两边只能等于同一常数，即于同一常数，即 dyydf)(1(d)积分积分(e) ，得：，得： dxxdf)(2(e)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（方向的刚体位移），代入（d）得）得:(10)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式讨论：讨论： xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式（1）2222yxvu,0, 00时当vu仅有仅有x方向

11、平移。方向平移。（2）, 0,0vuu则,0, 000时当uv仅有仅有y方向平移。方向平移。, 0,0uvv则（3）,0, 000时当uvxvyu则xyOPyxrrxyxyxytantan说明：说明：OPr P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角度（刚性转动）点转过的角度（刚性转动）物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，

12、物性方程即为材料力学中的力学中的广义虎克（广义虎克（Hooke）定律）定律。1()zzxyvE1()xxxzvE1()yyzxvExyxyG1yzyzG1zxzxG1（13）其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；v为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。2(1)EGv（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程1()zzxyvE1()xxxzvE1()yyzxvExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面应力问题由于平面应力问题中中1()yyxvE1()xxyvE2(1)xyxyvE（15） 注：注：(1) 0z()zxyvE

13、 (2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式2()1yyxEvv2()1xxyEvv2(1)xyxyEv0zxyzz（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中21()1xxyvvEv2(1)xyxyvE（16） 注：注：(2) 平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：21()1yyxvvEv由式（由式（13）第三式，得）第三式，得()zxyv 0zxyzz(1) 平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但0z()zxyv 1()zzxyvE1()xxxzvE1()yyzxvExyxyG1yzyzG1zxzxG1（3）两类平

14、面问题物理方程的）两类平面问题物理方程的转换：转换：21()1xxyvvEv2(1)xyxyvE（16） 21()1yyxvvEv1()yyxvE1()xxyvE2(1)xyxyvE （15）(1) 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：1vv(2) 平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：21Ev1vv2(12 )(1)EvvEE边界条件边界条件1. 弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程：）几何方程：yuxvyv

15、xuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。2. 边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqPuSSuSSS是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位

16、移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：可表达为：vu,vvuuss（17） 说明：说明：,0时当 vu称为固定位移边界。称为固定位移边界。xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界YX,xyOdxdydsPABXNYNNyxxyxy由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得xyyNlmYyxxNmlX式中取：式中取：YYX

17、XNN,sxyxysyysxx,得到：得到：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方轴的方向余弦。如：向余弦。如： 垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0)

18、 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq说明：说明：x = 0 的边界条件，是有矛的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu0, 0YXqYX , 00, 0YX内容回顾：内容回顾：1.两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力应力特征。特征。几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。yxxyyx,yxxyyx,xyyztba水水坝坝滚滚柱柱位移边界条件位移边界条件2.平面问题的基本方程

19、：平面问题的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）（4）边界条件：）边界条件：1）2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,应力边界条件应力边界条件平面应力问题平面应力问题例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos

20、)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：s

21、in,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解： 平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即0YXAB 边界：边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 边界：边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例例6例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。0YXsin)90cos(lYlm