向量加法、减法运算及其几何意义zlj

1、2.2.1向量加法运算及其集合意义向量加法运算及其集合意义知识回顾知识回顾 1. 向量与数量有何区别向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量向量怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如如位移位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终用字母来表示，或用表示向量的有向线段

2、的起点和终点字母表示点字母表示.如aAB,长度相等长度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因为如此正因为如此,我们研究的向量是我们研究的向量是与起点无关与起点无关的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.) 上海上海香港香港台北台北引入引入1： 由于大由于大陆和台湾没陆和台湾没有直航，因有直航，因此要从上海此要从上海去台湾探亲，去台湾探亲，乘飞机乘飞机要先从上海要先从上海到香港，再到香港，再从香港到台从香港到台北，这两次北，这两次位移之和是位移之和是什么？什么？ 上海上海香港香港台北台北

3、OAB 由于大由于大陆和台湾没陆和台湾没有直航，因有直航，因此要从上海此要从上海去台湾探亲，去台湾探亲，乘飞机乘飞机要先从上海要先从上海到香港，再到香港，再从香港到台从香港到台北，这两次北，这两次位移之和是位移之和是什么？什么？ OABOA+AB=OB向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相接首尾相接尝试练习一：尝试练习

4、一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据图示填空：）根据图示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 则则 OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：思考思考1：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，加法时，加法的的三角形法则三角形法则是否还适用？如何作出两个向量的是否还适用？如何作出两个向量的和？和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，

5、则ABCBCAabab00aaa规 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，则（或） 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|aba b、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边| |ababab 当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：| |abab 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相

6、同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法形法。起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：向量加法的

7、平行四边形法则：OABCabba 起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则： 文字表述为：文字表述为：以同一起点以同一起点的两个向量的两个向量为邻边作为邻边作平行四边形平行四边形，则以，则以公共起点为起点公共起点为起点的对角线的对角线所对应向量就是和向量。所对应向量就是和向量。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，则，则abba BCA平行四边形法

8、则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则和和平行四边形平行四边形法则作出法则作出a b 、ab abbba思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。律？请画图进行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船

9、进行运长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速

10、表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km

11、/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。角来表示）。2 32.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：思考：如设如设,x yR x y ()xy 实数实数 的相反数记作的相反数记作 。aa如何定义向量的减法运算呢？如

12、何定义向量的减法运算呢？回顾：回顾：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：（1）()a （3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,ab,0ab ba ab 设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a记作：记作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的减法：二、向量的减法：()abab （2）()aa()aaa00BACab设设,AB b AC a DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b a baba b你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出

13、 吗？吗？ ()ab 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ a b三、几何意义：三、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地abBabbAO（三角形法则）（三角形法则）a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA （1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得终点作向量，所得向量是什么呢？向量

14、是什么呢？ab（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA ba三、几何意义三、几何意义注意：注意：（1）起点必须相同。（）起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地abBabbAO 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba b a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d

15、cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 则则BAab DCcd 作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。终点。a b c d 练习：练习：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,ab（1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD中，中，,ABa ,ADb你能用你能用 表示表示 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab 与与 互相垂直？互相垂直？ 变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， ,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， ,ab?ababab与 互相垂直巩固练习：巩固练习：1 1、在、在