小学数学重点题型和重难点把握

1、一辨，二明，三破一辨，二明，三破佳一教育机构佳一教育机构为学的五个阶段p“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。” 礼记礼记中庸中庸十九章十九章1 1如何让孩子如何让孩子“明辨之明辨之”p分辨、归类所属题型分辨、归类所属题型p明确、总结解题策略明确、总结解题策略p突出重点，破除难点突出重点，破除难点2 2p为什么？为什么？如何？如何？3 3学生太学生太“博学博学”，所学知识太混杂。，所学知识太混杂。同一知识跨度太大，学生无法自主贯连。同一知识跨度太大，学生无法自主贯连。公立学校教材和练习没有明确的题型分类。公立学校教材和练习没有明确的题型分类。p常见的

2、小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 31和差倍问题和差倍问题p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 32年龄问题的三个基本特征年龄问题的三个基本特征两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 33归一问题和还原问题归一问题和还原问题归一问题：归一问题：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；还原问题：还原问题：还原问题是指条件只说明了事件的发展过程和最后的结

3、果，要求最初状态的一类问题。还原问题的基本特征是：按照题目中数量变化的过程，反过来从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，直到解决问题。对于较复杂的还原问题，我们可以通过列表来帮助理清题目中数量间的变化关系，也可以直接用倒推法列式解题。最后每题解完后，把数值代入到原题中，进行验算，这是防止错误，提高正确率的有力措施。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 34植树问题植树问题p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 35鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在

4、（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数(兔脚数总头数总脚数)（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数(总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。提示：鸡兔同笼的公式千万不要死记硬背，因为它的变形更多！p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 36盈亏问题盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，

5、造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：盈亏问题； 基本公式：分配的份数（盈亏）两次分配差双亏问题； 基本公式：分配的份数（大亏一小亏）两次分配差双赢问题； 基本公式：分配的份数（大赢一小赢）两次分配差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 37牛吃草问题牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；

6、再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 38周期循环与数表规律周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平 年：一年有365天。年份

7、不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；周期问题一般要利用余数的知识来解答，所以这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。常用到的时间关系式：经过的天数（或年数）=结尾数开始数+1计算周年=今年年份出生年份p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 39平均数平均数基本公式：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数（移多补少）基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之

8、间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 310抽屉原理抽屉原理（必考知识点命题热点）抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一

9、个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时。k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：X表示不超过X的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 311定义新运算定义新运算（必考知识点）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基

10、本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合常用四则运算规律，特别注意运算顺序。复杂的题目最好分步计算。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 312数列求和数列求和（必考知识点命题热点）等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示

11、；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an = a1+（n1）d； 通项首项（项数一1) 公差；数列和公式：Sn,= (a1+ an)n2； 数列和（首项末项）项数2；项数公式：n= (an+ a1)d1； 项数=（末项-首项）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）； 公差=（末项首项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用

12、的公式；西工大李老师提示：推导出来的东西要熟记，可以利用植树问题推到！p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 313二进制及其应用二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。二进制：用01两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。注意：每个数位上注意：每个数位上不是0就是1。十进制化成二进制：十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该

13、数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 314加法乘法原理和几何计数加法乘法原理和几何计数（必考知识点命题热点）加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方

14、法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1m2. mn种不同的方法。关键问题：关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。几何计数：几何计数：数线段规律：总数1+2+3+（点数一1）；数角规律=1+2+3+（射线数一1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数正方形规律：总个数=11的个数+22的个数+33的个数+nn的个数p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 315质数与合数质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

15、合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1a2a3an。互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 316约数与倍数约数与倍数（命题热点）约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，

16、叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法又叫倍欧几里德除法：(每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个

17、，叫做这几个数的最小公倍数。最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 317数的整除数的整除一、基本概念：整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。二、整除判断方法：1、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2、能被4、25整除：末两位的数字所组成的数

18、能被4、25整除。3、能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4、能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5、能被7整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6、 能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7、能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13

19、整除。三、整除的性质：1、如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2、 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3、如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4、如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 318、算式迷、算式迷解算式谜按三个步骤分析思考：（1）审题。审题就是找出算式中数量之间的关系和特征，它们是确定各空格内应该填什么数字的主要依据（2）突破口。应该在审题的基础上，认真分析、思考找出算式中容易填出或关键性的空格，作为解题的突破口。（3）尝试。当可填写的数字

20、不唯一的时候，我们要按照一定的规律，一一尝试每一个可填写的数，看是否能满足所有条件。 （4）检验。确定了各空格所填填数字，还要完整的检验一下，预防由于粗心而造成的错误。注意点：（1）一般突破口位于个位或者最高位。（2）可以尝试运用逆向思维。减法转化为加法，除法转化为乘法。p常见的小学数学题型及解决策略常见的小学数学题型及解决策略3 319、行程问题、行程问题“行程问题”分类：相遇问题：速度和相遇时间相遇路程；追及问题：速度差追及时间路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度船速水速 逆水速度船速水速静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2（也就是顺

21、水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）火车过桥：加入了火车车长这一条件。环形行程：抓住往返过程中不变的关系复杂行程：包括多次相遇、多人行程、二维行程等。比例应用：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。注意点： 行程可能是一个壳，可以将和差倍等知识往里面加。本质上可能是其他题型。p典型例题典型例题3 3一个盘子里共有96颗鹅卵石，如果不一次拿出，也不一个个地拿出，每次拿的颗数相等，左后一次正好拿完。那么共有几种拿法？“长城”号游轮在两个港口之间航行，顺流航行需要4小时，逆流航行需要5小时，已知水速是每小时8千米，求两个港口之间的距离。用0、1、2、3、4

22、五个数字组成数字不重复的三位数有几个？组成数字不重复的四位数有几个？p典型例题典型例题3 3一次朋友聚会，大家见面时总共握手36次。如果参加聚会的人和其余的每个人都只握一次手，问参加聚会的共有多少人？第一小组有学生21人，一分钟跳绳考核时有3名同学因病缺考，平均成绩是每人跳80个。后来这3名同学补考，成绩分别为100个、86个和75个。第一小组的平均成绩是多少个？p教材典型例题教材典型例题675名学生按照下表的方法编号排成5列，最后一名学生在第几列？例7：生态公园里正在搞植树活动，二年级和五年级的学生种了好多树。一共植树30棵。五年级植树的棵数是二年级的4倍。两个年级各植树多少棵？p帮助孩子题

23、型分类，明确对应题型的概念、帮助孩子题型分类，明确对应题型的概念、步骤、公式、注意点。在教学中，首先要引步骤、公式、注意点。在教学中，首先要引导孩子们理解和运用解决此类问题的手段方导孩子们理解和运用解决此类问题的手段方法，板书一定要细致呈现解决问题的过程，法，板书一定要细致呈现解决问题的过程，在显要位置突出解题关键点。最终让孩子们在显要位置突出解题关键点。最终让孩子们的数学学习实现知识体系网络化，同类题型的数学学习实现知识体系网络化，同类题型系统化。系统化。3 3p目的目的突出重点，破除难点p确定教学重点和难点的几个要点确定教学重点和难点的几个要点p列举实例说明突破重难点的策略列举实例说明突破

24、重难点的策略2 2p 教学重点 “在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容”。p 教学难点，一般指对于大多数学生来说是理解和掌握起来感觉比较困难的关键性的知识点或容易出现混淆、错误的问题。3 3p确定教学重点和难点的几个要点1、根据教材的知识结构，从知识点中梳理出重点。 一节课的知识点可能有多个，但重点一般只有一两个。我们要详细地知道每节课的知识点，在教学中做到不遗漏、不添加。如果知识点是某单元或某内容的核心，是后继学习的基石或有广泛应用等，那么它就是教学重点。举例1：等量代换知识为例， (1)掌握解决问题的一般步骤，能按步骤解决问题；(2)会用“替换”的策略理解题意、分析数量关

25、系；(3)学会检验，掌握检验的方法；(4)明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量；(5)理解用“替换”策略解决倍数关系和相差关系问题的同和异；(6)感受“替换”策略解决特定问题的价值。梳理这些知识点后，本课的教学重点有两个：一是让学生学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系，二是让学生明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量。3 3p确定教学重点和难点的几个要点2、根据学生的认知水平，从重点中确定好难点。 数学教学重点和难点与学生的认知结构有关，是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾而产生的。换句话说，以现有孩子的认知水平理

26、解起来困难的内容就是难点。 举例1：和倍差倍，盈亏问题3 3p确定教学重点和难点的几个要点 3把握教材与学生的实际，区分教学重点和难点。 教学中，还需要教师在分析教材和学生的基础上，区分好教学重点和难点。从学生的实际出发，选择合适的方法来帮助孩子理解。 假设问题为例，教学重点和难点都是通过画图和列表的方法，学会用假设策略分析数量关系，确定解题思路，解决问题。 通过比较，找出两种方法的共同点，从本质上理解假设策略。3 3p列举实例说明突破重难点的策略 数学教学就是要借助于数学的逻辑结构，抓住知识间的衔接，引导学生运用迁移的方法，促成由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的联系，不断完善认知结构。 举例：举例：(1)有的新知识与某些旧知识很相似，要突出“共同点”，进而突破重、难点；(比的基本性质) 1找准知识的生长点来突出重点、突破难点。 例：小明每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程？3 3p列举实例说明突破重难点的策略 举例：举例：(2)有的新知识由两个或两个以上旧知识组合而成，要突出“连接点”，进而突破重、难点； 1找准知识的生长点来突出重点、突破难点。 例：三年级有甲、乙两个班，如果从甲班调2人到乙班，则甲、乙两班人数相等；如果从乙班调17人