经典题库-乘法原理的应用【附详答】

1、.经典题库 - 乘法原理的应用知识框架图计数原理乘法原理1 简单乘法原理的应用2 较复杂的乘法原理应用教学目标1. 使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2. 使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系3. 培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课， 首先得从家出发到长宁上 8 点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1 点半的课如果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔

2、有 2 种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是 10 条路线 但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具， 并且从长宁到黄埔也有 30 种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原理就派上上用场了二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一

3、共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1 步有 A 种不同的方法，第二步有 B 种不同的方法， ， 第 n 步有 N 种不同的方法 那么完成这件事情一共有 A×B× × N 种不同的方法结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2 个步骤，第1 步是从家到长宁，一共5 种选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择； 那么老师从家到黄埔一共有5×2 个可选择的路线了，即 10 条三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；.3、步步相乘四、乘法原理的考题

4、类型1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字有多少种染色的方法；3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题比如说6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法例题精讲1、简单乘法原理的应用【例 1 】 邮递员投递邮件由A 村去 B 村的道路有3 条，由 B 村去 C 村的道路有2 条，那么邮递员从 A 村经B 村去 C

5、村，共有多少种不同的走法？（2 级）北1号路中ABC南2号路【解析】 把可能出现的情况全部考虑进去第一步第二步A 村南1号路C 村B 村2号路A 村北1号路C 村B 村2号路A 村中1号路C 村B 村2号路由分析知邮递员由A 村去 B 村是第一步，再由 B 村去 C 村为第二步，完成第一步有3 种方法，而每种方法的第二步又有 2 种方法根据乘法原理，从A 村经 B 村去 C 村，共有 3×2=6 种方法【巩固】如下图所示，从A 地去 B 地有 5 种走法，从B 地去 C 地有 3 种走法，那么李明从A 地经 B 地去 C地有多少种不同的走法？（2 级）CBA【解析】 从 A 地经 B

6、 地去 C 地分为两步，由A 地去 B 地是第一步，再由B 地去 C 地为第二步，完成第一步有 5 种方法，而每种方法的第二步又有3 种方法根据乘法原理， 从 A 地经 B 地去 C 地，共有 5×3=15种方法【例 2 】如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过问：他最多有几种不同走法？（ 2 级）.学校家【解析】 从家到中间结点一共有2 种走法， 从中间结点到学校一共有3 种走法， 根据乘法原理， 一共有 3×2=6种走法【巩固】在下图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法？（2 级）ACB【

7、解析】 甲虫要从 A 点沿着线段爬到B 点，需要经过两步，第一步是从A 点到 C 点，一共有3 种走法；第二步是从 C 点到 B 点，一共也有3 种走法，根据乘法原理一共有3× 3=9 种走法【例 3 】在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4 级）ABCD【解析】 从 A 点沿着线段爬到B 点需要分成三步进行，第一步，从A 点到 C 点，一共有3 种走法；第二步，从 C 点到 D 点，有 1 种走法；第三步，从 D 点到 B 点，一共也有 3 种走法根据乘法原理，一共有 3×1×3=9 种走法【巩

8、固】在右图中，一只蚂蚁要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？（4 级）ABCD【解析】 解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步， A 点到 C 点的走法是 3 种；第二步， 从 C 点到 D 点，有 1种走法；但第三步，从D 点到 B 点的走法并不是 3 种，由 D 出去有 2 条路选择，到下一岔路口又有 2条路选择，所总共有2× 2=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有3 1 4 12 （种）不同走法【巩固】在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4 级）ABCD

9、【解析】 从 A 点沿着线段爬到B 点需要分成三步进行，第一步，从从 C 点到 D 点，一共也有3 种走法；第三步，从D 点到一共有 33327 种走法A 点到 C 点，一共有 3 种走法；第二步， B 点，一共也有 3 种走法根据乘法原理，.【巩固】 在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法 ? （ 6 级）BCA【解析】 解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，A 点到 C 点的走法不是3 种，而是4 种， C 点到 B 点的走法也是 4 种，根据乘法原理，这只甲虫最多有4416 种走法【例 4 】按下表给出的词造句，每句必须包括一个

10、人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？（ 4 级）【解析】 1、造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地2、那么这个句子可以分成三个部分；第一个步选择人物，有三种选择；第二步选择交通工具，有三种选择；第三个步选择目的地，有三种选择3、根据乘法原理：3× 3× 3=27【例 5 】题库中有三种类型的题目，数量分别为30 道、 40 道和 45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？（4 级）【解析】 从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45 种选法根据乘法原理，一

11、共有 30× 40× 45=54000 种不同的选法，所以一共可以组成54000 种不同试卷【巩固】文艺活动小组有3 名男生， 4 名女生，从男、女生中各选1 人做领唱，有多少种选法？（4 级）【解析】 完成这件事需要两步：一步是从女生中选1 人，有 4 种选法；另一步是从男生中选1 人，有 3 种选法因此，由乘法原理，选出1 男 1 女的方法有3412种还可以用乘法的意义来理解这道题：男生有3 种选法，每选定1 个男生，再选1 个女生，对应着4种选法，即3 个男生，每个男生对应4 种选女生的方法，因此选出1 男 1 女共有 3412 种方法【巩固】小丸子有许多套服装，帽子

12、的数量为5 顶、上衣有10 件，裤子有8 条，还有皮鞋6 双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配问：共可组成多少种不同的搭配( 帽子可以选择戴与不戴) ？（4 级）【解析】 小丸子搭配服装分四步第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有 516 种选法；第二步选上衣，有 10 种选法；第三步选裤子，有 8 种选法；第四步选皮鞋，有 6 种选法根据乘法原理， 四种服装中各取一个搭配 一共有（5 1） 10 8 6 2880 种选法，所以一共可以组成 2880 种不同搭配【例 6 】要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？（4 级）【解析】 第一步选出

13、学习先进集体一共有6 种方法，第二步选出体育先进集体一共有6 种方法，第三步选出卫生先进集体一共有6 种评选方法，根据乘法原理，一共有666216 种评选方法【巩固】从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体， 如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？（4 级）【解析】 第一步选出学习先进集体共有6 种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有5 种方法，第.三步选出卫生先进集体只剩有4 种评选方法，根据乘法原理，共有6× 5× 4=120 种评选方法【例 7 】从全班 20 人中选出3 名学生排队，一共有多少种排法？（4 级）【解析】 分三

14、步， 分别挑选第一人，第二人， 第三人， 分别有 20，19，18 种挑选法， 一共有 2019186840种排法【例 8 】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？（6 级）【解析】 五位同学的排列方式共有5× 4× 3× 2× 1=120（种）如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3× 2× 1=24（种）；因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24× 2=48( 种 ) ；贝贝和妮妮不相邻的排

15、列方式有120- 48=72（种）【巩固】10 个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？（6 级）【解析】 两人相邻的情况有10 种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6 个人可选， 10× 6=60（种）共有60 种不同的选法【例 9 】“数学”这个词的英文单词是“MATH ”用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？（4 级）【解析】 为了完成对单词“MATH ”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第 1 步对字母“M”染色，此时有5 种颜色可以选择

16、；第 2 步对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有4 种颜色可以选择；第 3步对字母“T”染色，由于字母“M”和“ A”已经用去了2 种颜色，所以对字母“T”染色只剩 3 种颜色可以选择；第 4 步对字母 “ H”，染色， 由于字母 “ M”、“ A”和“ T”已经用去了 3 种颜色， 所以对字母 “ H” 染色只有 2 种颜色可以选择由乘法原理，共可以得到 5 4 3 2 120 种不同的染色方式【小结】 下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程：M有 5 种选择，这是其中的一种染法红M每种选择有4种搭配A黄蓝绿紫每种搭配又可搭配3种蓝绿紫T

17、每种搭配又可搭配2种H绿紫思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式？每个字母都有种颜色可选，那么染色方式一共有5× 5×5× 5=625 种染色方式【巩固】 “ IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3 个字母用3 种不同颜色来写，现有5 种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？（4 级）【解析】 第一步写 “ I”有 5 种方法， 第二步写 “ M”有 4 种方法， 第三步写 “ O”有 3 种方法， 共有 5 4 3 60种方法【例 10 】 “学习改变命运”这六个字要用6 种不同颜色来写，现只有6 种不同颜色的笔，问共有多

18、少种不同的写法？（ 4 级）.【解析】 第一步写“学”有6 种方法，第二步写“习”有5 种方法，第三步写“改”有4 种方法，第四步写“变”有3 种方法，第五步写“命”有2 种方法，第六步写“运”有1 种方法，根据乘法原理，一共有654321720种方法【巩固】有 6 种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？（ 4 级）【解析】写第一个字有 6 种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有 5 种选择，所以，有 6 5 5 5 5 5 18750 种写法【巩固】用 5 种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共

19、有多少种写法？（4 级）【解析】 第一个字有5 种写法，第二个字有4 种写法， 第三个字也是4 种写法，同理后面的字也是4 种写法，共有 5× 4× 4× 4=320 种2、较复杂的乘法原理应用【例 11 】北京到上海之间一共有6 个站，车站应该准备多少种不同的车票？( 往返车票算不同的两种)（ 6级）【解析】 京沪线上中间六个站连北京上海两站一共有8 个站，不同的车票上起点站可以有8 种，相同的起点站又可以配7 种不同的终点站，所以一共要准备8× 7=56 种不同的车票【巩固】（难度等级）一条线段上除了两个端点还有6 个点，那么这段线段上可以有多少条线

20、段？（6 级）【解析】将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是 56÷ 2=28 条线段【巩固】某次大连与庄河路线的火车，一共有 6 个停车点， 铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？（ 6级）【解析】 不 同的车票上起点站可以有6 种，相同的起点站又可以配5 种不同的终点站，所以一共要准备6530 种不同的车票【巩固】北京到广州之间有10 个站，其中只有两个站是大站( 不包括北京、广州) ，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？（6 级）【解析】 京广线上一共有12 个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有

21、四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4× 11=44 种不同的车票【例 12 】由数字 1、 2 可以组成多少个两位数？由数字1、 2 可以组成多少个没有重复数字的两位数？（6 级）【解析】 组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2 种方法；第二步确定个位上的数字，有 2 种方法根据乘法原理，由数字1、2 可以组成 2×2=4 个两位数，即 11，12， 21，22组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2 种方法；第二步确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，

22、因此第二步只有 1 种方法，由乘法原理，能组成 2× 1=2 个两位数，即 12， 21【巩固】用数字 0， 1，2， 3， 4 可以组成多少个： 三位数？ 没有重复数字的三位数？（6 级）【解析】 组成三位数可分三步完成第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4 种选. 也分三步完成 第一步，百位上有4 种选择；第二步确定十位， 除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择根据乘法原理，可以组成44348 个没有重复数字的三位数【巩固】由 3、 6、 9 这 3 个数字可以组成多少个

23、没有重复数字的三位数？ 由 3、 6、9 这 3 个数字可以组成多少个三位数？（6 级）【解析】 分三步完成：第一步排百位上的数，有3 种方法；第二步排十位上的数，有2 种方法；第三步，排个位上的数，有 1 种方法，由乘法原理， 3、6、9 这 3 个数字可以组成 3 2 1 6 个没有重复数字的三位数分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3 种方法，由乘法原理，由3、 6、9这 3 个数字一共可以组成33327 个三位数【例 13 】有五张卡， 分别写有数字1、2、4、5、8现从中取出3 张卡片， 并排放在一起， 组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？（6 级）【解析】

24、 分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、 4、 8 三种不同的选择；第二步在其余的4 张卡片中任取一张，放在最左边的位置上， 也就是百位数的位置上，有 4 种不同的选法； 最后从剩下的3 张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有3 种不同的选择根据乘法原理，可以组成3×4× 3=36 个不同的三位偶数【例 14 】有 5 张卡，分别写有数字2， 3， 4， 5， 6如果允许6 可以作 9 用，那么从中任意取出3 张卡片，并排放在一起问 可以组成多少个不同的三位数？ 可以组成多少个不同的三位偶数？（

25、6 级）【解析】 先考虑 6 只能当 6 的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以2 就可以了， 分三步取出卡片:第一步确定百位，有5 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他4 个数字都可以，所以有4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3 种选择根据乘法原理，考虑6 可以当作 9，可以组成5432120 （个）不同的三位数 先考虑 6 只能当 6 的情况，分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、 4、 6 三种不同的选择；第二步在其余的 4 张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，

26、有4 种不同的选法；最后从剩下的3 张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有 3 种不同的选择 根据乘法原理， 6 只是 6 时，可以组成 34336（个）不同的三位偶数这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以2 就可以的，因为如果个位是6的话变成9 就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是6 一共有 4312 （个）不同的三位偶数，所以，可以组成3621260 （个）不同的三位偶数【例 15 】用 1、2、3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213 是第几个数？（ 6 级）【解析】 排百位、十位、个位依次有3 种、 2 种、 1 种方法 , 故一共有3×

27、2×1=6( 种 ) 方法 , 即可以组成6 个不同三位数 . 它们依次为123, 132, 213, 231, 312, 321故 213 是第 3 个数【巩固】有一些四位数，它们由4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这4 个数字和等于12. 将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35 个为（6 级）【解析】 4 个互不相同且不为0 的数字之和等于12，只有两种可能：1+2+3+6 或者 1+2+4+5根据乘法原理，每种情况可组成4×3× 2× 1=24 个不同的四位数，一共可组成48 个不同的四位数要求从小到大排列的第 35 个数，即求从大到小排列

28、的第14 个数我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取 6，而千位是6 的数共有3× 2=6 个；接下来是5，千位为5 的数也有6 个所以第13 个数应为4521 ，第 14 个是 4512，答案为4512 .【例 16 】将 1332， 332， 32， 2 这四个数的10 个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？（8 级）【解析】 从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑从位数最多的1332 开始：划掉 1332 中的 1，剩下 332， 332，32， 2 四个数；划掉位数最多的332 中的 2，有 2 种不同的顺序，划掉后剩

29、下33， 33， 32， 2 四个数；划掉 32 中的 2，剩下 33， 33， 3， 2；两个 33 中，各划掉一个 3，有 4× 2=8 种划掉的顺序，之后剩下 3， 3， 3， 2 四个数；划掉 2 后，剩下 3， 3，3，有 3× 2=6 种划掉的顺序根据乘法原理，共有不同的划法： 2×8× 6=96 种【巩固】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：532 吃掉 311， 123 吃掉 123，但 726 与 267 相互都不被吃掉问：能吃掉678 的三位数共有多少个？（6 级）【解

30、析】 即求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8 的自然数百位数不小于6，有 4 种；十位数不小于 7，有 3 种；个位不小于 8，有 2 种由乘法原理，能吃掉678 的三位数共有 43224 种【例 17 】如果一个四位数与一个三位数的和是1999 ，并且四位数和三位数是由7 个不同的数字组成的，那么，这样的四位数最多能有多少个？（8 级）【解析】 四位数的千位数字是1由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于19 ，所以这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和均等于9 这两个数的其他数字均不能为8 四位数的百位数字a 可在 0 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 中

31、选择 ( 不能是 9) ，有 7 种选择，这时三位数的百位数字是9a ；四位数的十位数字b 可在剩下的6 个数字中选择，三位数的十位数字是9b 四位数的个位数字c 可在剩下的4 个数字中选择，三位数的个位数字是9c 因此，根据乘法原理，这样的四位数有764=168 个【例 18 】用 19 可以组成 _个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成_个满足要求的三位数？（8 级）【解析】 1)9× 8×7=504 个2） 504- （ 6+5+5+5+5+5+5+6）× 6- 7× 6=210 个；（减去有2 个数字差是

32、1 的情况， 括号里 8 个数分别表示这2 个数是 12，23，34，45，56，67，78，89 的情况，× 6 是对 3 个数字全排列， 7× 6 是三个数连续的 123、234、 345、 456、 567、 789 这 7 种情况）【例 19 】电子表用 11:35 表示 11 点 35 分，用 06: 05 表示 6 点 5 分，那么 2 点到 10 点之间电子表中出现无重复数字的时刻有_次（ 8 级）【解析】 根据题意，在2 点到 10 点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为0，后一位可以为2 9；表示分钟数的二位数字前一位可以为0 5，后一位可以为09，再考

33、虑到无重复数字，当时间为2 点多、3 点多、 4 点多或 5 点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有624 种选择，后一位数字有 1037 种选择，此时有4728 种可能，比如02:ab 时， a 可以为1，3， 4， 5， b 就剩下 1037 种可以选择所以这几种情况下共有284112 种类似分析可知，当时间为6 点多、 7 点多、 8 点多、 9 点多时，每种情况下都有5735 种，共有354140 种所以共 112140252 种【例 20 】 ( 2008 年西城实验考题) 在 1， 2， 3， ， 7， 8 的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有 _ 种（ 8

34、级）【解析】 这 8 个数之间如果有公因子，那么无非是2或 3.8 个数中的 4 个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3 和 6相邻的情况奇数的排列一共有 4! 24 种，对任意一种排列4 个数形成5 个空位，将6 插入，可以有符合条件的3 个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、 4、 8，一共有 43 2 24 种，所以一共有24 3 24 1728 种【例 21 】在右图的每个区域内涂上A 、 B 、 C 、 D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有 _ 种

35、不同的染色方法 （8 级）1243567【解析】 因为每个圆内 4 个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4 个区域一共有 4 32 24 种染色方法如右图所示， 当一个圆内的1、2 、3、4 四个区域的颜色染定后，由于 6 号区域的颜色不能与2 、3 、 4 三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5 号区域只能与4 号区域的颜色相同， 7 号区域只能与 2 号区域的颜色相同，所以当1、 2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法【例 22 】如图，地图上有 A，B，C，D 四个国家， 现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家

36、的颜色不相同，有多少种不同染色方法? （6级）ABCD【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给 A 染色，有5 种颜色可选第二步：给 B 染色，由于 B 不能与 A 同色，所以 B 有 4 种颜色可选第三步：给 C 染色，由于 C 不能与 A 、 B 同色，所以 C 有 3 种颜色可选第四步：给 D 染色，由于 D 不能与 B 、 C 同色，但可以与A 同色，所以 D 有 3 种颜色可选根据分步计数的乘法原理，用5 种颜色给地图染色共有 54 3 3180种不同的染色方法【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ， B ， C ， D ， E ，现

37、在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？（ 6 级）ABCDE【解析】 第一步，给第二步，给第三步，给第四步，给第五步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；B 国上色， B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；C 国上色， C 国与 B ， A 两国相邻，所以不能使用A ， B 国的颜色，只有两种选择；D 国上色， D 国与 B ， C 两国相邻，因此也只有两种选择；E 国上色， E 国与 C ， D 两国相邻，有两种选择.共有 4322296种着色方法【例 23 】如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将

38、纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块 ，如此进行8 步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？（6 级）【解析】 对这张纸的操作一共进行了8 次，每次操作都增加了一个区块，所以8 次操作后一共有9 个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9 个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有： 4、 3、2、 2、 2 ，所以一共有：4322222221536 种【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么

39、共有几种不同的涂法？（6 级）【解析】 涂三块毫无疑问是分成三步第一步，涂A 部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B 部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A 和 B相邻，当A 确定了一种颜色后，B 只有两种颜色可选择了；第三步，涂C 部分， C 和 A、B 都相邻， A 和 B 确定了两种不相同的颜色，那么C 只有一种颜色可选择了然后再根据乘法原理【例 24 】（难度等级 ）如图，有一张地图上有五个国家， 现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同， 不相邻的国家的颜色可以相同 那么一共可以有多少种染色方法？【解析】 这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表

40、的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有 4 3 2 2 2 96 种方法【讨论】 如果染色步骤为 C - A - B - D - E , 那么应该该如何解答？答案：也是4322296 种方法如果染色步骤为C - A - D - B - E 那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4× 3 种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果 D与 A颜色相同，那么B有 2 种染法， E也有 2 种方法，如果 D与 A染不同的颜色，那么D 有 2 种染法那么B 只有一种染法，E 有 2 种染法，所以一共应该有43(122212)96

41、种方法， ( 教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授) ，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻【巩固】某沿海城市管辖7 个县，这7 个县的位置如右图现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法? （8级）.【解析】 为了便于分析，把地图上的7 个县分别编号为A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G( 如左下图 ) ABCDEFG为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢 ?由于有 7 个区域，我们

42、不妨按 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分 7 步来完成染色任务第 1 步：先染区域A ，有 5 种颜色可供选择；第 2 步：再染区域B ，由于 B 不能与 A 同色，所以区域B 的染色方式有4 种；第 3 步：染区域 C ，由于 C 不能与 B 、 A 同色，所以区域 C 的染色方式有 3 种；第 4 步：染区域 D ，由于 D 不能与 C 、 A 同色，所以区域 D 的染色方式有 3 种；第 5 步：染区域 E ，由于 E 不能与 D 、 A 同色，所以区域 E 的染色方式有 3 种；第 6 步：染区域 F ，由于 F 不能与 E

43、 、 A 同色，所以区域 F 的染色方式有 3 种；第 7 步：染区域 G ，由于 G 不能与 C 、 D 同色，所以区域 G 的染色方式有 3 种根据分步计数的乘法原理，共有54333334860 种不同的染色方法【例 25 】右图中共有 16 个方格，要把A， B，C，D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？（6 级）【解析】 由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子A ， A 可以放在 16 个方格中的任意一个中，故有 16 种不同的放法； 第二步放棋子B ，由于 A 已放定，那么放 A的那一行和一列中的其他方

44、格内也不能放B ，故还剩下9 个方格可以放B ， B 有 9 种放法；第三步放 C ，再去掉 B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C ， C 有 4 种放法；最后一步放D ，再去掉 C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D ， D 有 1 种放法由乘法原理，共有16941576 种不同的放法【巩固】 在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？（6 级）.【解析】要放五枚棋子， 肯定需要分五步完成 观察到图中的表格正好是五列的， 刚好在每列放一个棋子 于是，我们不妨按第 1列、第 2 列、第 3 列、第 4 列、第 5 列的顺序依次摆放棋子第一步：

45、在第1 列填入一个棋子因为第1列只有两个格，所以有2 种放法第二步：在第2 列填入一个棋子因为第2列共有三个格，可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中的一行，所以有 3- 1=2 种放法第三步：在第3 列填入一个棋子因为第3 列共有四个格，可是被放在第一列、第二列的那两个棋子各占了一行，所以有4- 2=2 种放法第四步：在第4 列填入一个棋子同理推得有5- 3=2 种放法第五步：在第5 列填入一个棋子同理推得有5- 4=1 种放法根据乘法原理，往方格内放入5 枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共有2222116 种放法【例 26】用3种颜色把一个 3 3 的方格表染色，要求相同行和相同列的3 个格所

46、染的颜色互不相同，一共有种不同的染色法 （6 级）【解析】 根据题意可知，染完后这个3 3 的方格表每一行和每一列都恰有3 个颜色用 3 种颜色染第一行，有 P336 种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2 个方格，有2 种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3 个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法所以，根据乘法原理，共有3 26 种不同的染法【例 27 】下图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（6 级）楚河汉界【解析】 第一个棋子有90 种放法，第二个棋子有72 种放法，根据乘法原理，共有90 72 6480 （种）不同的放置方法.【巩固】国际象棋棋盘是 8× 8 的方格网， 下棋的双方各有 16 个棋子位于 16 个区格中， 国际象棋中的 “车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？（8 级）【解析】 对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64 种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么