第20讲全等三角形

1、第二十讲 全等三角形 1.1.通过具体实例认识旋转，探索并掌握旋转的基本性质通过具体实例认识旋转，探索并掌握旋转的基本性质. .2.2.探索图形之间的变换关系，灵活运用轴对称、平移和旋转的探索图形之间的变换关系，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计组合进行图案设计. .3.3.了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件. .一、旋转的概念和性质一、旋转的概念和性质1.1.概念概念将一个平面图形将一个平面图形F F上的每一个点上的每一个点, ,绕这个平面内一绕这个平面内一_旋转同一旋转同一个角个角(即把即把F F上每一个点与定

2、点的连线绕定点旋转角上每一个点与定点的连线绕定点旋转角),),得到得到图形图形F,F,图形的这种图形的这种_就叫做旋转就叫做旋转, ,这个定点叫这个定点叫_,_,角角叫做叫做_._.2.2.性质性质(1)(1)对应点到旋转中心的对应点到旋转中心的_相等相等; ;(2)(2)对应点与旋转中心的连线所成的角彼此对应点与旋转中心的连线所成的角彼此_,_,且等于且等于_._.(3)(3)旋转不改变图形的旋转不改变图形的_和和_._.定点定点旋转中心旋转中心旋转角旋转角距离距离相等相等旋转角旋转角形状形状大小大小变换变换【即时应用】【即时应用】1.1.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分

3、钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过针匀速旋转，经过1515分钟旋转了分钟旋转了_2.2.如图，在如图，在RtRtOABOAB中，中，OAB=90OAB=90，OA=AB=6OA=AB=6，将，将OABOAB绕点绕点O O沿逆时针方向旋转沿逆时针方向旋转9090得到得到OAOA1 1B B1 1, ,线段线段OAOA1 1的长是的长是_，AOBAOB1 1的度数是的度数是_._.90906 6135135二、全等三角形二、全等三角形1.1.全等三角形的性质全等三角形的性质(1)(1)全等三角形对应边全等三角形对应边_，对应角，对应角_._.(2)(2)全等三角形

4、对应边的中线全等三角形对应边的中线_，对应角的平分线，对应角的平分线_，对应边上的高对应边上的高_，全等三角形的周长，全等三角形的周长_，面积，面积_._.2.2.全等三角形的判定全等三角形的判定(1)(1)有两边和它们的有两边和它们的_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等( (可简写可简写成成“边角边边角边”或或“_”)_”)；相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等夹角夹角SASSAS(2)(2)有两角和它们的有两角和它们的_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等( (可简写可简写成成“角边角角边角”或或“_”)_”)；(3)(3)有两角和其中一角的有

5、两角和其中一角的_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等( (可可简写成简写成“角角边角角边”或或“_”)_”)；(4)(4)有三边对应有三边对应_的两个三角形全等的两个三角形全等( (可简写成可简写成“边边边边边边”或或“_”);_”);(5)(5)有斜边和一条有斜边和一条_对应相等的两个直角三角形全等对应相等的两个直角三角形全等( (可可以简写成以简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“_”)._”).夹边夹边ASAASA对边对边AASAAS相等相等SSSSSS直角边直角边HLHL【即时应用】【即时应用】1.1.已知已知ABDABDCDBCDB，ABAB与与CDCD是对应边，那么

6、是对应边，那么AD=_AD=_，A=_.A=_.2.2.如图，已知如图，已知ABEABEDCEDCE，AE=2 cmAE=2 cm，BE=1.5 cmBE=1.5 cm，A=25A=25，B=48B=48，那么，那么DE=_ cmDE=_ cm，EC=_cmEC=_cm，C=_C=_，D= _.D= _.CBCBCC2 21.5 1.5 484825253.3.如图，已知如图，已知ABC=DEFABC=DEF，AB=DEAB=DE，现在要说明现在要说明ABCABCDEF.DEF.(1)(1)若以若以“SAS”SAS”为依据，还须添加的一个为依据，还须添加的一个条件为条件为_._.(2)(2)若

7、以若以“ASA”ASA”为依据，还须添加的一个为依据，还须添加的一个条件为条件为_._.(3)(3)若以若以“AAS”AAS”为依据，还须添加的一个条件为为依据，还须添加的一个条件为_._.BC=EFBC=EF或或BE=FCBE=FCA=DA=DACB=DFEACB=DFE【核心点拨】【核心点拨】1.1.证明两个三角形全等必须至少有一条边对应相等证明两个三角形全等必须至少有一条边对应相等. .2.2.全等三角形的面积和周长都相等，反之不一定成立全等三角形的面积和周长都相等，反之不一定成立. .3.3.两边和其中一边的对角对应相等的两个两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等三角形不一

8、定全等. .如图，在如图，在ABCABC和和ABDABD中，中，AB=ABAB=AB，AC=ADAC=AD，B=BB=B，但但ABCABC和和ABDABD并不全等，所以并不全等，所以“SSA”SSA”不能判定两个三角形全等不能判定两个三角形全等. .4.4.旋转只改变图形的位置旋转只改变图形的位置. .图形的旋转图形的旋转 中考指数：中考指数：知识知识点睛点睛简单的旋转作图的三个基本步骤简单的旋转作图的三个基本步骤: :1.1.连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连结；连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连结；2.2.转角：将转角：将(1)(1)中所连结的线段绕旋转中心沿指定的方向旋中所连结的

9、线段绕旋转中心沿指定的方向旋转一个旋转角，得到这个关键点的对应点转一个旋转角，得到这个关键点的对应点. .3.3.连结：重复连结：重复(1)(2)(1)(2)，将原图中所有关键点的对应点找出，将原图中所有关键点的对应点找出来，再按原图中的顺序，依次连结成图来，再按原图中的顺序，依次连结成图特别特别提醒提醒旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【例【例1 1】(2012(2012宜宾中考宜宾中考) )如图，在平面直角坐标系中，将如图，在平面直角坐标系中，将ABCABC绕点绕点P P旋转旋转180180得到得到DEFDEF，则点，则点P P的坐标为

10、的坐标为_._.【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】如图，连结如图，连结ADAD，将将ABCABC绕点绕点P P旋转旋转180180得到得到DEF,DEF,点点A A旋转后的对应点为旋转后的对应点为D.D.由题意可知由题意可知A(0,1),D(-2,-3),A(0,1),D(-2,-3),对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心的距离相等，线段线段ADAD的中点坐标即为点的中点坐标即为点P P的坐标，的坐标，点点P P的坐标为的坐标为( ),( ),即即P(-1,-1).P(-1,-1).答案：答案：(-1,-1)(-1,-1)2 1 3,22【对点训练】【对点训练】1.(20

11、111.(2011泸州中考泸州中考) )如图，该图形绕点如图，该图形绕点O O按下列按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是角度旋转后，不能与其自身重合的是( )( )(A)72(A)72 (B)108 (B)108(C)144(C)144 (D)216 (D)216【解析】【解析】选选B.B.该图形被平分成五部分，旋转该图形被平分成五部分，旋转7272度的整数倍就可度的整数倍就可以与自身重合，因而以与自身重合，因而A,C,DA,C,D都正确，不能与其自身重合的是都正确，不能与其自身重合的是B.B.2.(20122.(2012邵阳中考邵阳中考) )如图所示，在正方形网格中如图所示，在正方形网格中

12、( (网格中每个网格中每个小正方形的边长均为小正方形的边长均为1)1)，将，将OABOAB绕点绕点O O按逆时针方向旋转，得按逆时针方向旋转，得到到OCD,OCD,则则AOCAOC的度数是的度数是_._.【解析】【解析】由题意，得：由题意，得：AOD=COD=45AOD=COD=45, ,所以所以AOC=AOD+COD=45AOC=AOD+COD=45+45+45=90=90. .答案：答案：90903.(20123.(2012张家界中考张家界中考) )如图，在方格纸中，以格点连线为边的如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点三角形叫格点三角形，请按

13、要求完成下列操作：先将格点ABCABC向右平移向右平移4 4个单位得到个单位得到A A1 1B B1 1C C1 1，再将，再将A A1 1B B1 1C C1 1绕点绕点C C1 1旋旋转转180180得到得到A A2 2B B2 2C C2 2.【解析】【解析】如图所示如图所示.证明三角形全等证明三角形全等 中考指数中考指数: :知知识识点点睛睛1 1证明三角形全等的三种基本思路证明三角形全等的三种基本思路(1)(1)已知两边已知两边 (2)(2)已知两角已知两角 (3)(3)已知一边一角已知一边一角2.2.在寻找条件时，注意挖掘图形中的隐含条件，如公共在寻找条件时，注意挖掘图形中的隐含条

14、件，如公共边，公共角，对顶角等边，公共角，对顶角等. . SASHLSSS找夹角找直角找另一边ASAAAS找夹边找一边AASASAAASSAS边为角的对边找一角找夹边角边为角的邻边 找边的对角找夹角边特特别别提提醒醒如果两个三角形满足三个角对应相等，或者两条边和其如果两个三角形满足三个角对应相等，或者两条边和其中一条边的对角相等，则不能判定两个三角形全等中一条边的对角相等，则不能判定两个三角形全等. 【例【例2 2】(2012(2012临沂中考临沂中考) )在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，BC=2 cmBC=2 cm，CDABCDAB，在在ACAC上取一点上取一点E

15、E，使，使EC=BCEC=BC，过点，过点E E作作EFACEFAC交交CDCD的延长线于点的延长线于点F F，若，若EF=5 cmEF=5 cm，则，则AE=_cmAE=_cm【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】ACB=90ACB=90，ECF+BCD=90ECF+BCD=90. .CDABCDAB，BCD+B=90BCD+B=90，ECF=B.ECF=B.在在ABCABC和和FCEFCE中，中，ABCABCFCE(ASA)FCE(ASA)，AC=EF.AC=EF.AE=AC-CEAE=AC-CE，BC=2 cmBC=2 cm，EF=5 cmEF=5 cm，AE=5-2=3(cm

16、)AE=5-2=3(cm)答案：答案：3 3BECF,BCEC,ACBFEC90 . 【对点训练】【对点训练】4.(20114.(2011宿迁中考宿迁中考) )如图，已知如图，已知1122，则不一定能使则不一定能使ABDABDACDACD的条件的条件是是( )( )(A)AB(A)ABAC (B)BDAC (B)BDCDCD(C)B(C)BC (D)BDA=CDAC (D)BDA=CDA【解析】【解析】选选B.B.若添加若添加ABABACAC，则由，则由SASSAS即可判断两三角形全即可判断两三角形全等；若添加等；若添加BBC C 或或BDABDACDACDA，则由，则由AASAAS或或ASA

17、ASA均均可判定两三角形全等；但添加可判定两三角形全等；但添加BDBDCDCD，则没有判定定理保证，则没有判定定理保证两个三角形全等两个三角形全等 5.(20125.(2012湘西中考湘西中考) )如图，如图，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，AO=DOAO=DO，A=DA=D，求证：求证：ABO ABO DCO.DCO.【证明】【证明】在在ABOABO和和DCODCO中，中，ABO ABO DCO(ASA).DCO(ASA).ADAODOAOBDOC， 6.(20126.(2012绍兴中考绍兴中考) )如图，如图，ABCDABCD，以点，以点A A为圆心，小于为圆心，小于ACAC长

18、长为半径作圆弧，分别交为半径作圆弧，分别交ABAB，ACAC于于E E，F F两点，再分别以两点，再分别以E E，F F为为圆心，大于圆心，大于 EFEF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P P，作射线，作射线APAP，交，交CDCD于点于点M.M.(1)(1)若若ACD=114ACD=114，求，求MABMAB的度数；的度数；(2)(2)若若CNAMCNAM，垂足为，垂足为N N，求证：，求证：ACNACNMCN.MCN.12【解析】【解析】(1)ABCD(1)ABCD，ACD+CAB=180ACD+CAB=180. .又又ACD=114ACD=114，CAB=66

19、CAB=66，由作法知，由作法知，AMAM是是CABCAB的平分线，的平分线，MAB= CAB=33MAB= CAB=33. .12(2)AM(2)AM平分平分CABCAB，CAM=MAB.CAM=MAB.ABCDABCD，MAB=CMAMAB=CMA，CAM=CMA.CAM=CMA.又又CNAMCNAM，ANC=MNC.ANC=MNC.在在ACNACN和和MCNMCN中，中，ANC=MNCANC=MNC，CAM=CMACAM=CMA，CN=CNCN=CN，ACNACNMCN.MCN.全等三角形性质的应用全等三角形性质的应用中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛全等三角形性质常见的四种应用全等三

20、角形性质常见的四种应用1.1.找全等三角形的对应角、对应边；找全等三角形的对应角、对应边；2.2.求对应边的长度；求对应边的长度；3.3.求对应角的度数；求对应角的度数；4.4.确定线段的位置关系确定线段的位置关系. .特特别别提提醒醒1.1.全等三角形的性质常常对证明线段与线段、角与角的相等全等三角形的性质常常对证明线段与线段、角与角的相等或倍数关系起着或倍数关系起着“桥梁桥梁”的作用的作用. .2.2.全等三角形的性质往往结合三角形全等的判定及四边形、全等三角形的性质往往结合三角形全等的判定及四边形、圆等图形的性质综合应用圆等图形的性质综合应用. .【例【例3 3】(2012(2012邵阳

21、中考邵阳中考) )如图所示，如图所示，ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，且，且OA=OCOA=OC，OB=OD.OB=OD.求证：求证：ADBC.ADBC.【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】在在AODAOD和和COBCOB中，中，OA=OC,OD=OB,OA=OC,OD=OB,且且AOD=COB,AOD=COB,AODAODCOB(SAS)COB(SAS)，A=C,ADBC.A=C,ADBC.【对点训练】【对点训练】7.(20117.(2011芜湖中考芜湖中考) )如图，已知在如图，已知在ABCABC中，中，ABC=45ABC=45，F F是是高高ADAD和和BEBE的交

22、点，的交点，CD=4CD=4，则线段，则线段DFDF的长度为的长度为( )( )(A)2 (B)4(A)2 (B)4(C)3 (D)4(C)3 (D)4222【解析】【解析】选选B.ADBCB.ADBC，ADC=FDB=90ADC=FDB=90，ABC=45ABC=45，BAD=45BAD=45，AD=BDAD=BD，BEACBEAC，AEF=90AEF=90，DAC+AFE=90DAC+AFE=90，FDB=90FDB=90，FBD+BFD=90FBD+BFD=90，又又BFD=AFEBFD=AFE，FBD=DACFBD=DAC，BDFBDFADCADC，DF=CD=4DF=CD=48.(2

23、0118.(2011东莞中考东莞中考) )已知：如图，已知：如图，E,FE,F在在ACAC上，上，ADCBADCB且且AD=CBAD=CB，DDB.B.求证：求证：AE=CF.AE=CF.【证明】【证明】ADCBADCB，A=C.A=C.又又AD=CBAD=CB，D=BD=B，ADFADFCBECBE，AF=CEAF=CE，AF+EF=CE+EF.AF+EF=CE+EF.即即AE=CF.AE=CF.9.9.已知，如图，四边形已知，如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，E,FE,F分别为分别为CD,CBCD,CB延长延长线上的点，且线上的点，且DE=BF.DE=BF.求证：求证：AFE

24、=AEF.AFE=AEF.【证明】【证明】在正方形在正方形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，ABC=ADC=90ABC=ADC=90，FBA=EDA=90FBA=EDA=90. .在在FBAFBA和和EDAEDA中，中，FBAFBAEDA,EDA,AF=AE,AF=AE,AFE=AEF.AFE=AEF.BFDE,FBAEDA,ABAD, 【创新命题】【创新命题】探索添加条件证全等探索添加条件证全等 【例】【例】(2012(2012潍坊中考潍坊中考) ) 如图所示如图所示,AB=DB,AB=DB,ABD=CBE,ABD=CBE,请你添加一个适当的条件请你添加一个适当的条件_,_,使使

25、ABCABCDBEDBE( (只需添加一个即可只需添加一个即可).).【解题导引】【解题导引】找出已知条件和隐含条件，结合所要证明的结找出已知条件和隐含条件，结合所要证明的结论，添加条件论，添加条件.【规范解答】【规范解答】方法一：添加的条件是方法一：添加的条件是BC=BE.BC=BE.ABD=CBE,ABD+ABE=CBE+ABE,ABD=CBE,ABD+ABE=CBE+ABE,即即DBE=ABC.DBE=ABC.又又AB=DBAB=DB，BC=BE,BC=BE,ABCABCDBE.DBE.方法二：添加的条件为方法二：添加的条件为BDE=BAC.BDE=BAC.同方法一证出同方法一证出DBE=ABC.DBE=ABC.又又AB=DB,AB=DB,BDE=BAC,BDE=BAC,ABC