大学物理教程

1、第一篇第一篇 力学力学 力学力学( (mechanics) )是研究物体是研究物体机械运动机械运动的规律及其应用的的规律及其应用的科学。通常把经典力学分为科学。通常把经典力学分为运动学运动学（kinematics) )、动力学动力学( (dynamics) )和静力学和静力学( (statics) )。运动学：研究物体运动学：研究物体运动的描述运动的描述。动力学：研究物体运动与物体间动力学：研究物体运动与物体间相互作用相互作用的联系及其规律。的联系及其规律。静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题。静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题。一、绝对空间和绝对时间一、绝对空间和绝对时间绝对空间绝对空

2、间：空间是客观的，与物质、物质的运动无关，：空间是客观的，与物质、物质的运动无关， 空间的测量是绝对的。空间的测量是绝对的。绝对时间绝对时间：时间的存在是绝对的，与物质、物质的运动：时间的存在是绝对的，与物质、物质的运动 无关，时间的测量是绝对的。无关，时间的测量是绝对的。二、空间的测量二、空间的测量从宇宙范围的尺度从宇宙范围的尺度 微观粒子尺度微观粒子尺度m1026m1015 三、时间的测量三、时间的测量宇宙的年龄大约是宇宙的年龄大约是微观粒子的最短寿命是微观粒子的最短寿命是s1018s1024 1.1 空间和时间空间和时间经典力学应用的是绝对时空观的概念。经典力学应用的是绝对时空观的概念。

3、米是米是1299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度。秒的时间间隔内光在真空中行程的长度。 秒是铯秒是铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的辐射的9192631770个周期的持续时间。个周期的持续时间。 1.2 质点运动的描述质点运动的描述一、质点（一、质点（mass point）相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础二、参考系二、参考系( (reference frame) )和坐标系和坐标系( (coordinate) )参考系参考系：为了描述物体的运动而选取的标准物体

4、。：为了描述物体的运动而选取的标准物体。 （运动描（运动描 述的相对性）述的相对性） 在运动学中，参考系的选择是任意的；在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然。在动力学中则不然。坐标系坐标系：直角坐标系直角坐标系、自然坐标系、极坐标系等、自然坐标系、极坐标系等忽略了物体大小和形状，只具有物体的质量的几何点。忽略了物体大小和形状，只具有物体的质量的几何点。说明说明说明说明三、质点位置的描述三、质点位置的描述方向方向: :大小：大小：rzryrx cos ,cos , cos在直角坐标系中在直角坐标系中: :kzjyixr 222zyxrr 1、位置矢量位置矢量 ( ( positio

5、n vector ) )2、坐标法坐标法 和和自然坐标法自然坐标法 ),(zyxr定义定义：从参考点：从参考点O 到质点所处位置到质点所处位置 P 所引的矢量所引的矢量 叫做叫做 质点的位置矢量，质点的位置矢量，简称位矢。简称位矢。rr 表示质点到参考点的距离。表示质点到参考点的距离。 的方向表示质点相对参考点的方位的方向表示质点相对参考点的方位.r四、运动方程四、运动方程质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。质点的运动方程。ktzjtyitxr)()()( 在直角坐标系中，在直角坐标系中，),(zyxx 根据轨迹的形状，质点运动分为根据轨迹的

6、形状，质点运动分为直线运动直线运动和和曲线运动曲线运动。质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点的运动轨迹质点的运动轨迹。五、轨迹方程五、轨迹方程( ( trajectory ) )从运动方程中消去从运动方程中消去t，则可得：则可得：或：或：)(),(),(tzztyytxx Ozyx12rrr 在直角坐标系中：在直角坐标系中：从质点初位置到质点末位置所引的矢量从质点初位置到质点末位置所引的矢量 定义为位移。定义为位移。r 位移矢量的大小位移矢量的大小222zyxr 位移矢量的方向位移矢量的方向rz ,ry ,rxcoscoscos一、位移矢量一、位移矢量(

7、 ( displacement ) )1.3 位移位移 速度速度 加速度加速度kzj yixr As r 1r B2r二、速度矢量（二、速度矢量（Velocity）: : 表示表示质点运动快慢及方向质点运动快慢及方向的物理量。的物理量。0 t令令trv 1、平均速度、平均速度定义：平均速度定义：平均速度2、速度（瞬时速度）、速度（瞬时速度）trtrtvdd0lim 方向沿切向，并指向前进方向。方向沿切向，并指向前进方向。在直角坐标系中在直角坐标系中tzvtyvtxvzyxdd,dd,dd 速度是位置矢量随时间的变化率。速度是位置矢量随时间的变化率。ktzjtyitxtrvdddddddd 12

8、rrr 质点在质点在12ttt 时间内的位移是时间内的位移是222zyxvvvvv 大小大小vv ,vv ,vvzyx coscoscos 方向方向三、加速度矢量（三、加速度矢量（acceleration）: : 表示表示速度变化的快慢速度变化的快慢的物理量。的物理量。 , , 21vttvt 定义：平均加速度定义：平均加速度tva 大小：大小：tvaadd 瞬时加速度瞬时加速度12 vvv 方向：方向： t0 时时 的的极限方向极限方向。在曲线运动中，。在曲线运动中， 总是指向曲线的总是指向曲线的凹侧凹侧。v 220trtvtvatddddlim 瞬时加速度是速度随瞬时加速度是速度随时间的变

9、化率。时间的变化率。在直角坐标系中：在直角坐标系中：kajaiaazyx 222zyxaaaaa 加速度的方向加速度的方向加速度的大小加速度的大小aaaaaazyx cos ,cos ,cos222222dddd,dddd,ddddtztvatytvatxtvazzyyxx 其中分量为其中分量为1.4 变变 速速 运运 动动一、运动学中的两类问题一、运动学中的两类问题 1、已知质点的已知质点的运动学方程运动学方程求质点的求质点的速度、加速度速度、加速度等问题常称为运动学等问题常称为运动学第一类问题。第一类问题。 2、由由加速度和初始条件加速度和初始条件求求速度方程和运动方程速度方程和运动方程的

10、的问题称为运动学的问题称为运动学的第二类问题。第二类问题。微分微分积分积分)(trr a , v00 , ,rva)()(trrtvv 二、求解运动学中的两类问题的一般方法二、求解运动学中的两类问题的一般方法 21d0tttavv 21d0tttvrrtrvdd 22ddddtrtva )(trr rav 、1、 已知：质点运动学方程已知：质点运动学方程 。 求：求： 及轨迹方程等。及轨迹方程等。2） 已知：已知： 及初始条件，及初始条件， a等等。、求求：)()(trtv解法：求导解法：求导kzj yi xr ),()()()(zyxxttzztyytxx ）约去（约去（解法：积分解法：积分

11、tavdd tvvtav0dd0解解 由由加速度的定义式加速度的定义式得得xatv23dd 作作变换变换xxvv23dd 有有xxvvd)23(d 根据初始条件作根据初始条件作定积分定积分 3 0 5 d)23(dxxvvv可得可得m/s81.7 v 例题例题1 一质点沿一质点沿 x 轴正向运动，其加速度与位置的关轴正向运动，其加速度与位置的关系为系为 a = 3 + 2x。若在若在 x = 0 处，其速度处，其速度v0 = 5m/s，求质点运，求质点运动到动到 x = 3m 处时所具有的速度处时所具有的速度v。 tvddtxxvdddd v解解 选取选取竖直向上为轴的正方向竖直向上为轴的正方

12、向，坐标原点在抛点处。，坐标原点在抛点处。kvf 设小球上升运动的瞬时速率为设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为，阻力系数为k，则则空气空气阻力阻力为为此时小球的此时小球的加速度加速度为为vmkga 即即)(ddkmgvmktv 作作变换变换整理则得整理则得yvkmgvkmgkmdd)/1( 例题例题2 以初速度以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为由地面竖直向上抛出一个质量为 m 的的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？球能升达的最大高度是多大？tyyvdddd tvddyvvdd Oyg

13、mf根据初始条件，根据初始条件，y = 0 时时v = v0 ，作作定积分定积分 yvvyvkmgvkmgkm 0 dd)/1(0可得可得kmgvkmgvkgmvvkmy/ln)(0220 当小球达到当小球达到最大高度最大高度 H 时，时，v = 0，可得，可得)1ln(0220mgkvkgmvkmH ne法向单位矢量法向单位矢量一、自然坐标系一、自然坐标系1.5 平面曲线运动平面曲线运动te切向单位矢量切向单位矢量时时刻刻的的位位置置t初初始始位位置置O质点运动学方程质点运动学方程)(tss tetsvdd 质点的速度质点的速度方向随位置（时间）变化方向随位置（时间）变化ntee、二、自然坐

14、标系中的加速度二、自然坐标系中的加速度由由加速度的定义加速度的定义 设轨迹曲线上设轨迹曲线上A 点的点的曲率圆半曲率圆半径径为为R，曲率圆圆心为，曲率圆圆心为O。tevetvttdddd tevtvatd)d(dd 设设A点的点的自然坐标自然坐标为为s，曲线曲线上无限靠近上无限靠近A点的点的B点自然坐标为点自然坐标为s + ds，A、B两点对曲率圆两点对曲率圆圆心的圆心的张角张角为为 。 d ddRs ntesRed1d dntteee dd ddntee 两边除以两边除以 dt 得得nnteRvetsRte dd1ddnnttntea+ea=eRv+etv=a2dd因此因此速度大小变化的快慢

15、速度大小变化的快慢速度方向变化的快慢速度方向变化的快慢切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度22222)()dd(Rvtvaa=ant 22ddddts=tv=atRv=an2三、圆周运动三、圆周运动1、圆周运动的圆周运动的角量描述角量描述1）角位置角位置2）角位移角位移轨迹为圆的运动称为圆周运动。轨迹为圆的运动称为圆周运动。)(t 质点运动学方程质点运动学方程 rs瞬时角速度瞬时角速度3）角速度角速度平均角速度平均角速度t=t=t=tddlim0 角速度是角位置随时间的变化率。角速度是角位置随时间的变化率。 的方向规定为与转向成右手螺旋关系。的方向规定为与转向成右手螺旋关系。Ox极轴极轴

16、A r Bs vrxyz220ddddlimt=t=t=t瞬时角加速度瞬时角加速度四、角量与线量的关系四、角量与线量的关系4）角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度t= r=str=tsttlimlim00nnttntea+ea=eRv+etv=a2dd rv nter+etr=a2ddr=at2r=anr=v六、圆周运动的第二类运动学问题六、圆周运动的第二类运动学问题积分积分积分积分tv=atddta+v=vttd00 ts=vdd)(ts=s切向加速度切向加速度 at 和和初始条件初始条件速率方程和自然坐标速率方程和自然坐标表示的运动方程表示的运动方程角加速度角加速度 和初始条件和初始条

17、件角速度方程和以角量角速度方程和以角量表示的运动方程表示的运动方程)(t= t=dd t+=td00 t=dd 解解 （1）由由角速度角速度和和角加速度角加速度的定义，得的定义，得t=ddt=dd把把 t = 2s代入代入运动方程运动方程、角速度角速度和和角加速度方程角加速度方程，可得，可得22233rad/s2421212rad/s273+2636rad2223+2232=t=+t=t+t= 例题例题1 一质点作半径为一质点作半径为 R = 1.0 m的圆周运动，其运动方程的圆周运动，其运动方程为为 = 2t 3+3t，其中其中 以以 rad 计，计，t 以以 s 计。计。试求试求：（：（1

18、）t = 2s时质点的角位置、角速度和角加速度。时质点的角位置、角速度和角加速度。 （2）t = 2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。362+t=t= 12（2）根据根据线量与角量的关系线量与角量的关系，可得，可得2R=aR=ant 加速度加速度)(m/s729242ntnntte+e=ea+ea=a加速度的大小加速度的大小2222n2tm/s72972924 aaa设加速度与法向加速度的夹角为设加速度与法向加速度的夹角为，则则0nt9 . 1,0329. 072924tan aa222729m/s=271.0=24m/s=241.0=1.6 相

19、相 对对 运运 动动 同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。等物理量之间的关系的规律。物体运动的描述物体运动的描述依赖于依赖于观察者所处的观察者所处的参考系参考系1、位矢关系位矢关系R+r=r 质点在质点在相对作匀速直线运相对作匀速直线运动动的两个坐标系中的的两个坐标系中的位矢：位矢：tu=tu=R R二、伽利略变换二、伽利略变换 ( Galilean transformation )2、速度关系速度关系trvdd tRtrdddd 伽利略速度相加定理伽利略速度相加定理:BAv对对BCv对对CAv对对v （S 系相

20、对于系相对于S系）系）u（相对于（相对于S 系）系）v（相对于（相对于S系）系）3、加速度关系加速度关系tvadd tutvdddd 0aa BAa对对BCa对对CAa对对 两个参考系中的位矢（或位移）直接相加，实际上是默两个参考系中的位矢（或位移）直接相加，实际上是默认两个条件：认两个条件：长度的测量是绝对的；时间的测量是绝对的。长度的测量是绝对的；时间的测量是绝对的。4、适用条件适用条件宏观、低速情况宏观、低速情况0aaa 特例：特例：若若 S 系相对系相对 S 系作匀速运动，则有：系作匀速运动，则有：00 aaa 1、某人骑自行车以速率、某人骑自行车以速率v向正西方行驶，遇到由北向南刮的

21、向正西方行驶，遇到由北向南刮的 风（设风速大小也为风（设风速大小也为v），则他感到风是从），则他感到风是从 一、选择题一、选择题 A）东北方向吹来。）东北方向吹来。 B）东南方向吹来。）东南方向吹来。 C）西北方向吹来。）西北方向吹来。 D）西南方向吹来。）西南方向吹来。2、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为：、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为： ，则该质点作：，则该质点作：jbtiatr22A）匀速直线运动。）匀速直线运动。 B）变速直线运动。）变速直线运动。 C）抛物线运动。）抛物线运动。 D）一般曲线运动。）一般曲线运动。 B C 地对人v风对地v风对人v运动学

22、习题运动学习题4、湖中一小船，有人用跨过高处定滑轮的绳子拉船靠岸。、湖中一小船，有人用跨过高处定滑轮的绳子拉船靠岸。 当收绳速率当收绳速率v 0 保持不变时，小船的运动：保持不变时，小船的运动：A）匀加速运动。）匀加速运动。 B）匀减速运动。）匀减速运动。 C）变加速运动。）变加速运动。 D）变减速运动。）变减速运动。 C 3、 一个质点在做匀速率圆周运动时一个质点在做匀速率圆周运动时 A）切向加速度改变，法向加速度也改变）切向加速度改变，法向加速度也改变 B）切向加速度不变，法向加速度改变）切向加速度不变，法向加速度改变 C）切向加速度不变，法向加速度也不变）切向加速度不变，法向加速度也不变

23、 D）切向加速度改变，法向加速度不变）切向加速度改变，法向加速度不变 B 5、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为r 5 + 4t t 2（SI） 则小球运动到最高点的时刻是：则小球运动到最高点的时刻是：A） t4S。 B）t2S。C） t8S。 D）t5S。 B 6、下列说法哪一条正确？、下列说法哪一条正确？A）加速度恒定不变时，物体运动方向也不变。）加速度恒定不变时，物体运动方向也不变。B）平均速率等于平均速度的大小。）平均速率等于平均速度的大小。C）不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成）不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成 ：D）运动物体速率不变

24、时，速度可以变化）运动物体速率不变时，速度可以变化 。 2/ )(21vvv D 7、 某质点的运动方程为某质点的运动方程为 （SI），则该质点作），则该质点作 A）匀加速直线运动，加速度沿）匀加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向轴正方向 B）匀加速直线运动，加速度沿）匀加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向轴负方向 C）变加速直线运动，加速度沿）变加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向轴正方向 D）变加速直线运动，加速度沿）变加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向轴负方向6533 ttx D 8、质点作半径为、质点作半径为 R 的变速圆周运动时的加速度大小为：的变速圆周运动时的加速度大小为： （v 表示任一时刻质点的速率）表示任一时刻质点的速率）2124222)()dd)()dd)dd)RvtvDRvCRvtvBtvA D 9、下列说法中正确的是：、下列说法中正确的是： A ）加速度恒定不变时，物体的运动方向也不变。）加速度恒定不变时，物体的运动方向也不变。 B ）平均速率等于平均速度的大小。）平均速率等于平均速度的大小。 C ）当物体的速度为零时，加速度必定为零。）当物体的速度为零时，加速度必定为零。 D ）瞬时速率即瞬时速度的大小。）瞬时速率即瞬时速度的大小。 D 10、一运动质点在某瞬时位于