中值定理与导数的应用-36泰勒公式

1、 3.6泰勒公式泰勒公式 微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 3.6 泰勒公式泰勒公式 1xex ，ln(1).xx ( )f x0 x一般，如果函数一般，如果函数在在处可导，处可导， 则有则有0000( )()()()()f xf xfxxxo xx . .定理定理 ( (泰勒中值定理泰勒中值定理) ) ( , ),xa b 则对任一则对任一有有的近似等式的近似等式 在微分的应用中已经知道在微分的应用中已经知道 当当|x很小时很小时 有如下有如下0 x( )f x 如果函数如果函数在含有在含有内具有直到内具有直到( , )a b

2、1n 的某个开区间的某个开区间阶导数阶导数 微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 ( )20000()()()()( )(1)2!nnnfxfxxxxxRxn 其中其中 (1)10( )( )()(2)(1)!nnnfRxxxn 说明说明 ( )nRx的表达式的表达式(2)(2)称为称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 ( )f x0 xx n(1)(1)式式称为称为按按的幂展开的的幂展开的阶泰勒公式阶泰勒公式. . 1.1.000( )()()()f xf xfxxx ( ( 介于介于 与与 之间）之间）. . 0 xx微积分微积分

3、第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 2 2当当0n 时时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式：泰勒公式变成拉格朗日中值公式：00( )()( )()f xf xfxx 0 xx( ( 介于介于 与与 之间）之间）. . 3 3如果对于某个固定的如果对于某个固定的, n(1)|( )|,nfxM ( , )a bx当当在区间在区间内变动时内变动时 则有则有(1)1100( )|( )| |()|(1)!(1)!nnnnfMRxxxxxnn 从而从而 00( )lim0()nnxxRxxx . .即即0( )() )nnRxoxx 该余项称为该余项称为皮

4、亚诺型余项皮亚诺型余项 微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 4. 4. n阶泰勒公式也可写成阶泰勒公式也可写成200000( )000()( )()()()()2!()()() )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxo xxn . . 5 5当当00 x 时的泰勒公式称为时的泰勒公式称为麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式：2( )(0)( )(0)(0) 2!(0)( )!nnnff xffxxfxRxn 其中其中 (1)1( )( )(1)!nnnfRxxn ( ( 介于介于 与与 之间）之间）. .

5、 0 xx微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 或或 2()(0)( )(0)(0)2!(0) ()!nnnff xffxxfxo xn 由此得近似计算公式由此得近似计算公式 ( )2(0)(0)( )(0)(0) 2!nnfff xffxxxn 误差估计式变为误差估计式变为 1|( )|(1)!nnMRxxn . .泰勒公式在近似计算中具有非常重要的应用泰勒公式在近似计算中具有非常重要的应用. .微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 例例1 1 求求( )xf xe n

6、的的阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. .解解 由于由于 ( )( )( )( ),nxfxfxfxe 所以所以 ( )(0)(0)(0)(0)1,nffff(1)()(01).nxfxe . .代入公式代入公式, ,得得211(01)2!(1)!nxxnxxeexxnn 由此可知由此可知 21,2!nxxxexn微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 估计误差估计误差 | |11( )| (01)(1)!(1)!xxnnneeRxxxnn . .取取1,x 得无理数得无理数e的近似式为的近似式为1111,2!en 其误差其误差 (1)!

7、neRn 3(1)!n . .当当10n 时，时， 计算得计算得 2.718 282,e 其误差不超过其误差不超过610 .例例2 2 n( )sinf xx 求求的的阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式 解解 ( )cos ,fxx ( )sin ,fxx ( )cos ,fxx (4)( )sin ,fxx ( )( )sin,2nnfxx 微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 由此得由此得 (4)(0)1,(0)0,(0)1,(0)0,ffff . .sin x0,1,0, 1, 的各阶导数依序循环地取四个数的各阶导数依序循环地取四个

8、数令令2,nm 则则 352112sin( 1)( ),3!5!(21)!mmmxxxxxRxm 其中其中 212sin(21)2( )(21)!mmxmRxxm (01) . .微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 当当1,2,3m 时时 分别有近似公式分别有近似公式 sin,xx 31sin,3!xxx3511sin3!5!xxxx . .35| |,3!5!xx7|7!x这时误差分别不超过这时误差分别不超过和和. .微积分微积分 第第3 3章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3.63.6泰勒公式泰勒公式 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式352122sin( 1)()3!5!(21)!nnnxxxxxo