梁等效计算长度系数确定及稳定设计

1、双伸臂钢梁等效计算长度系数确定及稳定设计李 昆1 郭耀杰2（1.同济大学土木工程学院，上海 200092；2.武汉大学土木建筑工程学院，武汉 430072）摘要：在双伸臂梁整体稳定分析中引入等效计算长度系数，提出了其计算公式，并按照钢结构设计规范受弯构件整体稳定性设计中的相关内容，由等效计算长度系数推导出了双伸臂梁整体稳定系数的表达式，给出了完整简洁的双伸臂梁整体稳定设计的计算步骤和设计公式.关键词：双伸臂梁； 整体稳定； 等效计算长度系数中图分类号：TU391 文献标识码：A 文章编号：1672-948X（2004）05-0416-04DeterminationofEquivalentCal

2、culatedLengthCoefficientandOverallStabilityDesignofaBi-overhangingBeamLiKun1 GuoYaojie2（1.SchoolofCivilEngineering，TongjiUniv.，Shanghai200092，China；2.SchoolofCivilandArchitecturalEngi-neering，WuhanUniv.，Wuhan430072，China）Abstract Theequivalentcalculatedlengthcoefficientisintroducedanditsformulasared

3、educedintheoverallstabili-tydesignofthebi-overhangingbeam.Thenformulasoftheoverallstabilitycoefficientoftheoverhangingbeamisalsodeducedfromtheequivalentcalculatedlengthcoefficientinaccordancewiththedesigncodeofthesteelstructures.Theintegratedandprecisedesignprocessandformulasareoffered.Keywords bi-o

4、verhangingbeam； overallstability； equivalentcalculatedlengthcoefficient双伸臂钢梁在建筑工程结构中应用广泛，但是由于其边界条件与简支梁和悬臂梁的边界条件相比而言更为复杂，因此以往文献在对其进行整体稳定计算时将其计算长度系数分段取为定值，使得计算结果误差较大.本文提出的计算表达式为连续函数，克服了这一不足.进而推导出了双伸臂梁整体稳定系数的表达式，提出了整体稳定设计的计算步骤和设计公式，为实际工程提供了既简便易行又准确实用的稳定设计方法.图1 两端对称的双伸臂钢梁简图弹性稳定分析中，双伸臂钢梁所承受的4种荷载形式都属于对称分布

5、，且考虑每种形式的荷载都分别作用在梁的上翼缘、剪心面和下翼缘3个位置.若令=则该梁的屈曲形l1/l为伸臂段与中部跨段的长度比，态与以及伸臂段与跨中段的荷载比例有关.总体而言，双伸臂钢梁发生失稳时，其屈曲将出1 计算简图及荷载布置在实际工程中，常常用到中间跨简支、两端对称挑出的等截面双伸臂梁，如图1.梁的荷载简图如图2所示.图2中ad所示的收稿日期：2004-04-08作者简介：李 昆（1973-），男，博士研究生.第26卷 第5期 李 昆等 双伸臂钢梁等效计算长度系数确定及稳定设计417图2 双伸臂梁的4种荷载布置形式现正对称和反对称失稳形态，通常当较小时，发生图3 位移及转角示意图（1）z=

6、0（a）正对称失稳，当较大时，发生反对称失稳.当1/2时，双伸臂梁在图2所示的4种荷载作用情况下，一般均发生正对称形态失稳.在实际结构中，绝大多数情况下都小于1/2，因此本文只讨论在正对称失稳状况下，双伸臂梁的整体稳定分析及其设计.2 等效计算长度系数的确定2.1 临界弯矩特征值推导双伸臂梁在发生弯扭屈曲时，其总势能表达式为=1l0EI"2yu+EI"2+GI'22K+2M2xu"+2Mxy'+qay2dz（1）式中，EIy、EI、GIk分别为截面绕y轴的抗弯刚度、截面的翘曲刚度以及截面的抗扭刚度；Mx为外荷载作用下产生的x轴方向的弯矩（上翼缘受压

7、为正）；u、分别为截面剪心在x轴方向的位移（取正向与x轴正向相同）和截面绕z轴的转角（正负号根据右手定则确定）；q为作用于伸臂梁腹板平面内的荷载（方向竖直向下为正）；ay为竖向荷载作用点的坐标与截面剪心坐标的距离，在剪心以上时为负，反之为正；y为截面不对称特征系数，对于双轴对称梁，y=0.上式含有u，两个位移变量，可以通过坐标变换消去位移变量，最后可以得到只含有一个变量的双伸臂梁总势能方程为=1l2（EI"2+GI2Mx220k'-EI+qa）dz（2）y对于跨中部分和伸臂部分，如图3，分别将他们的转角方程设为：跨中部分：=Asin2lz+B（1-coslz） 伸臂部分：23

8、41=A1+B1z1+C1z1+D1z1+E1z1伸臂部分的边界条件分别为1（"1）z1=l1=（0翘曲应力为0）（b）GIk'1-EI"'1=Te（内外扭矩相等）（c）式中，Te=-Fay1.F为作用在伸臂端部的集中荷载，当伸臂仅承受均布荷载时，F=0，即Te=0.另外，支座处的两个连续条件为（'1）z1=0=（'）z=（翘曲连续）l（d）（"1）Z1=0=（"）z=（翘曲应力连续）l（e）由上述式（a）（e），我们可以将A1，B1，C1，D1，E1这5个待定常数表示成A，B的函数.因此，伸臂部分的转角方程可以表示为：1

9、=Af（1z1）+Bf（2z2）则双伸臂梁的总势能可分段表示为：跨中部分：1l1=2（0EI"2GI'2M2x22+k-EI+qa）d（z3）y伸臂部分：1l1=2×2（1EI"2'2M2x2201+GIk1-EI1+qa1）dz1y（4）双伸臂梁全梁的总势能为=1+2（5）将上式分别对A，B求偏导数，可以得到A=a11A+a12B（6）B=a21A+a22B由势能驻值原理，得到=AA+BB=0（7）即A=0a11A+a12B=0a（8）21A+a22B=0B因为A、B不能同时为零，所以方程式（8）有非零解，即其系数行列式为零，从而418三峡大学学

10、报（自然科学版） 2004年10月a11a22-a12a21=0达式为f（k'）k4+f（k'），k+1，2，（9）将方程（9）加以整理，可以得到临界弯矩系数k的表对于双伸臂工字梁，当引入等效计算长度系数µ之后，其临界弯矩的表达式可以写为Mcr=EIyGIk+EI2（11）（µl1）（µl1）f（k'）k'），+f（，+3，4，f（k'）k2+f（k'），+5，6，4k'）k+f（k'）f（，+7，8，222将式（11）变形为（10）Mcr则将k=EI=1+（12）2（µl1）yk（

11、1;l1）GIkM0f（k'）（，k'）=0，+f10，9，l1式中，=，=l=22ay=0 （荷载作用于梁的剪心面）；h-1（荷载作用于梁的上翼缘）+1（荷载作用于梁的下翼缘）；GIkl21ykl21代入上式，得到k=1+2（13）µµ这样，双伸臂梁的等效计算长度系数即可以按照下面k=M0/0（伸臂部分作用有均布荷载）k'=k（伸臂端部作用有集中荷载）GI/lM0为梁支座处的弯矩；yk1，的公式进行计算+4kµ=k2当荷载一定时，式（10）中f（k'）f10（，1，k'）的表达式也是一定的，通过计算即可以由，求出k值.2.

12、2 等效计算长度系数计算公式确定那么，在每一种尺寸和荷载形式的组合下，利用已经得到的k值和，即可以计算出在该种情况下伸臂梁的µ值.以集中荷载作用在双伸臂梁端部剪心面时为例，计算结果列入表1中.1.04.473.582.712.281.87（14）表1 集中荷载作用于双伸臂梁端的剪心面时等效计算长度系数µ1/51/41/31/2.51/204.713.762.812.351.880.24.663.712.752.281.810.44.563.612.672.221.790.64.493.562.652.211.790.84.473.552.672.241.831.24.503

13、.622.752.321.891.44.543.662.792.361.911.64.593.702.822.391.941.84.633.742.852.411.962.04.673.772.882.431.98从表1中可以看出，µ同时随着，的变化而变化，本文经过大量的反复试算，选取了合适的基函数，最后得到拟合公式为µ=-0.0847+0.92991+0.1563-0.0313（15）其中，b=crMcr=，根据式（11）可得fyWxfy2I（µl1）GIk1+17）2IyEI可进一步简化为（t1对双轴对称工字型截面，式（17）EIyb=2Wxf（xµ

14、l1）为翼缘厚度）b=14320Ah22µyWx采用类似的方法，可以将双伸臂梁在4种荷载作用形式下的等效计算长度系数µ值的计算公式分别计算得出，列入表2中.21+µ（y12235）18）4.4hfy3 双伸臂梁整体稳定系数b前面已经得到单伸臂梁的临界弯矩Mcr的计算式（11），通常设计时采用整体稳定系数b的表达形式为MfbWx（16）4 双伸臂梁整体稳定设计步骤及相应设计公式首先由以下两式计算出双伸臂梁的和：=l1，=l式中，l1为梁的伸臂段长度，l为中间段长度.然后根据计算得到的和，并按照双伸臂梁上GIkl21第26卷 第5期 李 昆等 双伸臂钢梁等效计算长度系

15、数确定及稳定设计419荷载的分布形式和作用点的位置由表2选取相应的公式，计算得出该梁的计算长度系数µ；其次，根据得到的µ值按照公式（19）计算双伸臂梁的整体稳定系数b为14320Ahb=22µyWxl1式中，y=iy编号荷载类型最后，再由式（20）对双伸臂梁整体稳定进行验算MfbWx设计值.（20）22351+µ（y1）（19）4.4hfy2式中，M为双伸臂梁的最大计算弯矩；f为钢材的强度表2 双伸臂梁的等效计算长度系数µ荷载作用位置剪心面或下翼缘上翼缘剪心面或下翼缘上翼缘剪心面或下翼缘上翼缘剪心面或下翼缘上翼缘等效计算长度系数µ的计

16、算公式1+0.1563-0.0311+1.1948-0.146µ=-0.0909+0.90731µ=0.1185+0.03544+0.5009-0.00791µ=0.3546+0.03714+1.5384-0.00491+0.1336-0.027µ=-0.0978+0.93231+0.7097-0.090µ=-0.1332+0.92861µ=-0.0148+0.03574+0.4811-0.0081µ=0.2622+0.03744+1.2644-0.0047µ=-0.0847+0.92995144431图2a2图2b3图2c4图2d1ofBeamsandBeams-ColumnsM.London.1983.5 结 论在双伸臂梁整体稳定分析中引入等效计算长度系数，简化了计算；找出了等效计算长度系数与其影响因素之间的关系，通过数学方法，推导得出了简捷适用的计算公式；给出了双伸臂梁整体稳定设计计算的实用