第2讲概率随机变量及其分布列

1、二轮二轮数学数学第第2 2讲概率、随机变量及其分布列讲概率、随机变量及其分布列二轮二轮数学数学考向分析考向分析核心整合核心整合热点精讲热点精讲阅卷评析阅卷评析二轮二轮数学数学考向分析考向分析考情纵览考情纵览年份年份考点考点2011201120122012201320132014201420152015古典概型与几何古典概型与几何概型概型4 414145 5互斥事件、相互互斥事件、相互独立事件和独立独立事件和独立重复试验重复试验151519(1)19(1)4 418(2)18(2)条件概率条件概率19(1)19(1)5 5离散型随机变量离散型随机变量的分布列、均值、的分布列、均值、方差方差19(

2、2)19(2)181819(2)19(2)19(3)19(3)1818二轮二轮数学数学真题导航真题导航D D 二轮二轮数学数学2.(20152.(2015新课标全国卷新课标全国卷,理理4)4)投篮测试中投篮测试中, ,每人投每人投3 3次次, ,至少投中至少投中2 2次才能次才能通过测试通过测试. .已知某同学每次投篮投中的概率为已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,0.6,且各次投篮是否投中相且各次投篮是否投中相互独立互独立, ,则该同学通过测试的概率为则该同学通过测试的概率为( ( ) )(A)0.648(A)0.648(B)0.432(B)0.432(C)0.36(C)0.36 (D)0

3、.312 (D)0.312A A二轮二轮数学数学3.(20143.(2014新课标全国卷新课标全国卷, ,理理5)5)某地区空气质量监测资料表明某地区空气质量监测资料表明, ,一天的空气质一天的空气质量为优良的概率是量为优良的概率是0.75,0.75,连续两天为优良的概率是连续两天为优良的概率是0.6,0.6,已知某天的空气质量已知某天的空气质量为优良为优良, ,则随后一天的空气质量为优良的概率是则随后一天的空气质量为优良的概率是( ( ) ) (A)0.8(A)0.8 (B)0.75(B)0.75 (C)0.6(C)0.6 (D)0.45(D)0.45 解析解析: :设一天空气质量优良为事件

4、设一天空气质量优良为事件 A,A, 连续两天的空气质量优良为事件连续两天的空气质量优良为事件 AB,AB, 由题意由题意 P(A)=0.75,P(AB)=0.6,P(A)=0.75,P(AB)=0.6, 由条件概率得由条件概率得 P(B|A)=P(B|A)=()( )P ABP A= =0.60.75 =0.8. =0.8.故选故选 A.A. A A二轮二轮数学数学4.(20154.(2015 新课标全国卷新课标全国卷, ,理理 18)18)某公司为了解用户对其产品的满意度某公司为了解用户对其产品的满意度, ,从从 A,BA,B两地区分别随机调查了两地区分别随机调查了 2020 个用户个用户,

5、 ,得到用户对产品的满意度评分如下得到用户对产品的满意度评分如下: : A A 地区地区:62:62 7373 8181 9292 9595 8585 7474 6464 5353 7676 7878 8686 9595 6666 9797 7878 8888 8282 7676 8989 B B 地区地区:73:73 8383 6262 5151 9191 4646 5353 7373 6464 8282 9393 4848 6565 8181 7474 5656 5454 7676 6565 7979 (1)(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图根据两组数据完成两地区用户满意度

6、评分的茎叶图, ,并通过茎叶图比较两地并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度区满意度评分的平均值及分散程度( (不要求计算出具体值不要求计算出具体值, ,给出结论即可给出结论即可);); 二轮二轮数学数学解解: :(1)(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图两地区用户满意度评分的茎叶图如图: : 通过茎叶图可以看出通过茎叶图可以看出,A,A 地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值高于 B B 地区用户满意地区用户满意度评分的平均值度评分的平均值;A;A 地区用户满意度评分比较集中地区用户满意度评分比较集中,B,B 地区用户满意度评分比地区用户满意度评分比较分散较分

7、散. . 二轮二轮数学数学(2)(2)根据用户满意度评分根据用户满意度评分, ,将用户的满意度从低到高分为三个等级将用户的满意度从低到高分为三个等级: : 满意度评分满意度评分 低于低于 7070 分分 7070 分到分到 8989 分分 不低于不低于 9090 分分 满意度等级满意度等级 不满意不满意 满意满意 非常满意非常满意 记事件记事件 C:C:“A A 地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级高于 B B 地区用户的满意度等级”地区用户的满意度等级”. .假设假设两地区用户的评价结果相互独立两地区用户的评价结果相互独立. .根据所给数据根据所给数据, ,以事件发生的频率作为相以事

8、件发生的频率作为相应事件发生的概率应事件发生的概率, ,求求 C C 的概率的概率. . 二轮二轮数学数学解解：(2)(2)记记 C CA1A1表示事件表示事件: :“A A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; ; C CA2A2表示事件表示事件: :“A A 地区用户的满意度等级为非常满意”地区用户的满意度等级为非常满意”; ; C CB1B1表示事件表示事件: :“B B 地区用户的满意度等级为不满意”地区用户的满意度等级为不满意”; ; C CB2B2表示事件表示事件: :“B B 地区用户的满意度等级为满意”地区用户的满意度等级为满意”, ,

9、 则则 C CA1A1与与 C CB1B1独立独立,C,CA2A2与与 C CB2B2独立独立,C,CB1B1与与 C CB2B2互斥互斥, ,C=CC=CB1B1C CA1A1C CB2B2C CA2A2. . P(C)=P(CP(C)=P(CB1B1C CA1A1C CB2B2C CA2A2) ) =P(C=P(CB1B1C CA1A1)+P(C)+P(CB2B2C CA2A2) ) =P(C=P(CB1B1)P(C)P(CA1A1)+P(C)+P(CB2B2)P(C)P(CA2A2).). 由所给数据得由所给数据得 C CA1A1,C,CA2A2,C,CB1B1,C,CB2B2发生的频率

10、分别为发生的频率分别为1620, ,420, ,1020, ,820, ,故故 P(CP(CA1A1)=)= 1620,P(C,P(CA2A2)=)= 420,P(C,P(CB1B1)=)= 1020,P(C,P(CB2B2)=)= 820,P(C)=,P(C)=10201620+ +820420=0.48.=0.48. 二轮二轮数学数学5.(20135.(2013 新课标全国卷新课标全国卷, ,理理 19)19)一批产品需要进行质量检验一批产品需要进行质量检验, ,检验方案是检验方案是: :先先从这批产品中任取从这批产品中任取 4 4 件作检验件作检验, ,这这 4 4 件产品中优质品的件数

11、记为件产品中优质品的件数记为 n.n.如果如果 n=3,n=3,再从这批产品中任取再从这批产品中任取 4 4 件作检验件作检验, ,若都为优质品若都为优质品, ,则这批产品通过检验则这批产品通过检验; ;如果如果n=4,n=4,再从这批产品中任取再从这批产品中任取 1 1 件作检验件作检验, ,若为优质品若为优质品, ,则这批产品通过检验则这批产品通过检验; ;其他其他情况下情况下, ,这批产品都不能通过检验这批产品都不能通过检验. . 假设这批产品的优质品率为假设这批产品的优质品率为 50%,50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为即取出的每件产品是优质品的概率都为12, ,且各件产品是否

12、为优质品相互独立且各件产品是否为优质品相互独立. . (1)(1)求这批产品通过检验的概率求这批产品通过检验的概率; ; 二轮二轮数学数学解解: :(1)(1)设第一次取出的设第一次取出的 4 4 件产品中恰有件产品中恰有 3 3 件优质品为事件件优质品为事件 A A1 1, , 第一次取出的第一次取出的 4 4 件产品全是优质品为事件件产品全是优质品为事件 A A2 2, , 第二次取出的第二次取出的 4 4 件产品都是优质品为事件件产品都是优质品为事件 B B1 1, , 第二次取出的第二次取出的 1 1 件产品是优质品为事件件产品是优质品为事件 B B2 2, , 这批产品通过检验为事件

13、这批产品通过检验为事件 A,A,依题意有依题意有 A=(AA=(A1 1B B1 1) )(A(A2 2B B2 2),),且且 A A1 1B B1 1与与 A A2 2B B2 2互斥互斥, , 所以所以 P(A)=P(AP(A)=P(A1 1B B1 1)+P(A)+P(A2 2B B2 2) ) =P(A=P(A1 1)P(B)P(B1 1|A|A1 1)+P(A)+P(A2 2)P(B)P(B2 2|A|A2 2) ) = =416116+ +11612 = =364. . 二轮二轮数学数学(2)(2)已知每件产品的检验费用为已知每件产品的检验费用为 100100 元元, ,且抽取的

14、每件产品都需要检验且抽取的每件产品都需要检验, ,对这对这批产品作质量检验所需的费用记为批产品作质量检验所需的费用记为 X(X(单位单位: :元元),),求求 X X 的分布列及数学期望的分布列及数学期望. . 解：解：(2)X(2)X 可能的取值为可能的取值为 400,500,800,400,500,800,并且并且 P(X=400)=1P(X=400)=1- -416- -116= =1116, , P(X=500)=P(X=500)=116,P(X=800)=,P(X=800)= 14. . 所以所以 X X 的分布列为的分布列为 X X 400400 500500 80800 0 P

15、P 1116 116 14 E(X)=400E(X)=4001116+500+500116+800+80014=506.25.=506.25. 二轮二轮数学数学备考指要备考指要1.1.怎么考怎么考(1)(1)几何概型很少考查几何概型很少考查; ;古典概型可以单独考查也可以与计数原理、统计等古典概型可以单独考查也可以与计数原理、统计等知识交汇考查知识交汇考查. .(2)(2)条件概率条件概率, ,正态分布正态分布, ,互斥、对立事件的概率互斥、对立事件的概率, ,相互独立事件的概率以及相互独立事件的概率以及独立重复试验独立重复试验. .可能出现在客观题中单独考查可能出现在客观题中单独考查, ,也

16、可能在解答题中与其他知也可能在解答题中与其他知识、综合考查识、综合考查, ,难度不大难度不大. .(3)(3)以实际问题为背景以实际问题为背景, ,多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差方差; ;多以解答题形式呈现多以解答题形式呈现. .2.2.怎么办怎么办注重基础知识、基本思想、基本能力的复习是关键注重基础知识、基本思想、基本能力的复习是关键, ,是解决综合性题目的是解决综合性题目的基础基础. .在复习的过程中一定要注重思想方法的应用和能力的培养在复习的过程中一定要注重思想方法的应用和能力的培养, ,注重阅读注重阅读能力以及从题目中提

17、取信息的能力的培养能力以及从题目中提取信息的能力的培养. .二轮二轮数学数学核心整合核心整合(2)(2)古典概型的概率古典概型的概率 P(A)=P(A)=A中所含的基本事件数基本事件总数. . 1.1.随机事件的概率随机事件的概率(1)(1)随机事件的概率范围随机事件的概率范围:0P(A)1;:0P(A)1;必然事件的概率为必然事件的概率为1;1;不可能事件不可能事件的概率为的概率为0.0.(3)(3)几何概型的概率几何概型的概率 P(A)=P(A)=A构成事件 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. . 二轮二轮数学数学(2)(2)如果事件如果事件 A,BA,

18、B 互斥互斥, ,那么事件那么事件 A AB B 发生发生( (即即 A,BA,B 中有一个发生中有一个发生) )的概率的概率, ,等于事件等于事件 A,BA,B 分别发生的概率的和分别发生的概率的和, ,即即 P(AP(AB)=P(A)+P(B).B)=P(A)+P(B).这个公式称为这个公式称为互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式. . 2.2.互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件(1)(1)对立事件是互斥事件对立事件是互斥事件, ,互斥事件未必是对立事件互斥事件未必是对立事件; ;(3)(3)在一次试验中在一次试验中, ,对立事件对立事件 A A 和和A不会同时发生不会同时发生,

19、 ,但一定有一个发生但一定有一个发生, ,因此因此有有 P(P(A)=1)=1- -P(A)P(A) 3.3.条件概率条件概率 在事件在事件 A A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B B 发生的概率发生的概率:P(B|A)=:P(B|A)=()( )P ABP A. . 4.4.相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率: :若若A,BA,B为相互独立事件为相互独立事件, ,则则P(AB)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B).二轮二轮数学数学5.5.独立重复试验独立重复试验 如果事件如果事件A A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 p,p,那么它在那么

20、它在 n n 次独立重复试验中恰次独立重复试验中恰好发生好发生 k k 次的概率为次的概率为 P Pn n(k)=(k)=Ckn p pk k(1(1- -p)p)n n- -k k,k=0,1,2,k=0,1,2,n.,n. 6.6.超几何分布超几何分布 在含在含有有 M M 件次件次品的品的 N N 件产品中件产品中, ,任取任取 n n 件件, ,其中恰有其中恰有 X X 件次品件次品, ,则则P(X=k)=P(X=k)=C CCkn kMNMnN,k=0,1,2,k=0,1,2,m,m,其中其中 m=minM,n,m=minM,n,且且 n nN,MN,MN,n,MN,n,M, , N

21、 NN N* *. .此时称随此时称随机变量机变量 X X 服从超几何分布服从超几何分布. .超几何分布的模型是不放回超几何分布的模型是不放回 抽样抽样, ,超几何分布中的参数超几何分布中的参数是是 M,N,n.M,N,n. 二轮二轮数学数学7.7.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 (1)(1)设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 可能取的值为可能取的值为 x x1 1,x,x2 2, ,x,xi i, ,x,xn n,X,X 取每一个值取每一个值 x xi i的概率为的概率为 P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i, ,则称表则称表: : X X x x1 1 x x2

22、 2 x x3 3 x xi i x xn n P P p p1 1 p p2 2 p p3 3 p pi i p pn n 为离散型随机变量为离散型随机变量 X X 的分布列的分布列. . (2)(2)离散型随机变量离散型随机变量 X X 的分布列具有两个性质的分布列具有两个性质: : p pi i0,0,p p1 1+p+p2 2+ +p+pi i+ +p+pn n=1(i=1,2,3,=1(i=1,2,3,n).,n). (3)E(X)=x(3)E(X)=x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+ +x+xi ip pi i+ +x+xn np pn n为为 X X 的均值或数学期

23、望的均值或数学期望( (简称期望简称期望),),反反映映 X X 的平均水平的平均水平. . (4)D(X)=(4)D(X)=21niixE Xp pi i为随机变量为随机变量 X X 的方差的方差. . ()D X叫标准差叫标准差, ,它们均反映它们均反映 X X 的离散程度的离散程度. . 二轮二轮数学数学(5)(5)性质性质 E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=aE(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2 2D(X)(a,bD(X)(a,b 为常数为常数) ) X XB(n,p),B(n,p),则则 E(X)=np,D(X)=np(1E(X)=np,D(X)=np(

24、1- -p);p); X X 服从两点分布服从两点分布, ,则则 E(X)=p,D(X)=p(1E(X)=p,D(X)=p(1- -p).p). 8.8.正态分布正态分布 (1)(1)正态曲线及性质正态曲线及性质 正态曲线的定义正态曲线的定义 函数函数, ,(x)=(x)=22()21e2x,x,x( (- -,+,+),),其中实数和其中实数和( (0)0)为参为参数数, ,我们称我们称, ,(x)(x)的图象为正态分布密度曲线的图象为正态分布密度曲线, ,简称正态曲线简称正态曲线. . a.a.曲线位于曲线位于x x轴轴 , ,与与x x轴不相交轴不相交; ;b.b.曲线是单峰的曲线是单峰

25、的, ,它关于直线它关于直线 对称对称; ;上方上方x=x=二轮二轮数学数学c.c.曲线在曲线在 x=x=处达到峰值处达到峰值12; ; d.d.曲线与曲线与 x x 轴之间的面积为轴之间的面积为 ; ; e.e.当一定时当一定时, ,曲线随着的变化而沿曲线随着的变化而沿 x x 轴平移轴平移, ,如图甲所示如图甲所示; ; f.f.当一定时当一定时, ,曲线的形状由确定曲线的形状由确定. . , ,曲线越“瘦高”曲线越“瘦高”, ,表示总体表示总体的分布越集中的分布越集中; ; , ,曲线越“矮胖”曲线越“矮胖”, ,表示总体的分布越分散表示总体的分布越分散, ,如图如图乙所示乙所示. .

26、1 1 越小越小 越大越大 二轮二轮数学数学(2)(2)正态分布的三个常用数据正态分布的三个常用数据P(-X+)= P(-X+)= ; ;P(-2X+2)= P(-2X+2)= ; ;P(-3X+3)= P(-3X+3)= . .0.68260.68260.95440.95440.99740.9974二轮二轮数学数学温馨提示温馨提示 (1)(1)事件互斥与事件相互独立的区别事件互斥与事件相互独立的区别事件互斥是指在一次试验中事件互斥是指在一次试验中, ,两个事件或多个事件不可能同时发生两个事件或多个事件不可能同时发生, ,而事而事件的相互独立不要求事件是在一次试验中件的相互独立不要求事件是在一

27、次试验中, ,只要它们互不影响就可以称只要它们互不影响就可以称为相互独立为相互独立. .(2)(2)独立重复试验的条件独立重复试验的条件. .满足独立重复试验的条件有两个满足独立重复试验的条件有两个, ,一是每一次试验的结果只有两个一是每一次试验的结果只有两个, ,二是二是在相同条件下在相同条件下, ,试验可以重复试验可以重复. .(3)(3)正态分布的计算主要是通过正态分布的计算主要是通过33原则以及正态曲线的性质原则以及正态曲线的性质: :曲线关于曲线关于x=x=对称进行计算对称进行计算. .二轮二轮数学数学热点精讲热点精讲热点一热点一古典概型与几何概型古典概型与几何概型【例【例 1 1】

28、 (1) (1)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a,b,a,b,则直线则直线 ax+by=0ax+by=0与圆与圆(x(x- -2)2)2 2+y+y2 2=2=2 有公共点的概率为有公共点的概率为 . . 解析解析: :(1)(1)依题意依题意, ,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)(a,b)有有(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),(6,6),共共 3636 种种, ,其中满足直线其中满足直线 ax+by=0ax+by=0 与圆与圆(x(x-

29、-2)2)2 2+y+y2 2=2=2 有公共点有公共点, ,即满足即满足222aab2,a,a2 2b b2 2的数组的数组(a,b)(a,b)有有6+5+4+3+2+1=216+5+4+3+2+1=21 种种, ,因此所求的概率等于因此所求的概率等于2136= =712. . 答案答案: :(1)(1)712 二轮二轮数学数学(2)(2015(2)(2015 黑龙江模拟黑龙江模拟) )已知已知= =(x,y)|x|(x,y)|x|1,|y|1,|y|1,A1,A 是曲线是曲线 y=xy=x2 2与与y=y=12x围成的区域围成的区域, ,若向区域上随机投一点若向区域上随机投一点 P,P,则

30、点则点 P P 落入区域落入区域 A A 的概率的概率为为 . . 解析：解析：(2)(2)如图如图, ,曲线曲线 y=xy=x2 2与与 y=y=12x围成的区域面积为围成的区域面积为11220()xx dx=dx=3312021()|33xx= =13. .而区域对应的面积为而区域对应的面积为 4,4,故点故点 P P 落入区域落入区域 A A 的概率的概率为为134= =112. . 答案答案: :(2)(2)112 二轮二轮数学数学方法技巧方法技巧 (1)(1)有关古典概型的概率问题有关古典概型的概率问题, ,关键是正确求出基本事件总数关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件

31、总数和所求事件包含的基本事件总数, ,此类问题经常用到排列、组合的有关知此类问题经常用到排列、组合的有关知识识; ;对于较复杂的题目要注意正确分类对于较复杂的题目要注意正确分类, ,分类时应不重不漏分类时应不重不漏. .(2)(2)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时, ,应应考虑使用几何概型求解考虑使用几何概型求解; ;利用几何概型求概率时利用几何概型求概率时, ,关键是试验的全部结果关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的确定构成的区域和事件发生的区域的确定, ,有时需要设出变量有时需要设出变量, ,在坐标

32、系中表示在坐标系中表示所需要的区域所需要的区域. .二轮二轮数学数学举一反三举一反三 1 1- -1:1:(1)(1)在二项式在二项式 （x+ +412 x）n n的展开式中的展开式中, ,前三项的系数成等差数列前三项的系数成等差数列, ,把展开式中所有的项重新排成一列把展开式中所有的项重新排成一列, ,有理项都互不相邻的概率为有理项都互不相邻的概率为( ( ) ) (A)(A)16 (B)(B) 14 (C)(C)13 (D)(D)512 解析解析: :(1)(1)注意到二项式注意到二项式（x+ +412 x）n n的展开式的通项是的展开式的通项是 T Tr+1r+1= =Crn( (x)

33、)n n- -r r（412 x）r r = =Crn2 2- -r r234nrx. .依题意有依题意有0Cn+ +2Cn2 2- -2 2=2=21Cn2 2- -1 1, , 即即 n n2 2- -9n+8=0,(n9n+8=0,(n- -1)(n1)(n- -8)=0(n8)=0(n2),2),因此因此 n=8.n=8. 因为二项式因为二项式（x+ +412 x）8 8的展开式的通项是的展开式的通项是 T Tr+1r+1= =8Cr2 2- -r r344rx, , 其展开式中的有理项共有其展开式中的有理项共有 3 3 项项, ,所求的概率等于所求的概率等于636799A AA= =

34、512, ,选选 D.D. 二轮二轮数学数学(2)(2)任取实数任取实数 a,ba,b - -1,1,1,1,则则 a,ba,b 满足满足|a|a- -2b|2b|2 2 的概率为的概率为( ( ) ) (A)(A)18 (B)(B)14 (C)(C)34 (D)(D)78 解析：解析：(2)(2)如图所示如图所示, ,则事件则事件|a|a- -2b|2b|2 2 所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域, ,易知直线易知直线a a- -2b=2b=- -2 2 分别交直线分别交直线 a=a=- -1 1 与与 b b 轴于点轴于点 E E（- -1,1

35、,12）,F(0,1).,F(0,1). 所以所以|BE|=|BE|=12,|BF|=1.,|BF|=1. 所以所以 S SBEFBEF= =12|BE|BE|BF|=|BF|=12121=1=14, , 易得易得DHGDHGBEF.BEF.因此因此 S SDHGDHG=S=SBEFBEF= =14, , 故阴影部分的面积故阴影部分的面积 S=SS=S四边形四边形 ABCDABCD- -2S2SBEFBEF=2=22 2- -2 214= =72. .由几何概型的概率公式可知由几何概型的概率公式可知, ,事件事件|a|a- -2b|2b|2 2 的概的概率率 P=P=ABCDSS四边形= =2

36、722= =7214= =78, ,故选故选 D.D. 二轮二轮数学数学热点二热点二相互独立事件和独立重复试验相互独立事件和独立重复试验【例【例 2 2】 甲、 乙两人各射击一次甲、 乙两人各射击一次, ,击中目标的概率分别是击中目标的概率分别是23和和34. .假设两假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响人射击是否击中目标相互之间没有影响, ,每人各次射击是否击中目标每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响相互之间也没有影响. . (1)(1)求甲连续射击求甲连续射击 4 4 次次, ,至少有至少有 1 1 次未击中目标的概率次未击中目标的概率; ; 解解: :(1)(1)记“甲连续射击

37、记“甲连续射击 4 4 次次, ,至少有至少有 1 1 次未击中目标”为事件次未击中目标”为事件 A A1 1, ,则事件则事件 A A1 1的对立事件的对立事件1A为“甲连续射为“甲连续射击击 4 4 次次, ,全部击中目标”全部击中目标”. .由题意知由题意知, ,射击射击 4 4 次相当于做次相当于做 4 4 次独立重复试验次独立重复试验. .故故 P(P(1A)=)=（23）4 4= =1681. . 所以所以 P(AP(A1 1)=1)=1- -P(P(1A)=1)=1- -1681= =6581. . 所以甲连续射击所以甲连续射击 4 4 次次, ,至少有至少有 1 1 次未击中目

38、标的概率为次未击中目标的概率为6581. . 二轮二轮数学数学解：解：(2)(2)记“甲射击记“甲射击 4 4 次次, ,恰好有恰好有 2 2 次击中目标”为事件次击中目标”为事件 A A2 2, ,“乙射击“乙射击 4 4次次, ,恰好有恰好有 3 3 次击中目标”为事件次击中目标”为事件 B B2 2, , 则则 P(AP(A2 2)=)= 24C（23）2 2（1 1- -23）2 2= =827, , P(BP(B2 2)=)= 34C（34）3 3（1 1- -34）= =2764. . 由于甲、乙射击相互独立由于甲、乙射击相互独立, , 故故 P(AP(A2 2B B2 2)=P(

39、A)=P(A2 2)P(B)P(B2 2)=)= 8272764= =18. . 所以两人各射击所以两人各射击 4 4 次次, ,甲恰有甲恰有 2 2 次击中目标且乙恰有次击中目标且乙恰有 3 3 次击中目标的概次击中目标的概率为率为18. . (2)(2)求两人各射击求两人各射击4 4次次, ,甲恰好击中目标甲恰好击中目标2 2次且乙恰好击中目标次且乙恰好击中目标3 3次的概率次的概率; ;二轮二轮数学数学解：解：(3)(3)记“乙恰好射击记“乙恰好射击 5 5 次后次后, ,被终止射击”为事件被终止射击”为事件 A A3 3, ,“乙第“乙第 i i 次射次射击未击中”为事件击未击中”为事

40、件 D Di i(i=1,2,3,4,5),(i=1,2,3,4,5),则则 A A3 3=D=D5 5D D4 43D( (2D1D2DD D1 1D D2 21D),),且且 P(DP(Di i)=)= 14. . 由于各事件相互独立由于各事件相互独立, , 故故 P(AP(A3 3)=P(D)=P(D5 5)P(D)P(D4 4)P()P(3D)P()P(2D1D+ +2DD D1 1+D+D2 21D)=)=141434（1 1- -1414）= =451024. . 所以乙恰好射击所以乙恰好射击 5 5 次后次后, ,被终止射击的概率为被终止射击的概率为451024. . (3)(3

41、)假设每人连续假设每人连续2 2次未击中目标次未击中目标, ,则终止其射击则终止其射击. .问问: :乙恰好射击乙恰好射击5 5次后次后, ,被被终止射击的概率是多少终止射击的概率是多少? ?二轮二轮数学数学方法技巧方法技巧 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点: :(1)(1)求复杂事件的概率求复杂事件的概率, ,要正确分析复杂事件的构成要正确分析复杂事件的构成, ,看复杂事件能转化为看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件的积事件,

42、,然后用相应概率公式求解然后用相应概率公式求解. .(2)(2)一个复杂事件若正面情况比较多一个复杂事件若正面情况比较多, ,反面情况比较少反面情况比较少, ,则一般利用对立事则一般利用对立事件概率公式进行求解件概率公式进行求解. .对于对于“至少至少”“”“至多至多”等问题经常也用这种方法求等问题经常也用这种方法求解解. .(3)(3)注意辨别独立重复试验的基本特征注意辨别独立重复试验的基本特征: :在每次试验中在每次试验中, ,试验结果只有发试验结果只有发生与不发生两种情况生与不发生两种情况; ;在每次试验中在每次试验中, ,事件发生的概率相同事件发生的概率相同. .二轮二轮数学数学举一反

43、三举一反三 2 2- -1:1:某项选拔共有四轮考核某项选拔共有四轮考核, ,每轮设有一个问题每轮设有一个问题, ,能正确回答问题者进能正确回答问题者进入下一轮考核入下一轮考核, ,否则即被淘汰否则即被淘汰. .已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为的概率分别为45, ,35, ,25, ,15, ,且各轮问题能否正确回答互不影响且各轮问题能否正确回答互不影响. . (1)(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; ; 解解: :(1)(1)记 “该选手能正确回答第记 “该选手能正确回答第 i i 轮的

44、问题” 的事件为轮的问题” 的事件为 A Ai i (i=1,2,3,4), (i=1,2,3,4),则则 P(AP(A1 1)=)= 45,P(A,P(A2 2)=)= 35,P(A,P(A3 3)=)= 25,P(A,P(A4 4)=)=15, , 所以该选手进入第四轮被淘汰的概率为所以该选手进入第四轮被淘汰的概率为 P(AP(A1 1A A2 2A A3 34A)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(A)P(A3 3)P()P(4A)=)=45352545= =96625. . 二轮二轮数学数学解：解：(2)(2)该选手至多进入第三轮考核的概率为该选手至多进入第三轮考核的概

45、率为P(P(1A+A+A1 12A+A+A1 1A A2 23A)=P()=P(1A)+P(A)+P(A1 1)P()P(2A)+P(A)+P(A1 1)P(A)P(A2 2)P()P(3A)=)=15+ +4525+ +453535= =101125. . (2)(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率求该选手至多进入第三轮考核的概率. .二轮二轮数学数学热点三热点三离散型随机变量的分布列、均值、方差离散型随机变量的分布列、均值、方差 【例【例 3 3】 (2015(2015 贵阳市高三适应性监测贵阳市高三适应性监测) )甲、 乙、 丙三位同学彼此独立地从甲、 乙、 丙三位同学彼此独立地从 A

46、,B,C,D,EA,B,C,D,E五所高校中五所高校中, ,任选任选 2 2 所高校参加自主招生考试所高校参加自主招生考试( (并且只能选并且只能选 2 2 所高校所高校),),但同学甲特但同学甲特别喜欢别喜欢 A A 高校高校, ,他除选他除选 A A 校外校外, ,在在B,C,D,EB,C,D,E 中再随机选一所中再随机选一所; ;同学乙和丙对同学乙和丙对 5 5所高校所高校没有偏爱没有偏爱, ,都在都在 5 5 所高校中随机选所高校中随机选 2 2 所即可所即可. . (1)(1)求甲同学未选中求甲同学未选中 B B 高校且乙、丙都选中高校且乙、丙都选中 B B 高校的概率高校的概率;

47、; 解解: :(1)(1)由已知得由已知得, ,甲同学选中甲同学选中 B B 高校的概率为高校的概率为 P P甲甲= =14, , 乙、丙同学选中乙、丙同学选中 B B 高校的概率为高校的概率为 P P乙乙=P=P丙丙= =111425C CC= =25, , 甲同学未选中甲同学未选中 B B 高校且乙、丙同学都选中高校且乙、丙同学都选中 B B 高校的概率为高校的概率为 P=(1P=(1- -P P甲甲) )P P乙乙P P丙丙= =（1 1- -14）2525= =325. . 二轮二轮数学数学(2)(2)记记X X为甲、乙、丙三名同学中参加为甲、乙、丙三名同学中参加B B高校自主招生考试

48、的人数高校自主招生考试的人数, ,求求X X的的分布列及数学期望分布列及数学期望. .二轮二轮数学数学解：解：(2)X(2)X 所有可能的取值为所有可能的取值为 0,1,2,3,P(X=0)=(10,1,2,3,P(X=0)=(1- -P P甲甲) )(1(1- -P P乙乙) )(1(1- -P P丙丙)=)=（1 1- -14）（1 1- -25）2 2 = =27100,P(X=1)=(1,P(X=1)=(1- -P P甲甲) )(1(1- -P P乙乙) )P P丙丙+(1+(1- -P P甲甲) )P P乙乙(1(1- -P P丙丙)+(1)+(1- -P P丙丙) )(1(1- -

49、P P乙乙) )P P甲甲 = =（1 1- -14）（1 1- -25）25+ +（1 1- -14）25（1 1- -25）+ +（1 1- -25）2 214= =920, , P(X=2)=(1P(X=2)=(1- -P P甲甲) )P P乙乙P P丙丙+(1+(1- -P P乙乙) )P P甲甲P P丙丙+(1+(1- -P P丙丙) )P P乙乙P P甲甲 = =（1 1- -14）（25）2 2+ +（1 1- -25）1425+ +（1 1- -25）1425= =625, , P(X=3)=PP(X=3)=P甲甲P P乙乙P P丙丙= =14（25）2 2= =125. .

50、所以所以 X X 的分布列为的分布列为 X X 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 27100 920 625 125 所以所以 E(X)=0E(X)=027100+1+1920+2+2625+3+3125= =2120. . 二轮二轮数学数学方法技巧方法技巧 (1)(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件取每一个值所表示的具体事件, ,然后综合应用各类求概率的公式求出概率然后综合应用各类求概率的公式求出概率. .(2)(2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列求随机变量的期望的关键是正确求

51、出随机变量的分布列, ,若随机变量服若随机变量服从二项分布从二项分布, ,则可直接使用公式求解则可直接使用公式求解. .(3)(3)对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关公式求解公式求解; ;对于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列对于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列, ,用期用期望、方差公式求解望、方差公式求解. .二轮二轮数学数学举一反三举一反三 3 3- -1:1:某省去年高三某省去年高三 2020 万考生英语听力考试成绩服从正态分布万考生英语听力考试成绩服从正态分布N(17N(17

52、,9).,9).现从某校高三年级随机抽取现从某校高三年级随机抽取 5050 名考生的成绩名考生的成绩, ,发现全部在发现全部在6,306,30内内, ,将成绩按如下方式分成将成绩按如下方式分成 6 6 组组: :第第 1 1 组组6,10),6,10),第第 2 2 组组10,14),10,14), ,第第 6 6 组组26,30,26,30,如图是按上述分组方法得到的频率分布直如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图方图. . (1)(1)估算该校估算该校 5050 名考生成绩的众数和中位数名考生成绩的众数和中位数; ; 二轮二轮数学数学解解: :(1)(1)由题图知由题图知, ,该校这该校

53、这 5050 名考生听力成绩的众数为名考生听力成绩的众数为14182=16,=16, 中位数为中位数为 14+14+0.50.0240.0540.08=16.75.=16.75. 二轮二轮数学数学(2)(2)求这求这5050名考生成绩在名考生成绩在22,3022,30内的人数内的人数; ;解：解：(2)(2)由题频率分布直方图知由题频率分布直方图知, ,后两组频率为后两组频率为(0.03+0.02)(0.03+0.02)4=0.2,4=0.2,人数为人数为0.20.250=10,50=10,即该校这即该校这5050名考生听力成绩在名考生听力成绩在22,3022,30内的人数为内的人数为10.1

54、0.二轮二轮数学数学(3)(3)从这从这 5050 名考生成绩在名考生成绩在22,3022,30内的人中任意抽取内的人中任意抽取 2 2 人人, ,这这 2 2人成绩排名人成绩排名( (从高到低从高到低) )在全省前在全省前 260260 名的人数记为名的人数记为 X,X,求求 X X 的数学期望的数学期望. .参考数据参考数据: : 若若 X XN(N(, ,2 2),),则则 P(P(- -XX+ +)=0.6826,)=0.6826, P(P(- -2 2XX+2+2)=0.9544,)=0.9544, P(P(- -3 3XX+3+3)=0.9974,)=0.9974, 二轮二轮数学数

55、学解：解：(3)(3)因为因为 P(17P(17- -3 33X3X17+317+33)=0.9974,3)=0.9974, 则则 P(XP(X26)=26)=10.99742=0.0013,0.0013=0.0013,0.0013200000=260.200000=260. 所以所以, ,该省前该省前 260260 名的英语听力成绩在名的英语听力成绩在 2626 分及其以上分及其以上, , 该校这该校这 5050 人中人中 2626 分及其以上的有分及其以上的有 0.080.0850=4(50=4(人人).). 随机变量随机变量 X X 可取可取 0,1,2,0,1,2,于是于是 P(X=0

56、)=P(X=0)=26210CC= =13,P(X=1)=,P(X=1)=1164210C CC= =815, , P(X=2)=P(X=2)=24210CC= =215, ,则数学期望则数学期望 E(X)=0E(X)=013+1+1815+2+2215= =45. . 二轮二轮数学数学备选例题备选例题解解: :(1)(1)个位数字是个位数字是 5 5 的“三位递增数”有的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.125,135,145,235,245,345. 【例例1 1】 (2015 (2015山东卷山东卷) )若若n n是一个三位正整数是一个三位正整数, ,且且

57、n n的个位数字大于十位数字的个位数字大于十位数字, ,十位数字大于百位数字十位数字大于百位数字, ,则称则称n n为为“三位递增数三位递增数”( (如如137,359,567137,359,567等等).).在某次数学趣味活动中在某次数学趣味活动中, ,每位参加者需从所有的每位参加者需从所有的“三位递增数三位递增数”中随机抽取中随机抽取1 1个数个数, ,且只能抽取一次且只能抽取一次. .得分规则如下得分规则如下: :若抽取的若抽取的“三位递增数三位递增数”的三个数的三个数字之积不能被字之积不能被5 5整除整除, ,参加者得参加者得0 0分分; ;若能被若能被5 5整除整除, ,但不能被但不

58、能被1010整除整除, ,得得-1-1分分; ;若能被若能被1010整除整除, ,得得1 1分分. .(1)(1)写出所有个位数字是写出所有个位数字是5 5的的“三位递增数三位递增数”; ;二轮二轮数学数学解：解：(2)(2)由题意知由题意知, ,全部“三位递增数”的个数为全部“三位递增数”的个数为39C=84,=84,随机变量随机变量 X X 的取的取值为值为 0,0,- -1,1,1,1,因此因此 P(X=0)=P(X=0)=3839CC= =23,P(X=,P(X=- -1)=1)=2439CC= =114, , P(X=1)=1P(X=1)=1- -114- -23= =1142. .

59、所以所以 X X 的分布列为的分布列为 X X 0 0 - -1 1 1 1 P P 23 114 1142 则则 E(X)=0E(X)=023+(+(- -1)1)114+1+11142= =421. . (2)(2)若甲参加活动若甲参加活动, ,求甲得分求甲得分X X的分布列和数学期望的分布列和数学期望E(X).E(X).二轮二轮数学数学【例【例 2 2】(2014(2014 北京卷北京卷) )李明在李明在 1010 场篮球比赛中的投篮情况统计如下场篮球比赛中的投篮情况统计如下( (假设各假设各场比赛相互独立场比赛相互独立):): 场次场次 投篮次数投篮次数 命中次数命中次数 场次场次 投

60、篮次数投篮次数 命中次数命中次数 主场主场 1 1 2222 1212 客场客场 1 1 1818 8 8 主场主场 2 2 1515 1212 客场客场 2 2 1313 1212 主场主场 3 3 1212 8 8 客场客场 3 3 2121 7 7 主场主场 4 4 2323 8 8 客场客场 4 4 1818 1515 主场主场 5 5 2424 2020 客场客场 5 5 2525 1212 (1)(1)从上述比赛中随机选择一场从上述比赛中随机选择一场, ,求李明在该场比赛中投篮命中率超过求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.60.6的的概率概率; ; 解解: : (1) (1)根据投