第六章图形变换的矩阵方法

1、1第六章第六章 图形变换的矩阵方法图形变换的矩阵方法 1 概述概述 2 二维图形变换二维图形变换 3 三维图形变换三维图形变换 本章小结本章小结2mnmmnnxxxxxxxxx212222111211该向量集合实际上就是一个矩阵。该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说，如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说，我们可以用我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形矩阵来描述（表示）空间中的图形。1 1 概述概述一、空间图形的矩阵表示一、空间图形的矩阵表示 若用一个行向量若用一个行向量 x1 x2 xn 表示表示n维空间中一个点维空间中一个点坐标，那么坐标，那么

2、n维空间中维空间中m个点坐标就可以表示为一个向量个点坐标就可以表示为一个向量集合：集合： 3 对于二维空间，用对于二维空间，用表示图形表示图形( 其中其中xi yi是顶点坐标）是顶点坐标）。nnyxyxyx2211 例：如图所示的例：如图所示的ABC，用矩阵表示为，用矩阵表示为 133311CBA C(3,1)A (1,1)B (3,3)二、图形变换二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等变换。变换。 图形变换的实质是图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标改变图形的各个顶点的坐标。4 因此，图形变换可以因此，图形变换可以通过对

3、表示图形坐标的矩阵进通过对表示图形坐标的矩阵进行运算来实现行运算来实现，称为，称为矩阵变换法矩阵变换法。 矩阵变换法的一般形式：矩阵变换法的一般形式：坐坐标标矩矩阵阵图图形形顶顶点点原原来来的的 矩阵矩阵变换变换= 坐标矩阵坐标矩阵图形顶点图形顶点变换后的变换后的 本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三维图形的各种变换。维图形的各种变换。52 2 二维图形变换二维图形变换 分为两类：二维基本变换，二维组合变换。分为两类：二维基本变换，二维组合变换。 二维基本变换二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错切：比例变换（缩放）、对称变换、错切

4、变换、旋转变换、平移变换。变换、旋转变换、平移变换。 二维组合变换二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。：由多种基本变换组合而成的变换。一、二维基本变换一、二维基本变换 矩阵变换法的形式为：矩阵变换法的形式为：22211nnnyxyxyx 22dcba= 22211nnnyxyxyx6 通过对变换矩阵通过对变换矩阵 T 中各元素的不同取值，可以实现中各元素的不同取值，可以实现各种不同的二维基本变换。各种不同的二维基本变换。比例变换（缩放变换）比例变换（缩放变换） 变换矩阵：变换矩阵： daT00 设二维平面的一个点坐标为设二维平面的一个点坐标为x y，对其进行矩阵变，对其进行矩阵变换：换

5、：dybxcyaxdcbayxdybxycyaxx变换后该点的坐标为：变换后该点的坐标为：7dyaxdayx00dyyaxx即即比例变换（缩放变换）比例变换（缩放变换）其中，其中，a为为x方向的缩放因子，方向的缩放因子，d为为y方向的缩放因子。方向的缩放因子。 根据根据a、d取值的不同，分为几种情况：取值的不同，分为几种情况： 当当a=d，图形沿，图形沿x方向和方向和y方向等比例缩放方向等比例缩放 当当a=d1，图形沿，图形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大ABC例：设例：设ABC对应的矩阵为对应的矩阵为122100CBA设设2002TCBACBA2442002002122100，对，对AB

6、C进行变换：进行变换：ABC8byaxdayx00dyyaxx即即比例变换（缩放变换）比例变换（缩放变换） 当当a=d，图形沿，图形沿x方向和方向和y方向等比例缩放方向等比例缩放 当当a=d1，图形沿，图形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 当当0a=d1，图形沿，图形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 当当0a=d0，沿，沿x方向错切（移动）；方向错切（移动）； cy0，沿，沿y方向错切（移动）；方向错切（移动）； bx0，沿，沿y方向错切（移动）；方向错切（移动）； b=0即即bx=0，不错切（恒等变换）。，不错切（恒等变换）。22错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）错切变换（可以理

7、解为沿某个方向的移动） 包括两种：沿包括两种：沿x方向错切，沿方向错切，沿y方向的错切。方向的错切。 沿沿y方向错切方向错切例：设矩形例：设矩形ABCD对应的矩阵为对应的矩阵为11110101DCBA设设T中的中的b2，对矩形，对矩形ABCD进行变换：进行变换：DCBADCBA31112121102111110101DABC,101bT变换矩阵变换矩阵,bxyxbyx101bxyyxx即即ABCD23DABCABCD错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）错切变换（可以理解为沿某个方向的移动） 包括两种：沿包括两种：沿x方向错切，沿方向错切，沿y方向的错切。方向的错切。 沿沿y方向错切方向错切变

8、换特点：变换特点： 变换后点的变换后点的x坐标不变，坐标不变，y坐坐标平移了标平移了bx； 平行于平行于y轴的直线变换后仍平轴的直线变换后仍平行于行于y轴；轴； 平行于平行于x轴的直线变换后，轴的直线变换后，x=0的点不动的点不动(不动点不动点)，x0的点沿的点沿y方向平移了方向平移了bx，形成与，形成与x轴夹角为轴夹角为的直线，且的直线，且 tgbx / xb。,101bT变换矩阵变换矩阵,bxyxbyx101bxyyxx即即bxx24旋转旋转变换变换 二维图形的旋转，一般是指图形绕二维图形的旋转，一般是指图形绕坐标原点坐标原点的旋转。的旋转。并规定：逆时针方向旋转时角度并规定：逆时针方向旋

9、转时角度取正值；取正值； 顺时针方向旋转时角度顺时针方向旋转时角度取负值。取负值。cossinsincosT变变换换矩矩阵阵cossinsincoscossinsincosyxyxyxcossinsincosyxyyxx注意：注意：绕绕非原点非原点的任意一点的旋转变换属于组合变换。的任意一点的旋转变换属于组合变换。25旋转旋转变换变换 二维图形的旋转，一般是指图形绕二维图形的旋转，一般是指图形绕坐标原点坐标原点的旋转。的旋转。并规定：逆时针方向旋转时角度并规定：逆时针方向旋转时角度取正值；取正值； 顺时针方向旋转时角度顺时针方向旋转时角度取负值。取负值。设设=30866050508660303

10、03030.cossinsincosTcossinsincosT变变换换矩矩阵阵例：设矩形例：设矩形ABCD对应的矩阵为对应的矩阵为5105120200.DCBAABCDDABC旋转变换后的矩阵为旋转变换后的矩阵为DCBA.299175029929820173210026 对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种基本变换进行小结：种基本变换进行小结： 变换矩阵的一般形式为变换矩阵的一般形式为dcbaTdaT00 比例变换比例变换v 当当a=d，图形等比例缩放，图形等比例缩放 对称变换对称变换v 对坐标轴的对称变换对坐标轴的对称变换v 对直线

11、的对称变换对直线的对称变换v对坐标原点的对称变换对坐标原点的对称变换v 当当ad，图形畸变，图形畸变1001Tx:轴轴1001Ty:轴轴0110Txy:0110Txy:1001T27 对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种基本变换进行小结：种基本变换进行小结： 变换矩阵的一般形式为变换矩阵的一般形式为dcbaT 错切变换错切变换v 沿沿x方向错切方向错切 旋转变换旋转变换101cT101bTcossinsincosTv 沿沿y方向错切方向错切28 （五）齐次坐标表示法和平移变换（五）齐次坐标表示法和平移变换 1. 齐次坐标表示法齐次坐标表

12、示法 在变换矩阵在变换矩阵 的条件下，讨论了的条件下，讨论了平面图形的比例、平面图形的比例、对称和旋转变换对称和旋转变换，为何没有，为何没有讨论图形的讨论图形的平移变换平移变换呢？原因呢？原因是是T T 不具备对图形进行平移变换的功能。不具备对图形进行平移变换的功能。 欲想实现平面图形的平移，那么图形上任意一点的坐欲想实现平面图形的平移，那么图形上任意一点的坐标，平移前后的必须满足：标，平移前后的必须满足：22Tmyylxx29从矩阵的乘法可知，要想得到从矩阵的乘法可知，要想得到 myylxx那么，平移变换应具有如下形式：那么，平移变换应具有如下形式：令：令： ， ，则有，则有1, 0bc1

13、damldcbayxmdybxlcyax为了得到为了得到myylxx30mylxmlyx10011 由上可知，把向量由上可知，把向量x y 改写为改写为x y 1，就可进行平移，就可进行平移变换了。变换了。 在此将在此将 x y 1 称为平面坐标点称为平面坐标点x y的齐次坐标表示法。的齐次坐标表示法。一般情况下：一般情况下：用用n+1维向量表示维向量表示n维向量，第维向量，第n+1个分量取个分量取为常数（齐次项）的表示方法为齐次坐标表示法。为常数（齐次项）的表示方法为齐次坐标表示法。 标准化齐次坐标表示法：标准化齐次坐标表示法：若齐次项为若齐次项为1，则为标准化齐，则为标准化齐次坐标表示法。

14、次坐标表示法。31 变换矩阵 ，其中其中l、m为平移参数为平移参数。mlT1001 2. 2.平移变换平移变换 对任意一点对任意一点x y 1，则，则x y 1 =x+l y+m （注意：形式上与（注意：形式上与x y 1并不统一）。并不统一）。 一般将变换矩阵扩充为一般将变换矩阵扩充为T33，使其具备更多的功能，使其具备更多的功能，它的一般形式为：它的一般形式为：ml100132smlqdcpbaT33(比例、对称、错切和旋转变换比例、对称、错切和旋转变换)(透视变换透视变换)(全比例变全比例变换换)(平移变换平移变换)相应的平移矩阵：相应的平移矩阵： 101000133mlT 110100

15、01 1mylxmlyx， 引入引入 后，不仅增加了功能，而且使变换前后的坐标后，不仅增加了功能，而且使变换前后的坐标形式统一。形式统一。33T33 如果坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示，应将其化如果坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示，应将其化为标为标准齐次坐标表示。方法是所有项都除以齐次项准齐次坐标表示。方法是所有项都除以齐次项。如：。如： 100010001 1sysxsyxsyx由此可知，当： sss11(全比例缩小全比例缩小)；(全比例放大全比例放大)；(缩至原点缩至原点)。34二、二维组合变换二、二维组合变换 在图形变换中，往往需要一些比基本变换更复杂的变在图形变换中，往往需要一些

16、比基本变换更复杂的变换。我们称换。我们称由多个二维基本变换组成的复杂变换为二维组由多个二维基本变换组成的复杂变换为二维组合变换合变换（二维基本变换的级联）。（二维基本变换的级联）。 已经证明：已经证明：任何二维组合变换均可分解为多个基本变任何二维组合变换均可分解为多个基本变换的乘积换的乘积。 二维组合变换矩阵二维组合变换矩阵TT1T2Tm（Ti 是基本变是基本变换矩阵，具不可交换性）。由此可知，进行二维组合变换换矩阵，具不可交换性）。由此可知，进行二维组合变换的关键问题是求的关键问题是求T（m个基本变换矩阵）。个基本变换矩阵）。 下面通过两个例子介绍组合变换：下面通过两个例子介绍组合变换： 绕

17、坐标原点以外的任意一点绕坐标原点以外的任意一点P(x0 y0)旋转旋转角的旋转角的旋转变换变换35 绕坐标原点以外的任意一点绕坐标原点以外的任意一点P(x0 y0)旋转旋转角的旋转角的旋转变换变换 可分解为：可分解为：P(x0 y0)ABCDABCD 平移变换平移变换 使旋转中心使旋转中心P平移到坐平移到坐标原点。标原点。1010001001yxTP(0 0)ABCDABCD 旋转变换旋转变换 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转角。角。100002cossinsincosT36 绕坐标原点以外的任意一点绕坐标原点以外的任意一点P(x0 y0)旋转旋转角的旋转角的旋转变换变换 可分解为：可分解为：P(

18、x0 y0)ABCD 平移变换平移变换 使旋转中心使旋转中心P回到原来回到原来的位置。的位置。1010001003yxTP(0 0)ABCD 组合变换矩阵组合变换矩阵TT1 T2 T3ABCDP(x0 y0)111000000)cos(sinsin)cos(cossinsincosyxyxT37 2. 对任意直线的对称变换对任意直线的对称变换 设直线方程为：设直线方程为：AxByC0 (A0，B0)，直线在，直线在x轴上的截距为轴上的截距为C / A，在，在y轴上的截距为轴上的截距为C / B , 直线与直线与x轴的夹角轴的夹角= arctg( A / B) 。 可分解为：可分解为： 平移变换

19、平移变换 沿沿x轴方向平移轴方向平移 C / A，使直，使直线通过坐标原点。线通过坐标原点。ABCoxyABCC / BC / A100100011ACT/38 旋转变换旋转变换 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转-角，使直线与角，使直线与x轴重合。轴重合。100002)cos()sin()sin()cos(T 对对x轴进行对称变换轴进行对称变换1000100013T 旋转变换旋转变换 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转+角。角。 100004cossinsincosT39 平移变换平移变换 沿沿x方向平移方向平移C / A，使直线回到原位置。，使直线回到原位置。100100015ACT/ 因此，因此，对

20、任意直线的对称变换矩阵对任意直线的对称变换矩阵TT1 T2 T3 T4 T5，即：，即：12sin) 12(cos02cos2sin02sin2cosACACT40 二维组合变换二维组合变换 1. 绕坐标原点以外的任意一点的旋转变换。绕坐标原点以外的任意一点的旋转变换。 2. 对任意直线的对称变换。对任意直线的对称变换。注意：注意： 1. 二维组合变换可分解为多个二维基本变换，组合变二维组合变换可分解为多个二维基本变换，组合变换矩阵是基本变换矩阵的乘积；换矩阵是基本变换矩阵的乘积； 2. 分解时，使用的基本变换类型及其组合顺序并不唯分解时，使用的基本变换类型及其组合顺序并不唯一。一。41snm

21、lrjihqfedpcbaT443 3 三维图形变换三维图形变换 三维图形变换是二维图形变换在三维空间中的扩展，三维图形变换是二维图形变换在三维空间中的扩展，因此，它和二维图形变换类似。因此，它和二维图形变换类似。 仿照二维图形变换，用仿照二维图形变换，用四维齐次坐标四维齐次坐标x y z 1表示三表示三维空间的点维空间的点x y z，其变换形式为：，其变换形式为：三 维 基 本 变 换三 维 基 本 变 换（比例、对称、（比例、对称、错切、旋转）错切、旋转）透视变换透视变换平移变换平移变换全比例变换全比例变换1144zyxTzyx42一、三维基本变换一、三维基本变换 1. 比例变换比例变换1

22、00000000000044jeaT1144jzeyaxTzyx 当当 a=e=j1，各向等比例缩放，各向等比例缩放 a=e=j=1，恒等变换，恒等变换aej，各向缩放比例不同，产生形变，各向缩放比例不同，产生形变(畸变畸变)0s1，全比例缩小，全比例缩小;s0）。）。 1-2 对对yoz平面投影平面投影xyz1-2 对对yoz平面投影平面投影最终最终图形图形旋转平移前旋转平移前xyz65zzylyx0因此侧视投影的变换矩阵为：因此侧视投影的变换矩阵为：10001000001000010001000010000110000100000100101000010000100000llT侧视侧视yo

23、z投影变换投影变换 绕绕z旋转旋转90o沿沿x平移变换平移变换11zyxTzyx侧视侧视66 ， 俯视投影俯视投影 视点位于物体的正上方，视点位于物体的正上方， 向向xoy坐标平面坐标平面进行投影。进行投影。各点的各点的z坐标变为坐标变为0 ， x、y坐标不变坐标不变。 考虑绘图时的统一性，考虑绘图时的统一性，将图形绘在同一个坐标平面将图形绘在同一个坐标平面上，作如下处理：上，作如下处理：1-3对对xoy平面投影平面投影xyz 将将xoy平面上的俯视图绕平面上的俯视图绕x轴旋转轴旋转-90度。度。 为了与为了与xoz平面上已有的图形保持一定的间距，再平面上已有的图形保持一定的间距，再沿沿z轴平

24、移轴平移-n（n0）。）。67nyzyxx010000000100000110001000010000110000010010000011000000000100001nnT俯视俯视xoy投影变换投影变换 绕绕x旋转旋转-90o沿沿z平移变换平移变换因此俯视投影的变换矩阵为：因此俯视投影的变换矩阵为：11zyxTzyx侧视侧视68投投影影平行投影平行投影透视投影透视投影一点透视一点透视两点透视两点透视三点透视三点透视斜平行投影斜平行投影斜轴侧斜轴侧斜二轴侧斜二轴侧斜等轴侧斜等轴侧正平行投影正平行投影正轴侧投影正轴侧投影正投影正投影(正视、侧视、俯视正视、侧视、俯视)正三轴侧正三轴侧正等轴侧正等

25、轴侧正二轴侧正二轴侧69 2. 轴测投影变换轴测投影变换 使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上称为轴侧投影。称为轴侧投影。 包括包括正轴侧投影正轴侧投影和和斜轴侧投影斜轴侧投影两种方式。两种方式。 正轴测投影变换正轴测投影变换 该变换是使物体该变换是使物体先绕先绕 z 轴旋转轴旋转角角，再绕再绕x轴旋转轴旋转- (0 )角角，最后向最后向xoz平面投影平面投影。因此，其变换矩阵为三个。因此，其变换矩阵为三个基本变换矩阵的乘积：基本变换矩阵的乘积：1000010000000001100000000001100001000000cossins

26、incoscossinsincos正正T绕绕z轴旋转轴旋转绕绕x轴旋转轴旋转向向xoz面投影面投影7010000000000cossincossinsinsincos正正T 例：设例：设 、 ，对单位立方体进行正轴测投影，对单位立方体进行正轴测投影变换。变换。o60o3011111011110110011110101011001000HGFEDCBAS单位正方体各单位正方体各顶点齐次坐标顶点齐次坐标矩阵：矩阵：xyzABCDEFGH711000086600002500866004330050.正正THGFEDCBA.118300366016830036601433005014330050161

27、600866012500866018660001000SxyABCDEFGHzA单位立方体正轴测投影单位立方体正轴测投影xBzCDGEFH72xyABCDEFGHzA单位立方体正轴测投影单位立方体正轴测投影xBzCDGEFH 轴侧投影的图形会产生形变，轴侧投影的图形会产生形变，形变程度用变形系数衡量。形变程度用变形系数衡量。 各轴的各轴的轴向变形系数轴向变形系数如下：如下：222sinsincosAEEAx222sincossinACCAycosABBAz 根据轴向变形系数之间的关系，根据轴向变形系数之间的关系，轴侧投影可分为轴侧投影可分为等轴侧等轴侧、二轴侧二轴侧等等投影方式。投影方式。73

28、222sinsincosx222sincossinycosz 正等轴测投影：正等轴测投影： 由由x=y=z 可求得可求得= 45o、= = 35o16，代入正轴，代入正轴测投影变换矩阵测投影变换矩阵 T正正，得：，得：当当x=y=z 时时1000081600004080070700408007070.正等正等TxyABCDEFGHz单位立方体正等轴测投影单位立方体正等轴测投影xz74222sinsincosx222sincossinycosz 正二轴测投影：正二轴测投影： 由由x=2y=z 可求得可求得= 20o42、= = 19o28，代入正，代入正轴测投影变换矩阵轴测投影变换矩阵T正正 ，

29、得：，得：当当x=2y=z 时时1000000094300000003120035400118009350.正正二二TxyABCDEFGHz单位立方体正二轴测投影单位立方体正二轴测投影xzo75 2. 轴测投影变换轴测投影变换 正轴测投影变换正轴测投影变换 斜轴测投影变换斜轴测投影变换 如何将正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平如何将正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上呢？面上呢？ 该变换是使物体该变换是使物体先沿先沿x含含y错切错切，再沿再沿z含含y错切错切，最后最后向向xoz平面投影平面投影。因此，其变换矩阵也是三个基本变换矩。因此，其变换矩阵也是三个基本变换矩阵的乘积：阵的乘

30、积：错切错切含含沿沿斜斜yxdT100001000010001错切错切含含沿沿yzf10000100010000110000100000001fd面投影面投影向向xoz100001000000000176 在变换矩阵在变换矩阵T斜斜中，当中，当d、f 取不同的值时可得到各种取不同的值时可得到各种不同的斜轴侧透视图：不同的斜轴侧透视图： 同样，斜轴侧投影的图形也会产生形变。各轴的同样，斜轴侧投影的图形也会产生形变。各轴的轴向轴向变形系数变形系数如下：如下：221fdyzx, 根据轴向变形系数之间的关系，斜轴侧投影也可分为根据轴向变形系数之间的关系，斜轴侧投影也可分为斜等轴侧斜等轴侧、斜二轴侧斜二

31、轴侧(常用形式常用形式)等投影方式。等投影方式。（a）d=1，f=1；（；（b）d=1，f=-1；（；（c）d=-1，f=-1；（；（d）d=-1，f=177221fdyzx, 斜二轴测投影：斜二轴测投影： 由由x=2y=z 可求得可求得d = f = = 0.354，代入斜轴测投，代入斜轴测投影变换矩阵影变换矩阵T斜斜 ，得：，得：当当x=2y=z 时时1000010003540035400001.斜斜T78投投影影平行投影平行投影透视投影透视投影一点透视一点透视两点透视两点透视三点透视三点透视斜平行投影斜平行投影斜轴侧斜轴侧斜二轴侧斜二轴侧斜等轴侧斜等轴侧正平行投影正平行投影正轴侧投影正轴

32、侧投影正投影正投影(正视、侧视、俯视正视、侧视、俯视)正三轴侧正三轴侧正等轴侧正等轴侧正二轴侧正二轴侧79 3. 透视投影变换透视投影变换 对于一个空间物体，若用轴测投影，物体的平行边投对于一个空间物体，若用轴测投影，物体的平行边投影后仍然保持平行，这与人的视觉是有差异的。影后仍然保持平行，这与人的视觉是有差异的。 为解决视觉差异，提出透视投影。为解决视觉差异，提出透视投影。 透视投影后物体的平行边不一定保持平行，这些不平透视投影后物体的平行边不一定保持平行，这些不平行的边延长后将汇聚于一点，称之为行的边延长后将汇聚于一点，称之为灭点灭点。 根据灭点的个数，透视投影可分为根据灭点的个数，透视投

33、影可分为一点透视、二点透一点透视、二点透视、三点透视视、三点透视。 一点透视投影变换一点透视投影变换 先对物体作透视变换先对物体作透视变换，然后向然后向xoz平面投影平面投影。变换矩。变换矩阵为：阵为：80透视变换透视变换1000010001000011qT其中：其中：q灭点到投影面垂直距离的倒数。灭点到投影面垂直距离的倒数。 q0，灭点位于物体内侧。，灭点位于物体内侧。为符合人们的视觉习惯，一般取为符合人们的视觉习惯，一般取q0。 一点透视投影变换一点透视投影变换 先对物体作透视变换先对物体作透视变换，然后向然后向xoz平面投影平面投影。变换矩。变换矩阵为：阵为：面投影面投影向向xoz100

34、0010000000001100001000000001q81 另外，在画透视图时，若物体的空间位置不足以反映另外，在画透视图时，若物体的空间位置不足以反映物体的空间形态，常常物体的空间形态，常常先把物体平移到合适的位置先把物体平移到合适的位置，然后然后再进行投影变换再进行投影变换。 这时，一点透视的变换矩阵为：这时，一点透视的变换矩阵为：透视投影内外侧灭点透视投影内外侧灭点灭点灭点( q0)82平移变换平移变换10100001000011nmlT 例：取例：取l = 1，m = -1，n = -2，q = -0.35，对单位立方体，对单位立方体作一点透视投影。作一点透视投影。35120101

35、0035000000011.T1011111111011001101011101100100087654321一点透视投影一点透视投影100001000000001q平移下的一点透视投影平移下的一点透视投影1001000000001mqnlq12 34 56 7 8单位立方体单位立方体一点透视投影图一点透视投影图xzo83 两点透视投影变换两点透视投影变换 先使物体绕先使物体绕z轴旋转轴旋转角角，并考虑物体的平移并考虑物体的平移，最后作最后作一点透视投影一点透视投影。因此，二点透视投影的变换矩阵为：。因此，二点透视投影的变换矩阵为： 角角轴旋转轴旋转绕绕zT1000010000002cossinsincos平移变换平移变换1010000100001nml一点透视投影一点透视投影100001000000001q)(cossinsincos01001000000qmqnlqq一般取一