哈工程振动与波习题课

1、Harbin Engineering University孙秋华孙秋华振动与波的教学要求振动与波的教学要求 1. 掌握谐振动的基本特性及描写谐振动的基本物理量以及它们的物理掌握谐振动的基本特性及描写谐振动的基本物理量以及它们的物理意义。熟练掌握利用旋转矢量的方法解决谐振动的问题。意义。熟练掌握利用旋转矢量的方法解决谐振动的问题。 2.理解谐振动中的能量转换过程，了解振动能量与振幅的关系。理解谐振动中的能量转换过程，了解振动能量与振幅的关系。 3.了解阻尼振动，受迫振动及共振动现象。了解阻尼振动，受迫振动及共振动现象。 4.熟练掌握同方向同频率谐振动的合成。了解不同频率同方向振动的熟练掌握同方向

2、同频率谐振动的合成。了解不同频率同方向振动的合成，利用垂直振动的合成求未知信号的频率。合成，利用垂直振动的合成求未知信号的频率。 5.熟练掌握平面简谐波方程及方程中各物理量的意义。掌握波动中能熟练掌握平面简谐波方程及方程中各物理量的意义。掌握波动中能量的传播和变化，会导出平均能流密度的公式，比较波动能量和振动量的传播和变化，会导出平均能流密度的公式，比较波动能量和振动能量之间的异同。能量之间的异同。 6.熟练掌握干涉现象及相干波的条件。掌握形成驻波的条件及驻波的熟练掌握干涉现象及相干波的条件。掌握形成驻波的条件及驻波的波动方程，理解驻波与行波的区别。波动方程，理解驻波与行波的区别。7.掌握掌握

3、多普勒效应。多普勒效应。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华 一、基本概念一、基本概念1 1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值. .2 2、周期：、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间振动物体完成一次完整振动所需要的时间. .3 3、频率：、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数单位时间内振动物体完成完整振动的次数. .4 4、相位：、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量表示谐振动状态的最重要的物理量. .5 5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面

4、之间的距离 是一个波长是一个波长. .6 6、波速：单位时间某种一定的振动状态、波速：单位时间某种一定的振动状态( (或振动相位或振动相位) ) 所传播的距离所传播的距离. .7 7、平均能量密度：能量密度的平均值、平均能量密度：能量密度的平均值. .2221 A Harbin Engineering University孙秋华孙秋华8 8、平均能流密度：能流密度的平均值。、平均能流密度：能流密度的平均值。uI 二、基本规律二、基本规律1 1、简谐振动的动力学方程、简谐振动的动力学方程00222222 dtdxdtxd2 2、简谐振动的运动方程、简谐振动的运动方程)cos( tAx)cos(0

5、 t3 3、由初始条件确定、由初始条件确定 AHarbin Engineering University孙秋华孙秋华4 4、简谐振动的能量、简谐振动的能量221kAEEEPk )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg5 5、同方向、同频率简谐振动的合成：、同方向、同频率简谐振动的合成： 22020vxA00tanxvHarbin Engineering University孙秋华孙秋华6、一维简谐波的波动方程：、一维简谐波的波动方程：)(2cos)(cos xTtAuxtAy 减减弱弱加加强强, 2 , 1 , 0) 12(, 2 , 1 ,

6、02)(21212kkkkrr 7 7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。 减减弱弱加加强强2 , 1 , 02)12(2 , 1 , 021kkkkrr Harbin Engineering University孙秋华孙秋华8、驻波、驻波：振幅相同、在同一直线上沿振幅相同、在同一直线上沿相反相反方向传播的两列相干波，方向传播的两列相干波，时叠加而形成的一种特殊的干涉现象时叠加而形成的一种特殊的干涉现象. .x波腹波腹波节波节AAkk2, 1 , 02max02 . 1 , 04) 12(minAkk9、多普勒效应：、多普勒效应：

7、sovvuu ov观察者观察者向向波源运动波源运动 + ，远离远离 .波源波源向向观察者运动观察者运动 ，远离远离 + .svHarbin Engineering University孙秋华孙秋华振振动动与与波波振动振动波波0222 xdtxd )cos( tAx)tan(120022020 xvvxATT 旋转矢量法旋转矢量法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg)2cos()(cos xtAuxtAyTu uIA 2221 21211212, 2 , 1 , 0) 12(, 2 , 1 , 02)(2AAAkkAAAkkrr减减弱弱加加强

8、强 x波腹波腹波节波节AAkk2,1 ,02max02.1 ,04)12(minAkksovvuu Harbin Engineering University孙秋华孙秋华三、基本题型三、基本题型1 1、已知运动方程求相应物理量。、已知运动方程求相应物理量。2 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。3 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。、已知一些条件给出谐振动的运动方程。4 4、已知波动方程求相应物理量。、已知波动方程求相应物理量。5 5、已知一些条件给出波动方程。、已知一些条件给出波动方程。6 6、能解决波的干涉问题。、能解决波的干涉问题

9、。7 7、能解决能量问题。、能解决能量问题。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华二、典型例题二、典型例题1、一木板在水平面上作简谐振动、一木板在水平面上作简谐振动,振幅是振幅是12cm,在距平衡位在距平衡位 置置6cm处速度是处速度是24cm/s。如果一小物块置于振动木板上。如果一小物块置于振动木板上, 由于静磨擦力的作用由于静磨擦力的作用,小物块和木板一起运动小物块和木板一起运动(振动频率振动频率 不变不变),当木板运动到最大位移处时当木板运动到最大位移处时,物块正好开始在木板物块正好开始在木板 上滑动上滑动,问物块与木板之间的静摩擦系数问物块与木板之间的静

10、摩擦系数 为多少为多少? 1、已知简谐振动，求出物理量、已知简谐振动，求出物理量Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：)tcos(Ax )tsin(Av 有：在scmvcmx/24,634解以上二式得在最大位移处有MtAa,cos22Aa Harbin Engineering University孙秋华孙秋华:,2取上滑动在开始，则稍稍大于若MmmgmA2mAmg 0653. 02gAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华2、一倔强系数为、一倔强系数为k的轻弹簧，其上端与一质量为的轻弹簧，其上端与一质量为m的平板的平板A相

11、连，且板静止。今有一质量也为相连，且板静止。今有一质量也为m的物体自距的物体自距A为为h高高处自由落下，与处自由落下，与A发生完全非弹性碰撞。试证明碰撞后系发生完全非弹性碰撞。试证明碰撞后系统作简谐振动并给出该振动的振动方程。统作简谐振动并给出该振动的振动方程。hkAm2、会证明简谐振动，能求出谐振动的周期并给出振动方程、会证明简谐振动，能求出谐振动的周期并给出振动方程Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：物理过程物理过程m作加速直线运动作加速直线运动m与与A作完全非弹性碰撞作完全非弹性碰撞2m作作简谐振动简谐振动（1）机械能守恒）机械能守恒ghv2（2

12、）动量守恒）动量守恒ghvV2212（3）证明：）证明：确定坐标及坐标原点确定坐标及坐标原点Harbin Engineering University孙秋华孙秋华kA2mxo22022dtxdm)xx(kmg其中：其中：02xkmg222dtxdmkx 0222xdtxdmk2Harbin Engineering University孙秋华孙秋华kA2mxo22, 000ghvkmgxt利用初始条件：利用初始条件：mgkhtgmgkhkmgA1,1)mgkhtgtmkcos(mgkhkmgx121Harbin Engineering University孙秋华孙秋华3、两个完全相同的轮相向高速

13、旋转，轴在同一平面上，、两个完全相同的轮相向高速旋转，轴在同一平面上， 间距间距d=10cm，板与轮间的摩擦系数，板与轮间的摩擦系数 =0.25， （1）求证：此振动为简谐振动；）求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期。）求出该振动的振动周期。 dHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：F=fA-fB= NA- NB= - 2 Mgx/d=MasgdT9 . 0220222xdgdtxdxfAyBAONANBfBMg力矩平衡力矩平衡 NAd=Mg(d/2-x) NBd=Mg(d/2+x)Harbin Engineering Universit

14、y孙秋华孙秋华4、一匀质细圆环的半径为、一匀质细圆环的半径为R，挂在墙上的钉子上，证明该挂在墙上的钉子上，证明该物体的摆动为简谐振动的条件，并给出摆动的周期。物体的摆动为简谐振动的条件，并给出摆动的周期。gRTsin22Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业23. 如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为 m的物体，绳在轮上的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的倔强系数为不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为，滑轮

15、的半径为R，转动惯量，转动惯量J。（。（1）证明物体作简谐）证明物体作简谐振动；（振动；（2）求物体振动周期；（）求物体振动周期；（3）设）设t=0时，弹簧无时，弹簧无伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。kJmHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业24. 一物体作简谐振动一物体作简谐振动,其速度最大值其速度最大值vm=3cm/s,其振幅其振幅A=2cm.若若t=0时时,物体位于平衡位置且向物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动。轴的负方向运动。求：（求：（1）振动周期）振动周期;（2）加速度的最大值）加速度的最大值;

16、（3）振动方程）振动方程的表达式。的表达式。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业33. 劲度系数分别为劲度系数分别为K1和和K2的两根轻弹簧和质量为的物的两根轻弹簧和质量为的物体相连，如图所示，试写出物体的动力学方程并求该振动体相连，如图所示，试写出物体的动力学方程并求该振动系统的周期。系统的周期。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华5、1. 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：x1 = 0.03cos ( 4 t + /3 ) (SI) 与与 x2 = 0.05cos (

17、4 t2 /3 ) (SI)求合成振动的振动方程为求合成振动的振动方程为.能解决谐振动的合成问题。能解决谐振动的合成问题。)tcos(.x324020mHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业26. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1=0.04cos2(t+1/8) (SI) x2=0.03cos2(t+1/4) (SI)求：合振动方程。求：合振动方程。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华4 4、已知波动方程求相应物理量。、已知波动方程求相应物理量。6、一横波沿绳子传播，其波的表

18、达式为、一横波沿绳子传播，其波的表达式为 (SI)(1) 求此波的振幅、波速、频率和波长求此波的振幅、波速、频率和波长 (2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度 (3) 求求x1 = 0.2 m处和处和x2 = 0.7 m处二质点振动的相位差处二质点振动的相位差 )2100cos(05. 0 xty(1)A = 0.05 m， = 50 Hz， = 1.0 m u = 50 m/s (2) 15.7m /s 4.93 103m/s2 (3)Harbin Engineering University孙秋华孙秋华5 5、已知一些条件给出波动方

19、程。、已知一些条件给出波动方程。作业作业27. 已知一沿已知一沿x 轴负方向传播的平面余弦波，在轴负方向传播的平面余弦波，在t=1/3s时的波时的波形如图，且周期形如图，且周期T=2s。（1）写出）写出O点的振动方程；（点的振动方程；（2）写出该波的波动方程；（）写出该波的波动方程；（3）写出写出Q点的振动方程；（点的振动方程；（4）Q点离点离O点的距离多大？点的距离多大？xy (cm)1020(cm)PQOuHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业28. 一振幅为一振幅为10 cm，波长为，波长为200 cm的一维余弦波。的一维余弦波。 沿沿x 轴正方向

20、传播，波速为轴正方向传播，波速为100 cm/s，在，在t = 0时原点处质点开始时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动。从平衡位置沿正位移方向运动。 求：（求：（1）原点处质点的振）原点处质点的振动方程；（动方程；（2）在）在x = 150 cm处质点的振动方程。处质点的振动方程。作业作业34 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿着一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0 cm，振动频率为，振动频率为25Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm，当，当t = 0时，时，在在x

21、= 0处质元的位移为零并向处质元的位移为零并向x 轴正向运动。试写出该波的轴正向运动。试写出该波的波动方程。波动方程。 Harbin Engineering University孙秋华孙秋华6 6、能解决波的干涉问题。、能解决波的干涉问题。7、如图所示，两相干波源、如图所示，两相干波源S1和和S2的距离为的距离为d =30m，S1和和S2都都在在x 坐标轴上，坐标轴上，S1位于坐标原点位于坐标原点O,设由设由S1和和S2分别发出的两分别发出的两列波沿列波沿x轴传播时，若两波强度相等，轴传播时，若两波强度相等，x1 = 9m和和x2 = 12m 处处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点，求的两点是

22、相邻的两个因干涉而静止的点，求:两波的波长。两波的波长。dOxS1S2Harbin Engineering University孙秋华孙秋华2 , 1) 12()(212kkrr由题中已知条件由题中已知条件:xrxdr122 , 1) 12()2(2kkxdmxx62)(412Harbin Engineering University孙秋华孙秋华8、 如图所示，原点如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波是波源，振动方向垂直于纸面，波长是长是，AB为波的反射平面，反射时无半波损失。为波的反射平面，反射时无半波损失。O点位点位于于A点的正上方，点的正上方，AO = h，OX轴平行于轴平行于

23、AB，求，求OX轴上干轴上干涉加强点的坐标（限于涉加强点的坐标（限于x 0)hOAxBHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：沿解：沿Ox轴传播的波与从轴传播的波与从AB面上面上P点反射来的波在坐标点反射来的波在坐标x处处 相遇，两波的波程差为：相遇，两波的波程差为：2 , 1)2(222kkxhxhkkkhx22 , 124222（当（当x=0时由时由4h2-k22=0可得可得k=2h/.)xhOABPPHarbin Engineering University孙秋华孙秋华9、振幅为、振幅为A，频率为，频率为 ，波长为，波长为 的一简谐波沿弦线传播，的一简谐

24、波沿弦线传播，在自由端在自由端A点反射（如图），假设反射后的波不衰减，已点反射（如图），假设反射后的波不衰减，已知：知：OA = 7 /8，OB = /2，在在t = 0时，时，x = 0处媒质质元的处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动。求合振动经平衡位置向负方向运动。求B点处入射波和反射点处入射波和反射波的合成振动方程。波的合成振动方程。OyxBAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：设入射波的表达式为解：设入射波的表达式为: :)2cos(1xtAy设设OA= =l，则反射波的表达式为则反射波的表达式为: :lxltcosAy2222驻波的表达式为驻

25、波的表达式为: : 21yyyOyxBAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华)ltcos()lxcos(Ay222240000得和处，有时，在tyyxttsinAy2其中， , B点点(x=/2)的振动方程为的振动方程为:87 lOAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华10、在一根线密度、在一根线密度 =10-3kg/m和张力和张力F=10N的弦线上，有一的弦线上，有一列沿轴列沿轴x正方向传播简谐波，其频率正方向传播简谐波，其频率 =50Hz，振幅，振幅A=0.04m。已知弦上离坐标原点已知弦上离坐标原点x1=0.5m处的质点

26、在处的质点在t=0时刻的位移为时刻的位移为+A/2，且沿轴负方向运动。当传播到，且沿轴负方向运动。当传播到x2=10m处固定端时，处固定端时，被全部反射。试求：被全部反射。试求：1）入射波和反射波的方程；）入射波和反射波的方程；2）入射波和反射波迭加波在取间内波腹和波节处各点的坐）入射波和反射波迭加波在取间内波腹和波节处各点的坐标；标；3）合成波的平均能流。）合成波的平均能流。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华1010101021,kkx,kkx3)0P答案四：答案四：)xt (cos.y651001000401mm1)2)tcos()xcos(.y3410

27、02080m)xt (cos.y6111001000402Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业30. 如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的的媒质中传播，在分界面上的P点相遇点相遇. 频率频率= 100Hz，振，振幅幅A1 = A2 = 1.0010 3m，S1 的位相比的位相比S2的位相超前的位相超前1/2，在媒质在媒质1中波速中波速u1 = 400m/s，在媒质，在媒质2中的波速中的波速u2 = 500m/s，S1P = r1 = 4.00m , S2P = r2 =3.75m , 求：求：P点的合振幅。点的合振幅。S1S2PHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业31、一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正向传播，如图所示。振幅为正向传播，如图所示。振幅为A，频率为频率为 ，传播速度为，传播速度为u。（。（1）t=0时，在原点时，在原点O处的质元由处的质元由平衡位置向平衡位置向y 轴正方向运动，试写出该波的波动方程；（轴正方向运动，试