必修二--直线对称问题

1、对称问题对称问题（1）点到直线距离公式：）点到直线距离公式： ，0022AxByCdAB（2）两平行直线间的距离：）两平行直线间的距离： ，2122CCdAB注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；有关知识：有关知识：1、直线互相垂直的条件：、直线互相垂直的条件：_2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为的中点坐标为 _3、点、点 ( x o，yo ) 在直线在直线 Ax + By + C = 0 上的上的条件是条件是 _斜率存在，斜率存在，k1k2=1Axo + Byo + C = 0)2,2(2121yyxx 对称问题对

2、称问题中心对称问题中心对称问题点关于点的对称点关于点的对称线关于点的对称线关于点的对称轴对称问题轴对称问题点关于线的对称点关于线的对称线关于线的对称线关于线的对称轴对称轴对称中心对称中心对称有一条对称轴有一条对称轴 :直线直线有一个对称中心有一个对称中心:点点定定义义沿轴翻转沿轴翻转180绕中心旋转绕中心旋转180翻转后重合翻转后重合旋转后重合旋转后重合性性质质1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称轴是对应点连、对称轴是对应点连线的垂直平分线线的垂直平分线3、对称线段或延长线相、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上交，交点在对称轴上1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称点连线都

3、经过、对称点连线都经过对称中心，并且被对称对称中心，并且被对称中心平分。中心平分。例例1. 已知点已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点解题要点：中点公式的运用：中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2解解:设设C(x,y) 则则得得x=-13y=-6 一般用中点坐标公式解决这种对称一般用中点坐标公式解决这种对称问题问题. .).(PP).22(P2222),(P),(M),(P0000000000yxybxaybyxaxbyyaxxyxbayx ，关

4、关于于原原点点的的对对称称点点特特别别，点点，即即，则则有有的的对对称称点点关关于于点点设设例例2.已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,4)，直线，直线l l 的方的方 程为程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l l 的的 对称点对称点A的坐标。的坐标。 三、点关于直线对称三、点关于直线对称解题要点解题要点： k kAA = -1 AA中点在中点在l l 上上 AAYXO-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0(x，y)(2，6)解：设解：设 A（x,y)则则 （L为对称轴）为对称轴）例例3.求直线求直线l l 1 1 : : 3x-y-4=0关于点关于点P

5、(2,-1)对称对称的的 直线直线l l 2 2的方程。的方程。二、直线关于点对称二、直线关于点对称解题要点解题要点： 法一：法一： l l 2 2上的任意一点的上的任意一点的对称点在对称点在l l 1 1上上; 法二法二： L1L2 点斜式或对称两点式点斜式或对称两点式 法三：法三： l l 1 1 / l / l 2 2且且P到两直线等距。到两直线等距。解解 ：设：设A(x，y)为为L2上任意一点上任意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在L1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0 AL2L1YXOPA 例例3.求直线求直线l l

6、1 1 : : 3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称对称的的 直线直线l l 2 2的方程。的方程。二、直线关于点对称二、直线关于点对称解题要点解题要点： 法一：法一： l l 2 2上的任意一点的上的任意一点的对称点在对称点在l l 1 1上上; 法二法二： L1L2 点斜式或对称两点式点斜式或对称两点式 法三：法三： l l 1 1 / l / l 2 2且且P到两直线等距。到两直线等距。直线直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0 L2L1YXOP例例4. 试求直线试求直线l l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l l2:3x-y+3=0对称的直线对称的直线l l 的方程

7、。的方程。 四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P L：7x+y+6=0yXO解：解：P( ， )-12-52得得在在 上任取一点上任取一点Q(2,0),求其关于求其关于 的对称点的对称点Q(x,y)L1 L2 Q(2,0), Q(x,y)3y-0 x-2=-13y+0 2+3=0则则X+22求出求出Q点坐标后，两点式求点坐标后，两点式求L方程。方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称 L1L2LPyXO Q(2,0),Q(x,y)解题要点解题要点：（1）若两直线相交，先求交点）若两直线相交，先求交点P,再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得

8、另一点求其对称点得另一点Q两点式求两点式求L方程方程L1求求 关于关于 的对称直线的对称直线L的方程的方程L1L2思考：若思考：若l l1/l l2, 如何求如何求l l1 关于关于l l2的对称直线方程？的对称直线方程？例例4. 试求直线试求直线l1:x-y+2=0关于直线关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称L2L1L解：设解：设L方程为方程为x-y+m=0则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求mxoy四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称解题要点解题

9、要点：(先判断两直线位置关系先判断两直线位置关系)（1）若两直线相交，先求交点）若两直线相交，先求交点P,再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得另一点求其对称点得另一点Q两点式求两点式求L方程方程L1求求 关于关于 的对称直线的对称直线L的方程的方程L1L2则则 与与 距离等于距离等于 与与 距离距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求建立等量关系，解方程求m(2)若若 ，设，设L方程为方程为x-y+m=0L1L2请大家完成下例填空题请大家完成下例填空题 1. 点点 关于原点的对称点为关于原点的对称点为 ; 2. 点点 关于点关于点 的对称点为的对称点为 ; 3. 点点 关于关于x轴的对称点

10、为轴的对称点为 ; 4. 点点 关于关于y轴的对称点为轴的对称点为 ; 5. 点点 关于关于y=x的对称点为的对称点为 ; 6. 点点 关于关于y= -x的对称点为的对称点为 ; 7. 点点 关于关于x=m的对称点为的对称点为 ; 8. 点点 关于关于y=n的对称点为的对称点为 ;( , )a b),(ba(-a,-b),(ba),(nm(2m-a,2n-b) ),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)例题：例题：的对称点。关于求已知直线lpyxl)5 , 4(, 033:P与与P中点中点垂直垂直

11、PP 例题：例题：的对称点。关于求已知直线lpyxl)5 , 4(, 033:。对称点的坐标为解得则的对称点为关于解：设点)7 , 2( 72),( yxxyyxyxplp结论：1)(022),( )0(0:),(000000BAaxbyCbyBaxAyxEBCByAxlbaE的求法：的对称点关于直线变题一变题一 :的方程。的对称的直线关于点求直线)2 , 3(Ml. 0173 , (7,4), (6,1)Q , (-1,0) , (0,3) yxlRMRQlMl的方程为所以别为的对称点分则它们关于点因此，可取上。的对称点必在点关于上任找两点，则这两点在条直线，故只需

12、法一：根据两点确定一 . 0173 Q. ) 1 , 6( , )3 , 0( 03 , /yxllQMQlCyxlllMll的方程为所以上，在又点为的对称则它关于点上取一点在的方程为所以设对称，所以关于点与法二：由图可知：0173 , 03)4()6(3 ),4 ,6( ),(yxlyxlPyxPMyxPl的方程为整理得所以上，在直线则点的对称点为点则它关于上任找一点法三：在变题二变题二:的方程。直线的对称关于直线求直线 05: lyxml0173 , )4 , 5( , )5 , 2( , )0 , 1(, )3 , 0( 05: yxlRQmRQlyxml的方程为：整理得所以由两点式的对

13、称点分别为们关于直线则它因此，可取上。的对称点必在关于直线上任找两点，则这两点条直线，故只需在法一：根据两点确定一0173 6105033 yxlyxyx的方程为：所以由两点式整理得），为：（得交点坐标法二：由. 0173 03)5()5( 3 5510522 , ),( , ),(00000000yxlxylPxyyxxxyyyyxxyxPmPyxPl的方程为：整理得上，所以在直线由于点解得则的对称点为：关于设上任找一点法三：在常用结论常用结论:0CByAxl的方程为设直线0)(CyBAx0)(CByxA1. 直线关于原点的对称直线的方程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5.直线关于直线直线关于直线y= -x的对称直线的方程为的对称直线的方程为0CAyBx0)()(CxByA0 0) )( () )( ( C Cy yB Bx xA A1、光线从、光线从A（-1，8）射出，遇到）射出，遇到x轴反轴反射，反射光线过射，反射光线过B（5，4），求入射光线），求入射光线和反射光线的方程和反射光线的方程对称与最值1、两点在直线的异侧，在直线上求