方程的根与函数的零点()

1、2022年年6月月11日星期六日星期六学习目标学习目标() 观察探究一元二次方程的根与相应的二次观察探究一元二次方程的根与相应的二次函数图像函数图像X X轴交点之间的关系；轴交点之间的关系；( () )给出函数零点的概念；给出函数零点的概念；( () )掌握判断函数零点所在的区间及个数的方法掌握判断函数零点所在的区间及个数的方法 观察下面的一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系：2(1)230 xx; 322xxy 与0322 xx方程 有两个实数根：322xxy 函数 的图像与x轴有两个交点(-1，0)，(3，0).; 3, 121xxacb42判别式 = 0观察探究观察探究 观察下面的

2、一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系：2(2)210 xx; 122xxy 与122xxy 函数 的图像与x轴有一个交点(1，0).0122 xx方程 有两个相等的实数根：. 121 xxacb42判别式 = =0观察探究观察探究 观察下面的一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系：2(3)230 xx. 322xxy 与322xxy 函数 的图像与x轴没有交点.0322 xx方程 没有实数根。acb42判别式 = 0观察探究观察探究:将以上观察结果汇总填表一元二次方程轴交点图像与x0322 xx0122 xx0322 xx322xxy122xxy322xxy方程的根二次函数3, 12

3、1xx121 xx无实数根)0 , 3(),0 , 1()0 , 1 (无交点观察汇总观察汇总一般地，一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系为：240bac y=f(x)图像与图像与x轴没有交点轴没有交点等价于方程等价于方程f(x)=0无实根无实根240bac 240bac y=f(x)图像与图像与x轴有两交点轴有两交点等价于方程等价于方程f(x)=0有两不等根有两不等根y=f(x)图像与图像与x轴有一交点轴有一交点等价于方程等价于方程f(x)=0有等根有等根观察汇总观察汇总:一般的二次方程与相应的二次函数关系表如下acb42000根02cbxax轴交点图像与xcbxaxy221xx 21

4、xx 无实数根)0 ,(),0 ,(21xx)0 ,(1x无交点探究结果探究结果函数有两个函数有两个零点零点函数有一个函数有一个零点零点函数没有函数没有零点零点你能说出一般函数你能说出一般函数y=f(x)的的零点零点的意义吗？的意义吗？ 对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点。)(xfy 0)(xf)(xfy 方程 有实数根( )0f x 函数 的图像与x轴有交点)(xfy 函数 有零点)(xfy 新授知识新授知识结论结论: : 零点零点就是方程就是方程f(x)=0的实数的实数根根.也就是函数图象与也就是函数图象与x轴轴交点的横坐标交点的横坐标.xyo123变号零点变号零点xyo2不变

5、号零点不变号零点观察函数图象观察函数图象,看两函数零点附近两侧的函数值看两函数零点附近两侧的函数值有什么关系有什么关系?零点的分类零点的分类零点附近两侧的零点附近两侧的函数值正负相异函数值正负相异零点附近两侧的零点附近两侧的函数值正负相同函数值正负相同我们主要研究变号零点的问题我们主要研究变号零点的问题 观察图像我们发现，函数观察图像我们发现，函数在区间在区间 -2,1 上有零点。计算上有零点。计算f(-2)与与f(1)的乘积，你能发现这的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？个乘积有什么特点？ 在区间 -2, 1 的端点上， ，即 ，函数 在区间( -2, 1 ) 内有零点 ，它是方程 的一个根

6、。0) 1 (, 0)2(ff322xxy0) 1 ()2(ff0322 xx1x若有变号零点，如何判断零点的位置？若有变号零点，如何判断零点的位置？2( )23f xxx 观察图像我们发现，函数观察图像我们发现，函数在区间在区间 -2,1 上有零点。计算上有零点。计算f(-2)与与f(1)的乘积，你能发现这个乘积的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？有什么特点？在在 2,4 上是否也有上是否也有这种特点呢？这种特点呢？若有零点，如何判断零点的位置？若有零点，如何判断零点的位置？ 在区间在区间 2, 4 的端点上，的端点上， ，即即 ，函数，函数 在区间在区间( 2, 4 ) 内有零点内有零点

7、，它是方程，它是方程 的一个根。的一个根。0)4(, 0)2(ff322xxy0)4()2( ff0322 xx3x2( )23f xxx 如果函数如果函数y=f(x)在一个区间在一个区间a,b上上的图象不间断的图象不间断,并且在它的两个端点处的并且在它的两个端点处的函数值异号函数值异号,即即f(a)f(b)o,则则xyoabxyoab 这个函数在这这个函数在这个区间上个区间上至少有至少有一个一个 变号零点变号零点.yxo abf(a)f(b)0 观察图像我们发现，函数在区间观察图像我们发现，函数在区间 a,b 上有零点。上有零点。你能发现你能发现f(a)与与f(b)的乘积有什么特点？的乘积有

8、什么特点？函数的变号零点的性质函数的变号零点的性质:零点的性质零点的性质 如果函数如果函数y = f(x)在区间在区间 a, b 上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线，并且有不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0 ，那么，函数，那么，函数y = f(x)在区间在区间(a, b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a, b)，使，使得得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程 f(c)=0 的根。的根。bacbacf(a)f(b)0零点存在性定理零点存在性定理练习练习1.函数函数y=f(x)在一个区间在一个区间a,b上的图象不间断上的图象不间断,并且并且f(a)f(b)0,f(b)

9、0,f( )0,则则x0在哪个区间内在哪个区间内( )A. ,b B. a, C. ,a D. b, 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba Bxyoab例例1.求函数f(x)=ln x + 2x - 6的零点个数解：解： 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图像 由图可以看出，f(2)0，f(3)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间( 2,3 )内有零点，由于函数f(x)在定义域( 0,+ )内是增函数，所以它仅有一个零点。考点一、求函数的零点考点一、求函数的零点例例2. 求函数求函数yx32x2x2的零点的零点.解：因式分解解：因式分解:y =x32x2x2=零点为零点为1

10、，1，2.(1)(1)(2)xxx2ln)3(xy练习：求下列函数的零点：练习：求下列函数的零点：（1 1） ; ;（2 2） . .82yxxlog2y33(33)3f xxx函数有零点的区间是( 例 . )0 , 1.(A) 1 , 0.(B)2 , 1.(C)3 , 2.(D解：解：f(-1)=-10， f(0)=-30， f(1)=-50， f(2)=-10， f(3)=150，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间( 2,3 )内有零点内有零点.D考点二判断零点所在区间考点二判断零点所在区间)2 , 1.(A)3 , 2.(B1.( ,1)(3,4)Ce和),

11、3.( Dln0.2xx方程根所在的大致区练习3间是（）2( )lnf xxx函分析：数1( )120,fee 计算：2(3)ln30,3f(2)ln2 10,f (1)20,f 1(4)ln40,2fB实战训练实战训练1.实战训练实战训练2.实战训练实战训练3.函数函数 的零点所在的一个区间是（的零点所在的一个区间是（ ）( )2xf xex) 1, 2.(A)0 , 1.(B.(0,1)C)2 , 1.(DC C实战训练实战训练4.方程方程 的根所在的区间可能是（的根所在的区间可能是（ ）lg0 xx)0 ,.(A) 1 , 1 . 0.(B.(1,2)C)4 , 2.(D,0A B B实战训练实战训练5.考点三考点三 判断函数零点个数判断函数零点个数例例4 4练习练习1 1练习练习2 2求函数求函数 的零点个数的零点个数( )2lg(1)2xf xx法一：法一：(0)1 0210(2)4lg320( )(0,2)flg(1 -20 +xfff xx 在上必定存在零点，又 (x)=2） 在（ ， ）上为增函数，故f(x)有且仅有一个零点。法二：法二：在同一直角坐标系下作出在同一直角坐标系下作出 的草图。的草图。h( )22 , ( )lg(1)xxg xx2( )23f xxxaa已知，求 取何值 有两个零点，有两个零点，3个零点，个零点，4个零点个零点1x24yayay