《计算物理(本科)》[第5章]

1、第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系第五章第五章 快速傅立叶变换快速傅立叶变换(FFT)傅立叶变换的作用：傅立叶变换的作用：在科学研究中，被研究的对象在科学研究中，被研究的对象往往只在时间域或空间域被描述。傅立叶变换可以往往只在时间域或空间域被描述。傅立叶变换可以完成两者间转换，将物理实验中实时采集的数据转完成两者间转换，将物理实验中实时采集的数据转换为不同频率的正弦波，进而分析研究。换为不同频率的正弦波，进而分析研究。傅立叶变换的应用：傅立叶变换的应用：它在许多领域中都有广泛的它在许多领域中都有广泛的应用，是常用的数据分析技术。例如，在应用，是常用的数据分析技术。例

2、如，在能谱的能谱的测量中，实测数据包含了真实的测量中，实测数据包含了真实的能谱和测量系统能谱和测量系统传递数据，其结果使能谱峰位展宽，谱仪分辩率传递数据，其结果使能谱峰位展宽，谱仪分辩率降低。若知道系统的传递函数，则用傅立叶变换，降低。若知道系统的传递函数，则用傅立叶变换，就能把真实的能谱从实测的能谱中分离出来。就能把真实的能谱从实测的能谱中分离出来。第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系5.1 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）一、一、离散傅立叶变换离散傅立叶变换在有限多个等距、离散数据的基础上的傅立叶变在有限多个等距、离散数据的基础上的傅立叶变换换称为离散傅立

3、叶变换。称为离散傅立叶变换。设已知函数设已知函数f(x)在区间在区间0 x2上上N个等分点个等分点 2 l/N，(l=0,1,2,N-1)处的值已知处的值已知fl 。实际上，。实际上，N分分点的值点的值fl常常是采样的数据。常常是采样的数据。设采样周期设采样周期T=2/N，采样值则为采样值则为fl =f(xl )= f(lT ) ，(l=0,1,2,N-1)第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系采用周期采用周期2的函数的函数eikx (i为虚数单位为虚数单位,k=0,1,N-1 )的的线性组合线性组合ikxNkkeF10ikxNkkeFNxf101)(作作f(x)在区间

4、在区间0 x fl=4 3 2 1 0 1 2 3; Fk=fft(fl)运行结果：运行结果：Fk = 16.0000 6.8284 0 1.1716 0 1.1716 0 6.8284第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系四、四、 MATLAB实现快速傅立叶变换（实例三）实现快速傅立叶变换（实例三）【例】研究连续信号【例】研究连续信号 f(t)=2e-3t (t=0) 傅立叶变换。傅立叶变换。解：解：1、解析解、解析解： 题中连续信号的傅立叶变换解析形式为题中连续信号的傅立叶变换解析形式为 F()=2/(3+j) 其中其中j为虚数单位；为虚数单位； 为角频率。为角频率

5、。 2、快速傅立叶变换、快速傅立叶变换 知道了解析结果，再用知道了解析结果，再用FFT计算虽没有多大的实用计算虽没有多大的实用价值，但以此例子用人为模拟离散采样进行价值，但以此例子用人为模拟离散采样进行FFT计算计算结果，然后与解析结果进行比较来加深对结果，然后与解析结果进行比较来加深对FTT的理解的理解很有意义。很有意义。第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系MATLAB实现：程序文件名实现：程序文件名jswlx_5_3_1.m%模拟采样模拟采样%N=128;%取取2的幂次方个点的幂次方个点t=linspace(0,3,N);%t在在0,3间取间取N个点个点f=2*e

6、xp(-3*t);%人为模拟人为模拟N个采样点个采样点Fk=fft(f);%FFT变换变换Ts=t(2)-t(1);%计算计算t的间隔的间隔Fwfft=Fk(1:N/2+1)*Ts;%仅从仅从Fk中取正中取正频率分量频率分量,并乘采样间隔计算并乘采样间隔计算F(w)%解析式解析式%Ws=2*pi/Ts;%时间时间t等差值作周期等差值作周期W=Ws*(0:N/2)/N;%建立频率轴建立频率轴,始于始于0,终于终于Nyquist频率频率ws/2Fw=2./(3+j*W);%解析结果解析结果%绘图绘图%plot(W,abs(Fwfft),:b);%abs()复数模复数模hold onplot(W,a

7、bs(Fw),-r);%解析图解析图xlabel(频率频率(rad/s);ylabel(|F(w)|);虚线为模拟采样虚线为模拟采样FFT曲曲线；实线为傅立叶变换线；实线为傅立叶变换解析函数曲线。两个结解析函数曲线。两个结果基本一致。果基本一致。第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系五、快速傅立叶分析在光谱分析中的应用五、快速傅立叶分析在光谱分析中的应用目前在新型光谱仪中都采用了新的光谱技术，其目前在新型光谱仪中都采用了新的光谱技术，其中就有中就有FFT处理光谱测量数据技术。它将干涉衍处理光谱测量数据技术。它将干涉衍射图象经过射图象经过FFT处理得到频域中的光谱。处理得

8、到频域中的光谱。下面简单介绍这种分析方法的原理和技巧。下面简单介绍这种分析方法的原理和技巧。 2cos2211III 其中其中为光程差。为光程差。（1）单色光干涉）单色光干涉 在同一光源波数为在同一光源波数为的单色光中，若分成两束相同的单色光中，若分成两束相同光强光强I1进行干涉，则相干光强为进行干涉，则相干光强为 第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系（2）连续光谱光干涉）连续光谱光干涉在整个光谱范围内干涉总光强为在整个光谱范围内干涉总光强为00) 2cos()()(dIdII上式第一项为常数；第二项简称为干涉光强上式第一项为常数；第二项简称为干涉光强0) 2cos(

9、)()(dII可见可见I()是是I()的的傅立叶余弦变换傅立叶余弦变换，其，其逆变换逆变换为为0) 2cos()()(dIIdIdIdI) 2cos()(2)(2若光源发出的是连续谱，则在光谱间隔若光源发出的是连续谱，则在光谱间隔(,+d)内内的干涉光强为的干涉光强为第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系说明说明：(1)上面的傅立叶变换，都是在实数范围内进行的。上面的傅立叶变换，都是在实数范围内进行的。(3)但实际应用中，可采用但实际应用中，可采用“一个一个N点复变换计算两点复变换计算两个个N点的实变换点的实变换”算法，这能再节省一半的计算算法，这能再节省一半的计算量。

10、量。 具体算法可参考具体算法可参考计算物理学计算物理学（马文淦，中科（马文淦，中科大出版社）。大出版社）。0 2)()(deIIi0 2)()(deIIi(2)可以把余弦项转换成复数项可以把余弦项转换成复数项 再采用快速傅立叶变换再采用快速傅立叶变换FFT进行运算。进行运算。第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系实验四实验四 实验数据的快速傅里叶变换实验数据的快速傅里叶变换一、实验目的一、实验目的1掌握傅里叶变换；掌握傅里叶变换；2掌握快速傅里叶变换（掌握快速傅里叶变换（FFT）的方法。）的方法。二、实验内容二、实验内容1快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）的编程方法。）的编程方法。2fft()命令格式为命令格式为 fft(x)其中：其中：x为采样数据向量，要求向量维数为为采样数据向量，要求向量维数为2的幂次的幂次方；方； fft()返回傅立叶变换频谱。返回傅立叶变换频谱。第第五五章章快快速速傅傅立立叶叶变变换换合肥工业大学应用物理系三、练习题三、练习题1、简述快速傅立叶变换（、简述快速傅立叶变换（FF