数值计算方法第二章

1、第二章 插值法n本章主要内容1n1、插值问题、插值问题n2、拉格朗日插值、拉格朗日插值n3、牛顿插值、牛顿插值n4、埃尔米特插值、埃尔米特插值n5、三次样条插值、三次样条插值第一节 插值问题n问题的提出21 函数表达式过于复杂不便于计算函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计而又需要计算许多点处的函数值算许多点处的函数值2 仅有几个采样点处的函数值仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知道非而又需要知道非采样点处的函数值采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.解决方法

2、插值法解决方法插值法 插值的数学提法3n实际问题中常常需求函数 的函数值、导数值、零点、值或积分值。但往往不知道其确切表达式，或表达式很复杂，只是知道它在某些点处的函数值与导数值。本章介绍两种方法（插值法与最小二乘法）求其近似式)(xfy )()(xpxfy在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 个互不相同的点处的函数值 ，为求 的近似式，自然应当选 次多项式1)(nxfy在nixfyii, 1 ,0),(nnnnxaxaxaaxP2210)(使 满足条件)(xPnniyxPiin,1,0,)(插值的几何意义40 x1x2xnxx插值函数几何意义y行列式范德蒙德其系数行列式为著名的的线

3、性代数方程组可看成未知数插值条件理由是式是存在且唯一的满足插值条件插值多项)(, 1 , 0,221010eVardermondniyxaxaxaaaaaininiin需要研究的几个问题n满足条件的插值多项式是否存在，是否唯一n如何构造满足条件的插值多项式n用插值多项式 代替 误差如何估计5( )nP x( )f x存在唯一性6设插值多项式为01( )nnnP xaa xa x带入条件nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa22101121211000202010系数行列式为范德蒙行列式01,na aa只有唯一解对于次数不大于n 的多项式( )f xn次插值多项式就

4、是其本身误差估计7有则插值节点为次插值多项式上的在为阶可微上在区间设定理,)()(,1,)(1 . 20baxbaxnbaxfxPnbaxfniin xnfxpxfxRnnnn1)1(!1)()()()(ba, niinnxxxxxxxxx0101误差估计8,ba1nM1)1()(nnMxfnnnxxxxxxMnxR101)!1(1)(由公式可见，如果)()1(xfn在上有界，即存在常数使，则必有拉格朗日多项式插值9一、线性插值当n=1时，已知),(),(1100yxyx和设代入已知条件，得方程组11010100 xaayxaay1010)(xxxxxl0101)(xxxxxl记11001)(

5、)()(yxlyxlxL xaaxL10101)(yxL00101xxxxyy10100101yxxxxyxxxx1100()ijjijixxyxx =1101( )( )( )( )()()2!fR xf xL xxxxx例1.由常用的正弦函数特殊值，利用线性插值求10sin5解：1sin622in42s01,64xx0112,22yy1010010sin()()0.5823555yyLyxxx取则所以真值为：0.5878二、抛物插值11当n=2时，已知),(),(),(221100yxyxyx和、 22102xaxaaxL设带入3个节点，得到 xL20y201021xxxxxxxx1y 2

6、10120 xxxxxxxx2y120210 xxxxxxxx 2020jiijijxxxxy22012( )( )( )( )()()()3!fR xf xL xxxxxxx拉格朗日插值121、插值基函数定义 如果012naxxxxb为区间 , a b的一组节点，称n次多项式： xlk= nkkkkkknkkxxxxxxxxxxxxxxxx110110=nkjjjkjxxxx0为插值基函数13插值基函数性质相同、基函数个数与节点数次多项式为、3)(211)(1nxljijixljj拉格朗日插值多项式)()()()(1100 xlaxlaxlaxPnnn令)(inxPniyxfii,2 , 1

7、 , 0)(14即njijjxla0)(niyi,2 , 1 , 0可得niyaii,2 , 1 ,0)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn其中)(xljnjiiijixxxx0)()()()(11jjnnxxxx插值多项式的为称LagrangexfyxLn)()(插值基函数次为Lagrangennixlj), 1 , 0()(15例1:15)225(,13)169(,12)144()(fffxf满足已知.)175(,)(的近似值并求插值多项式的二次作fLagrangexf解:225,169,144210 xxx设15,13,12210yyy插值基函数为的二次则Lagrange

8、xf)()(0 xl)()(201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx)(1xl)()(210120 xxxxxxxx1400)225)(144(xx)(2xl)()(120210 xxxxxxxx4536)169)(144(xx16插值多项式为的二次因此Lagrangexf)()()()()(2211002xlyxlyxlyxL且)175(f)175(2L)175(15)175(13)175(12210lll73158230.13 在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagran

9、ge线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值17 牛顿插值Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高差商(均差定义nifxxfii, 1 , 0,)(处的函数值为在互异的节点设称)(,jixxffxxfjijiji)(,)(均差一阶差商关于节点为jixxxf18)(,kjixxxxfxxfxxxfjkjikikji的二阶差商关于为kjixxxxf,)(依此类推,110kkiiiixxxxfkkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf1210110,阶差商的关于节点为kxxxxxfkkiiii,)(110显然,110kkxxxxfkkkkkxxxxxxfxxxf1210110,规定)(iixfxf为 xf在ix处的零阶差商由微商的定义可知差商是微商的离散形式19差商具有如下性质：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(,)()1(10110kkkxfxfxfx