全国名校高中数学题库-- 解析几何

1、一、选择题一、选择题1.1.辽宁理，辽宁理，44圆C与直线xy=0 及xy4=0 都相切，圆心在直线x+y=0 上，那么圆C的方程为A.22(1)(1)2xy B. 22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xy D. 22(1)(1)2xy【解析】圆心在xy0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径即2可.【答案】B2.2.重庆理，重庆理，11直线1yx与圆221xy的位置关系为 A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【解析】圆心(0,0)为到直线1yx，即10 xy 的距离1222d ，而2012，选 B。【答案】B3.重庆文，重庆文，11

2、圆心在y轴上，半径为 1，且过点1，2的圆的方程为 A22(2)1xy B22(2)1xy C22(1)(3)1xyD22(3)1xy解法解法 1 1直接法：设圆心坐标为(0, )b，那么由题意知2(1)(2)1ob，解得2b ，故圆的方程为22(2)1xy。解法解法 2 2数形结合法：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为0，2 ，故圆的方程为22(2)1xy解法解法 3 3验证法：将点1，2代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在y轴上，排除 C。【答案】A4.上海文，上海文，1717点 P4，2与圆224xy上任一点连续的中点轨迹方程是 A.22(2)(1)1xy B.2

3、2(2)(1)4xyC.22(4)(2)4xyD.22(2)(1)1xy【解析】设圆上任一点为 Qs，t ，PQ 的中点为 Ax，y ，那么2224tysx，解得：2242ytxs，代入圆方程，得2x422y224，整理，得：22(2)(1)1xy【答案】A5. 上海文，上海文，1515直线12:(3)(4)10,:2(3)230,lkxk ylkxy 与平行，那么k得值是 A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 【解析】当k3 时，两直线平行，当k3 时，由两直线平行，斜率相等，得：kk43k3，解得：k5，应选 C。【答案】C6. ( (上海文，上海文，18)18

4、)过圆22(1)(1)1C xy：的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四局部如图 ，假设这四局部图形面积满足|,SSSS那么直线AB有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条【解析】由，得：,IVIIIIIISSSS，第 II，IV 局部的面积是定值，所以，IVIISS为定值，即,IIIISS为定值，当直线AB绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，应选 B。【答案】B7.陕西理，陕西理，44过原点且倾斜角为60的直线被圆2240 xyy所截得的弦长为A.3 B.2 C.6 D.23 2222402432 3xyyxy解析：（），A(0

5、, 2), O A=2, A到直线O N 的距离是1,O N =弦长【答案】D二、填空题二、填空题8. 广东文，广东文，1313以点2，1为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是 .【解析】将直线6xy化为60 xy,圆的半径|2 1 6|51 12r ,所以圆的方程为2225(2)(1)2xy【答案】2225(2)(1)2xy9.天津理，天津理，1313设直线1l的参数方程为11 3xtyt t为参数 ，直线2l的方程为y=3x+4 那么1l与2l的距离为_【解析】由题直线1l的普通方程为023 yx，故它与与2l的距离为510310|24|。【答案】510310. 天津文，天津文，1414假设

6、圆422 yx与圆)0(06222aayyx的公共弦长为32，那么a=_.【解析】由，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为ay1 ，利用圆心0，0到直线的距离 d1|1|a为13222，解得a=1.【答案】111.全国全国文文 1616假设直线m被两平行线12:10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22，那么m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75其中正确答案的序号是 .写出所有正确答案的序号【解析】解：两平行线间的距离为211|13| d，由图知直线m与1l的夹角为o30，1l的倾斜角为o45，所以直线m的倾斜角等于00754530 o或00153045 o。【答案】12.

7、全国全国理理 1616ACBD、为圆O:224xy的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M,那么四边形ABCD的面积的最大值为 。【解析】设圆心O到ACBD、的距离分别为12dd、,那么222123ddOM+.四边形ABCD的面积222212121| | 2 (4)8()52SABCDdddd)(4-【答案】513.全国全国文文 1515圆O：522 yx和点A1，2 ，那么过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=21(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和25，所以所求面积为42552521。【答案】 254

8、 14.湖北文湖北文 1414过原点O作圆x2+y2-6x8y20=0 的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段PQ的长为 。【解析】可得圆方程是22(3)(4)5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ .【答案】415.江西理江西理 1616 设直线系: cos(2)sin1(02 )M xy,对于以下四个命题： AM中所有直线均经过一个定点 B存在定点P不在M中的任一条直线上 C对于任意整数(3)n n ，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 【解析】因为cos(2)sin1xy所以点(0,

9、2)P到M中每条直线的距离2211cossind即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线,所以A错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B 正确； 对任意3n ,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误,故命题中正确的序号是 B,C.【答案】,B C三、解答题三、解答题16.20212021 江苏卷江苏卷 1818 本小题总分值 16 分 在平面直角坐标系xoy中，圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.1假设直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为2 3，求直

10、线l的方程；2设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解解 (1)设直线l的方程为：(4)yk x，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离222 34()12d ，结合点到直线距离公式，得：2| 31 4 |1,1kkk 化简得：272470,0,24kkkor k 求直线l的方程为：0y 或7(4)24yx ，即0y 或724280 xy(2) 设点P坐标为( , )m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()ynk xmy

11、nxmk ，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。故有：2241|5| 31|111nmknkmkkkk ，化简得：(2)3,(8)5mn kmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：20,30mnmnm -n+8=0或m +n-5=0解之得：点P坐标为3 13(,)2 2或51( ,)22。2005200520212021 年高考题年高考题一、选择题1.20212021 年全国年全国理理 1111等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy与 x-7y-

12、4=0,原点在等腰三角形的底边上，那么底边所在直线的斜率为 .A3 B2 C13 D12答案答案 A解析解析 1, 02:11kyxl，71, 047:22kyxl，设底边为kxyl:3由题意，3l到1l所成的角等于2l到3l所成的角于是有371711112211kkkkkkkkkkk再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。2.20212021 年全国年全国文文 33原点到直线052yx的距离为 A1 B3 C2 D5答案答案 D解析解析 52152d。3.2021.2021 四川四川将直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移个单位长度，所得到的直线为 ( )A.1133yx B

13、.113yx C.33yxD.113yx答案答案 A4.20212021 上海上海 1515如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域含边界 ，A、B、C、D是该圆的四等分点假设点()P xy，、点()P xy，满足xx且yy，那么称P优于P如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 BC D答案答案 D5.20072007 重庆文重庆文假设直线 与圆122 yx相交于P、Q两点，且POQ120其中O为原点 ，那么k的值为 A.-3或3 B.3 C.-2或2 D.2答案答案 A6.20072007 天津文天

14、津文 “2a 是“直线20axy平行于直线1xy的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案答案 C7 20062006年江苏年江苏圆1)3() 1(22yx的切线方程中有一个是 A.xy0B.xy0C.x0 D.y0答案答案 C8. 20052005 湖南文湖南文设直线的方程是0 ByAx，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，那么所得不同直线的条数是 A20 B19C18D16答案答案 C C9. (2005(2005 全国全国文文) )设直线l过点)0 , 2(，且与圆122 yx相切，那么l的斜率是工 A.1B.2

15、1 C.33 D.3答案答案 C10.20052005 辽宁辽宁假设直线02cyx按向量) 1, 1 ( a平移后与圆522 yx相切，那么 c 的值为 A8 或2B6 或4C4 或6D2 或8答案答案 A11.20052005 北京文北京文 “m=21是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案答案 B二、填空题二、填空题12. 20212021 天津文天津文 1515， 圆C的圆心与点( 2,1)P 关于直线 y=x+1 对称，直线 3x+4y-11

16、=0与圆C相交于BA,两点，且6AB，那么圆C的方程为_. 答案答案 22(1)18xyABlC13.20212021 四川文四川文 1414直线:40l xy与圆22:112Cxy，那么C上各点到l的距离的最小值为_.答案答案 214.20212021 广东理广东理 1111经过圆2220 xxy的圆心C，且与直线0 xy垂直的直线程是 答案答案 10 xy 15.20072007 上海文上海文如图，AB，是直线l上的两点，且2AB两个半径相等的动圆分别与l相切于AB，点，C是这两个圆的公共点，那么圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是 答案答案 22 , 016.2007200

17、7 湖南理湖南理圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是 答案答案 (x-1)2+(y-1)2=217. ( ( 20062006重庆理重庆理) )变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.假设目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，那么a的取值范围为_.答案答案 a118.20052005 江西江西设实数 x,y 满足的最大值是则xyyyxyx,03204202 .答案答案 23第二局部第二局部 三年联考汇编三年联考汇编20212021 年联考题年联考题一、选择题一、选择题1.( (西南师大附中高西南师大附中高 20212021 级第三次月考级第三次月考)

18、)“a= 3是“直线210axy 与直线640 xyc平行的 条件A充要B充分而不必要C必要而不充分 D既不充分也不必要答案答案 C C2.( (重庆市大足中学重庆市大足中学 20212021 年高考数学模拟试题年高考数学模拟试题) )直线 x+y+1=0 与圆2122yx的位置关系是 A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定答案答案 C3.( (西南师大附中高西南师大附中高 20212021 级第三次月考级第三次月考) )两圆32cos3cos42sin3sinxxyy 与的位置关系是 A内切B外切C相离D内含答案答案 B4. ( (西南师大附中高西南师大附中高 20212021 级第三次

19、月考级第三次月考) )点 Px，y是直线 kx+y+4 = 0k 0上一动点，PA、PB是圆 C：2220 xyy的两条切线，A、B 是切点，假设四边形 PACB 的最小面积是 2，那么 k 的值为 A3B212C2 2D2答案答案 D5. ( (福建省南安一中、安溪一中、养正中学福建省南安一中、安溪一中、养正中学 20212021 届高三期中联考届高三期中联考) )实系数方程 x2+ax+2b=0,的一个根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，那么21ba的取值范围是 A ，1B ， ， ，1412121413答案答案 A6.( (广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学 2

20、0212021 届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试) )点(4, ) t到直线431xy的距离不大于 3，那么t的取值范围是 A13133t B100t C100t D0t或10t 答案答案 C C7. ( (四川省成都市四川省成都市 20212021 届高三入学摸底测试届高三入学摸底测试) )圆的方程为22680 xyxy，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，那么直线AB与CD的斜率之和为( )A.1 B.0 C. 1 D.2答案答案 B8.( (湖南省长郡中学湖南省长郡中学 20212021 届高三第二次月考届高三第二次月考) )直线) 1(1:xkyl

21、和圆0222yyx 的关系是 A.相离B.相切或相交C.相交D.相切答案答案 C9. ( (福建省宁德市福建省宁德市 20212021 届高三上学期第四次月考届高三上学期第四次月考) )过点)2 , 1 (M的直线l将圆(x-2)2+y2=9 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是 A1x B1y C01 yx D032yx 答案答案 D 二、填空题二、填空题10.(.(广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学 20212021 届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试) )从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点(2,3)P向这个圆引切线，那么切线长为 答案答案 2

22、11.( (江苏省赣榆高级中学江苏省赣榆高级中学 20212021 届高三上期段考届高三上期段考) )直线032yx与直线04byax关于点)0 , 1 (A对称，那么b_。答案答案 212.(.(湖南省长郡中学湖南省长郡中学 20212021 届高三第二次月考届高三第二次月考) )过点C(,-)作圆2522 yx的切线，切点为A、B，那么点C到直线AB的距离为_。答案答案 2513. . ( (四川省成都市四川省成都市 2021202120212021 学年度上学期高三年级期末综合测试学年度上学期高三年级期末综合测试) )光线由点P(2,3)射到直线1 yx上,反射后过点Q(1,1),那么反

23、射光线方程为 .答案答案 4x5y1014.(.(安徽省巢湖市安徽省巢湖市 20212021 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测) )过) 1 ,21(M的直线 l 与圆 C：(x-1)2+y2=4 交于A、B两点，当ACB最小时，直线的方程为 .答案答案 0342yx2007200720212021 年联考题年联考题一、选择题一、选择题1.1. ( (四川省巴蜀联盟四川省巴蜀联盟 20212021 届高三年级第二次联考届高三年级第二次联考) )点 A3,2 ，B-2,7 ，假设直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1，那么 a 的值为 A3

24、B-3C9D-9 答案答案 D D2.( (北京市丰台区北京市丰台区 20212021 年年 4 4 月高三统一练习一月高三统一练习一) )由直线1yx上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线，那么切线长的最小值为( )A.17 B.3 2 C.19 D.2 5答案答案 A A3.(.(北京市西城区北京市西城区 20212021 年年 5 5 月高三抽样测试月高三抽样测试) )圆2211yx被直线0 xy分成两段圆弧，那么较短弧长与较长弧长之比为 A12 B13 C14 D15答案答案 B4.( (广东省汕头市澄海区广东省汕头市澄海区 20212021 年第一学期期末考试年第一学期期末考

25、试) )直线yxb平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0的周长，那么b A3 B5C3 D5答案答案 D5.( (安徽省合肥市安徽省合肥市 20212021 年高三年级第一次质检年高三年级第一次质检) )把直线20 xy按向量(2,0)a 平移后恰与224220 xyyx相切，那么实数的值为 A22或2 B2或2 C22或22D22或2答案答案 C6.20072007 岳阳市一中高三数学能力题训练岳阳市一中高三数学能力题训练 假设圆2225()3(ryx）上有且仅有两个点到直线4x3y2=0 的距离为 1，那么半径r的取值范围是 A.，6.，.， .，答案答案 A7. (2007(2007 海

26、淀模拟海淀模拟) )直线ax+by-1=0(a,b不全为 0)与圆x2+y2=50 有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 条A.66 B.72 C.74 D.78 答案答案 C二、填空题二、填空题7.( (甘肃省兰州一中甘肃省兰州一中 20212021 届高三上期期末考试届高三上期期末考试) )光线从点P3，5射到直线 l:3x-4y+4=0上，经过反射，其反射光线过点Q3，5 ，那么光线从P到Q所走过的路程为 . 答案答案 88.( (河北省正定中学河北省正定中学 20212021 年高三第四次月考年高三第四次月考) )圆(sin1cos1yx为参数的标准方程是 ，过这个圆

27、外一点P2,3的该圆的切线方程是 。答案答案 (x1)2(y1)21；x2 或 3x4y609. . ( (湖北省鄂州市湖北省鄂州市 20212021 年高考模拟年高考模拟) )与圆22(2)1xy相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_条.答案答案 410.( (湖南省长沙市一中湖南省长沙市一中 20212021 届高三第六次月考届高三第六次月考) )设直线03 yax与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦长为32，那么a= 。答案答案 011. . ( (江苏省泰兴市江苏省泰兴市 2007200720212021 学年第一学期高三调研学年第一学期高三调研) )设直线1l的

28、方程为022yx，将直线1l绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l，那么2l的方程是 答案答案 2xy2012.(2007.(2007 石家庄一模石家庄一模) )假设5xkx+2 对一切x5 都成立，那么k的取值范围是_.答案答案 k1/10 或k0过M2，2 ，N (6,1)两点，O 为坐标原点，I求椭圆E的方程；II是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB ？假设存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，假设不存在说明理由。解:1因为椭圆E: 22221xyaba,b0过M2，2 ，N (6,1)两点,所以2222421611abab解得2

29、2118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy2假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB ,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,那么=222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmx xk ,22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要使OAOB ,需使12120 x xy y,即222

30、2228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m ,即2 63m 或2 63m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,2 63r ,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足2 63m 或2 63m ,而当切线的斜率不存在时切线为2 63x 与椭圆22184xy的两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33满足OAOB ,综上, 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB .因为1

31、2221224122812kmxxkmx xk ,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxx xkkk ,2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk422424232 45132134413441kkkkkkk, 当0k 时22321|11344ABkk因为221448kk所以221101844kk,所以223232111213344kk,所以46 | 2 33AB当且仅当22k 时取=. 当0k 时,4 6|3AB . 当AB的斜率不存在时, 两个交点为2 62 6(,)33或

32、2 62 6(,)33,所以此时4 6|3AB ,综上, |AB |的取值范围为46 | 2 33AB即: 4| 6,2 33AB 【命题立意】:此题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程确实定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.47. (2021 山东卷文)本小题总分值 14 分设mR,在平面直角坐标系中,向量(,1)amx y,向量( ,1)bx y,ab,动点( , )M x y的轨迹为E.1求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;241m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条

33、切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)41m,设直线l与圆 C:222xyR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解解1因为ab,(,1)amx y,( ,1)bx y,所以2210a bmxy , 即221mxy.当m=0 时,方程表示两直线,方程为1y;当1m 时, 方程表示的是圆当0m且1m时,方程表示的是椭圆; 当0m时,方程表示的是双曲线.(2).当41m时, 轨迹E的方程为2214xy,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方程组2214ykxtxy得224()4xk

34、xt,即222(14)8440kxktxt,要使切线与轨迹 E 恒有两个交点A,B, 那么使=2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt,即22410kt ,即2241tk, 且12221228144414ktxxktx xk 222 22222212121212222(44)84()()()141414ktk ttky ykxt kxtk x xkt xxttkkk,要使OAOB , 需使12120 x xy y,即222222224445440141414ttktkkkk,所以225440tk, 即22544tk且2241tk, 即2244205kk恒成立.所以又因为

35、直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21trk,222224(1)45115ktrkk, 所求的圆为2245xy.当切线的斜率不存在时,切线为552x,与2214xy交于点)552,552(或)552,552(也满足OAOB.综上, 存在圆心在原点的圆2245xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB .(3)当41m时,轨迹E的方程为2214xy,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆C:222xyR(1R0与x轴的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)假设曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三

36、等分点，试求出点S的坐标；II如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？假设存在，求出a的值，假设不存在，请说明理由。 解解 方法一方法一()当曲线 C 为半圆时，1,a 如图，由点 T 为圆弧AB的三等分点得BOT=60或 120.(1)当BOT=60时, SAE=30.又AB=2,故在SAE 中,有tan30,( ,);SBABs t (2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为(1,2 3) ,综上, 2 3(1,)3S或S(1, 2 3)()假设存在(0)a a ,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS.显然,

37、直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为()yk xa.由222222242221(1)20()xya kxa k xa kaayk xa得设点22222(,),(),1TTTa kaT xyxaa k 故22221Taa kxa k,从而222()1TTakyk xaa k.亦即2222222(,).11aa kakTa ka k22222222( ,0),(,)11a kakB aBTa ka k 由()xayk xa得( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BTOS,可得2222224012a ka kBT OSa k 即2222240a ka k0,0,2kaa经检验,

38、当2a 时,O,M,S 三点共线. 故存在2a ,使得 O,M,S 三点共线.方法二方法二: :()同方法一.()假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为()yk xa由222222222221(1)20()xya bxa k xa kaayk xa得设点(,)TTT xy,那么有42222().1Ta kaxaa k 故22222222222222,()().111TTTaa kakaa kakxyk xaTaa ka ka ka k从而亦即221( ,0),TBTSMTyB akka kxaa k

39、故由()xayk xa得S(a, 2ak),所直线 SM 的方程为22()yaka k xaO,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即22()aka ka.0,0,2aKa故存在2a ,使得O,M,S三点共线.60.2021 辽宁卷文、理 本小题总分值 12 分，椭圆C以过点A1，32 ，两个焦点为1，0 1，0 。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解解 由题意，c1,可设椭圆方程为2222114xybb。因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2b3，2b34舍去 。所以椭圆方程为

40、 22143xy 证明证明 设直线方程：得3(1)2yk x，代入22143xy得22233+4+4 (32 )4()1202kxkk xk（）设Ex，Ey ，Fx，Fy 因为点1，32在椭圆上，所以2234()12234Ekxk，32EEykxk。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk，32FFykxk 。所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyyk xxkkxxxx。即直线EF的斜率为定值，其值为12。 61.2021 宁夏海南卷理 本小题总分值 12 分 椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个

41、焦点的距离分别是 7 和 1.求椭圆C的方程；假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解解 ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由得1,4,37acacac解得，所以椭圆C的标准方程为221167xy设( , )M x y，其中4,4x 。由222OPOM及点P在椭圆C上可得2222911216()xxy。整理得2222(169)16112xy，其中4,4x 。i34时。化简得29112y 所以点M的轨迹方程为4 7( 44)3yx ，轨迹是两条平行于x轴的线段。ii34时，方程变形为2222111211216916xy，

42、其中4,4x 当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x 的局部。当314时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x 的局部；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；62.2021 陕西卷文 本小题总分值 12 分双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e ，顶点到渐近线的距离为2 55。1求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1, ,23APPB ，求AOB面积的取值范围。方法一方法一 解解由题意知，双曲线C的顶点0，a到渐近线2 505axby

43、的距离为，所以222 55abab所以2 55abc由2222 5525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x由知双曲线 C 的两条渐近线方程为2yx 设( ,2 ),2 ),0,0A mm Bnn mn（由,),APPBPuu u ruurm - n 2(m + n)得点的坐标为（1+1+将 P 点的坐标代入222(1)1,44yx化简得m n=因为2 ,AOB14tan()2,tan,sin2225又5 ,5OAm OBn所以111sin22() 122AOBSOAOBmn记111( )() 1, ,223S那么211( )(1)2S由( )01S得又S1=2，189

44、( ), (2)334SS当1时，AOB面积取到最小值2，当当13时，AOB面积取到最大值83所以AOB面积范围是82,3方法二方法二由题意知，双曲线 C 的顶点0，a到渐近线2 505axby 的距离为，222 52 555ababcab即由2222 5525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x.设直线AB的方程为,ykxm由题意知2,0km由2,),222ykxmmmAyxkk得点的坐标为（由2,),222ykxmmmByxkk 得点的坐标为（121,(),()122122mmAPPBPkkkk得点的坐标为（uu u ruur将P点的坐标代入21x2y4得2224(

45、1)4mk设Q为直线AB与y轴的交点，那么Q点的坐标为0，mAOBS=AOQBOQSS.22111()222114()2222 411() 12ABABOQ xOQ xm xxmmmmkkkggg63.2021 四川卷文、理 本小题总分值 12 分 椭圆2221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、，离心率22e ，右准线方程为2x 。I求椭圆的标准方程；II过点1F的直线l与该椭圆交于MN、两点，且222 263F MF N ，求直线l的方程。解解 I由得2222caac，解得2,1ac 221bac 所求椭圆的方程为2212xy . II由I得1( 1,0)F、2(1,0)F假设直

46、线l的斜率不存在，那么直线l的方程为1 x，由22112 xxy得22 y设2( 1,)2M、2( 1,)2 N， 2222( 2,)( 2,)( 4,0)422 F MF N，这与相矛盾。假设直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，那么直线l的方程为(1)yk x，设11( ,)M x y、22(,)N xy，联立22(1)12yk xxy，消元得2222(12)4220kxk xk 22121222422,1212kkxxx xkk， 121222(2)12kyyk xxk，又211222(1,),(1,) F MxyF Nxy 221212(2,) F MF Nxxyy 2222222

47、1212228222 26(2)()12123 kkF MF Nxxyykk化简得424023170kk解得2217140或(舍去) kk 1 k 所求直线l的方程为11或 yxyx 64.2021 全国卷文 本小题总分值 12 分 如图，抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点。求r的取值范围当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：解：将抛物线2:E yx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，整理得227160 xxr抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方

48、程1有两个不相等的正根 016070)16(449221212rxxxxr即 442525rrr、 、。解这个方程组得425 r15(,4)2r.II设四个交点的坐标分别为11( ,)A xx、11( ,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。那么由I根据韦达定理有212127,16xxx xr，15(,4)2r那么2112211212 |() |()2Sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令216rt，那么22(72 ) (72 )Stt 下面求2S的最大值。方法 1：由三次均值有：221(72 ) (72 )

49、(72 )(72 )(144 )2Sttttt 331 7272144128()()2323ttt 当且仅当72144tt，即76t 时取最大值。经检验此时15(,4)2r满足题意。方法 2：设四个交点的坐标分别为11( ,)A xx、11( ,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx那么直线 AC、BD 的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy 解得点P的坐标为)0 ,(21xx。设21xxt ，由216rt 及得)41, 0( t由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积| )22(212121xxxxS 那么4)(2(2122122112

50、xxxxxxxxS 将721 xx，txx 21代入上式，并令2)(Stf ，等)270(34398288)27()27()(232 tttttttf，)76)(72(2985624)(2 tttttf，令0)( tf得67 t，或27 t舍去当670 t时，0)( tf；当67 t时0)( tf；当2767 t时，0)( tf故当且仅当67 t时，)(tf有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点P的坐标为)0 ,67(。65.2021 湖北卷文 本小题总分值 13 分如图，过抛物线y22PX(P0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1

51、、N1 ()求证：FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、 、S2、 ，S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论。（1）证明证明 方法一方法一 由抛物线的定义得11,MFMMNFNN1111,MFMMM FNFNNN F 如图，设准线l与x的交点为1F111/MMNNFFQ111111,FFMMM FFFNNN F 而0111111180FFMMFMFFNN FN即0111122180FFMFFN 0111190FFMFFN故11FMFN方法二方法二 依题意，焦点为(,0),2pF准线 l 的方程为2px 设点 M,N 的坐标分别为1122,),),M

52、 x yN xy（直线 MN 的方程为2pxmy，那么有11121112(,),(,),(,),(,)22ppMyNyFMp yFNp y 由222pxmyypx 得2220ympyp于是，122yymp，212y yp 22211120FMFNpy ypp ，故11FMFN解解 22134SS S成立，证明如下：方法一方法一 设1122( ,),(,)M x yN xy，那么由抛物线的定义得1112| |,| |22ppMMMFxNNNFx，于是11111111| |()|222pSMMFMxy21211211| |22SM NFFp yy31112211| |()|222pSNNFNxy2

53、22131211221114(|)4()|()|22222ppSS Sp yyxyxy22212121212121()4()|424pppyyy yx xxxy y将11222,2pxmypxmy与122122yympy yp 代入上式化简可得22222222()()pm pppm pp，此式恒成立。故22134SS S成立。方法二方法二 如图，设直线MNM 的倾角为，12|,|MFrNFr那么由抛物线的定义得1113| |,| |MMMFrNNNFr11111/,MMNNFFFMMFNN于是22211322111sin,sin()sin222SrSrr在1FMM和1FNN中，由余弦定理可得2

54、222222211111222|22cos2(1 cos),|22cos2(1 cos)FMrrrFNrrr由I的结论，得2111| |2SFMFN2222222221112121311|4(1 cos)(1 cos)sin444SFMFNrrr rS S即22134SS S，得证。66.2021 宁夏海南卷文(本小题总分值 12 分)椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 11求椭圆C的方程2假设P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOMe为椭圆C的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解解1设椭圆长半轴长

55、及分别为a,c,由得1,7.acac 解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为221.167xy设Mx,y,P(x,1y),其中4,4 .x 由得222122.xyexy而34e ，故2222116()9().xyxy 由点P在椭圆C上得 ，2211127,16xy代入式并化简得29112,y 所以点M的轨迹方程为4 7( 44),3yx 轨迹是两条平行于x轴的线段.67.(2021 湖南卷理)本小题总分值 13 分在平面直角坐标系xOy中，点P到点F3，0的距离的 4倍与它到直线x=2 的距离的 3 倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与 18 之和求点P的轨迹C；设过点F的直线l

56、与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解解设点P的坐标为x，y ，那么224 (3)dxy3x-2由题设 当x2 时，由得221(3)6,2xyx 化简得 221.3627xy当2x 时 由得22(3)3,xyx化简得212yx 故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2 的右侧局部与抛物线22:12Cyx在直线 x=2 的左侧局部包括它与直线x=2 的交点所组成的曲线，参见图 1如图 2 所示，易知直线x=2 与1C，2C的交点都是A2，2 6 ，B2，2 6 ，直线AF，BF的斜率分别为AFk=2 6，BFk=2 6.当点P在1C上时，由知162PFx. 当点P

57、在2C上时，由知3PFx 假设直线l的斜率 k 存在，那么直线l的方程为(3)yk xi当kAFk，或 kBFk，即k-2 6时，直线I与轨迹C的两个交点M1x，1y ，N2x，2y都在C 1上，此时由知MF= 6 - 121x NF= 6 - 122x从而MN= MF+ NF= 6 - 121x+ 6 - 122x=12 - 12( 1x+2x)由22(3)13627yk xxy 得2222(34)24361080kxk xk 那么1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk*MN=12 - 121x+2x=12 - 221234kk因为当22 6,6,24,kk或k2时 2

58、2212121001212.134114kMNkk当且仅当2 6k 时，等号成立。2当, 2 62 6AEANkkkk时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点1122( ,),(,)M x yN xy 分别在12,C C上，不妨设点M在1C上，点2C上，那么知，1216,32MFxNFx 设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),2.xyxx x则 1021166,33222MFxxEFNFxAF 所以MNMFNFEFAFAE。而点A，E都在1C上，且 2 6,AEk 有1知100100,1111AEMN所以 假设直线的斜率不存在，那么1x=2x=3，此时12110012()9211MN

59、xx综上所述，线段MN长度的最大值为10011.68.2021 福建卷文 本小题总分值 14 分直线220 xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，,AS BS与直线10:3l x 分别交于,M N两点。I求椭圆C的方程；求线段MN的长度的最小值；当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？假设存在，确定点T的个数，假设不存在，说明理由解解 方法一方法一I由得，椭圆C的左顶点为( 2,0),A 上顶点为(0,1),2,1Dab 故椭圆C的方程为2214xy直线AS的斜率k显然

60、存在，且0k ，故可设直线AS的方程为(2)yk x，从而10 16(,)33kM由22(2)14yk xxy得2222(14)16164kxk xk0设11( ,),S x y那么212164( 2),14kxk得2122814kxk，从而12414kyk即222284(,),1414kkSkk又(2,0)B由1(2)4103yxkx 得10313xyk 101(,)33Nk故161|33kMNk又16116180, |233333kkkMNkk当且仅当16133kk，即14k 时等号成立14k时，线段MN的长度取最小值83由可知，当MN取最小值时，14k 此时BS的方程为6 44 220,