初等变换与初等矩阵

1、西南财经大学天府学院2.4 初等变换 与初等矩阵西南财经大学天府学院凌波微步是逍遥派的独门轻功步法，以易经八八六十四卦为基础，使用者按特定顺序踏着卦象方位行进，从第一步到最后一步正好行走一个大圈。此步法精妙异常，习者可以用来躲避众多敌人的进攻。 曹子建曹子建洛神赋洛神赋“体迅飞凫，飘忽若神，体迅飞凫，飘忽若神，凌波微步凌波微步，罗袜生尘。动无常则，若危若安。罗袜生尘。动无常则，若危若安。进止难期，若往若还。转眄流精，进止难期，若往若还。转眄流精，光润玉颜。含辞未吐，气若幽兰。光润玉颜。含辞未吐，气若幽兰。华容婀娜，令我忘餐。华容婀娜，令我忘餐。” 西南财经大学天府学院定义定义1下面三种变换称为

2、矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 西南财经大学天府学院定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵

3、的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或西南财经大学天府学院等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性）（AA 1A;B , BA 2则若对称性）（C.A C,BB,A 3则若）传递性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为具有上述三条性质的关系称为等价等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称

4、这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价西南财经大学天府学院例例 用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组：解方程组： , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx（1）线性方程组的线性方程组的系数矩阵系数矩阵：由线性方程组的系：由线性方程组的系数按它们在方程组中的顺序构成的矩阵。数按它们在方程组中的顺序构成的矩阵。线性方程组的线性方程组的增广矩阵增广矩阵：由线性方程组的：由线性方程组的系数和常数按它们在方程组中的顺序构成系数和常数按它们在方程组中的顺序构成的矩阵。的矩阵。西南财经大学天府学院对方程组（对方程组（1）的增

5、广矩阵实施初等行变换：）的增广矩阵实施初等行变换：97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r西南财经大学天府学院 979632113221112412111B234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 西南财经大学天府学院331000620000111041211B 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr243rr 西南财经大学天府学院5 00000310003011040101B 310006200001110412113B4 000003

6、10000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 西南财经大学天府学院对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c西南财经大学天府学院.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数

7、即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元西南财经大学天府学院定义定义3 若矩阵若矩阵A满足：满足：（1）元素全为零的行，都在非零行的下边；）元素全为零的行，都在非零行的下边；（2）所有非零行的第一个非零元素，它们的列标均）所有非零行的第一个非零元素，它们的列标均随行标的递增而增大，则称矩阵随行标的递增而增大，则称矩阵A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，简，简称阶梯形。称阶梯形。定义定义4 若阶梯矩阵若阶梯矩阵A满足：满足：（1）非零行的第一个元素都是）非零行的第一个元素都是”1“；（2）所有非零行的第一个非零元素）所有非

8、零行的第一个非零元素”1“所在的列，所在的列，其余元素全为零，则称这样的阶梯型为其余元素全为零，则称这样的阶梯型为最简阶梯最简阶梯形矩阵形矩阵。西南财经大学天府学院.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形西南财经大学天府学院 000003100030110

9、401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF西南财经大学天府学院.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点：西南财经大学天府学

10、院12341731.2012A 例例1 1： 将将矩矩阵阵化化为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵例例2： 下列矩阵中哪些是阶梯形矩阵？下列矩阵中哪些是阶梯形矩阵？10021190201234501027001 0001000001 2300001000 10 ，西南财经大学天府学院1. 1. 定义：定义：由单位矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得经过一次初等变换得到的矩阵称为到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵.2. 2. 三种初等矩阵三种初等矩阵1 1）对调两行或对调两列）对调两行或对调两列初等对换矩阵初等对换矩阵jirr )(jicc 或或行行第第i行行第第j列列第第i列列第第j 1101111011 E

11、11111111ijP 二、初等矩阵西南财经大学天府学院2 2）以数）以数 乘某行或某列乘某行或某列初等倍法矩阵初等倍法矩阵0 k列列第第i行行第第ikri 1111kkci 或或 11111E( )iD k 西南财经大学天府学院3 3）将某行（列）的）将某行（列）的 倍加到另一行（列）上倍加到另一行（列）上初等初等消法矩阵消法矩阵k行行第第i行行第第j列列第第i列列第第j 1111Ejikrr 1111kijkcc 或或=( )ijT k西南财经大学天府学院问题问题 初等矩阵是否可逆？如果可逆，初等矩阵是否可逆？如果可逆，分别求出初等对换矩阵、初等倍法矩阵、分别求出初等对换矩阵、初等倍法矩阵

12、、初等消法矩阵的逆矩阵。初等消法矩阵的逆矩阵。111()1( )( )( )()ijijiiijijPPD kDkT kTk 西南财经大学天府学院初等矩阵与初等初等矩阵与初等 变换的联系变换的联系西南财经大学天府学院例例: : 0010010010000001 1514131211aaaaa4544434241aaaaa3534333231aaaaa2524232221aaaaa111213141521222324252431323334354142434445aaaaaaaaaaPaaaaaaaaaa 4544434241353433323125242322211514131211aaaaa

13、aaaaaaaaaaaaaaa西南财经大学天府学院说明说明: : 用用 左左乘矩阵乘矩阵A, ,相当于对矩阵相当于对矩阵A施施行一次初等行一次初等行行变换：将变换：将A的第的第 2 2、4 4 两行两行对调；对调；24P尝试尝试: : 用用 右右乘矩阵乘矩阵A, ,是不是相当于对是不是相当于对矩阵矩阵A施行一次初等施行一次初等列列变换：将变换：将A的第的第 2 2、4 4 两列对调两列对调. . 24P西南财经大学天府学院 1000000010001000100000001 1512131411aaaaa4542434441aaaaa3532333431aaaaa2522232421aaaaa

14、111213141521222324252431323334354142434445aaaaaaaaaaPaaaaaaaaaa 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa西南财经大学天府学院 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA三、初等矩阵的应

15、用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵西南财经大学天府学院2323,.ssE E EE REEEmR 11一个mn的矩阵A总可以表示成：A=的形式 其中E为 阶初等矩阵为mn的最简阶梯命题2形矩阵.西南财经大学天府学院2323,. , ,3ssE EEEA E E EE11n阶矩阵A可逆的充分必要是存在有限个初等矩阵，使：=定理11132sEEEAE-1 -11 1E E11132sEEEE-1 -11 1-1 -1E EA A1()()A EE A 初初等等行行变变换换西南财经大学天府学院. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 1036200

16、12520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 西南财经大学天府学院 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r西南财经大学天府学院 . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换西南财经大学天府学院例

17、例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA西南财经大学天府学院 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr 西南财经大学天府学院， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 西南财经大学天府学院.1 CAY即可得即可得 , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如

18、果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换西南财经大学天府学院1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相且变换类型相同同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.2.A初等变换初等变换B. BA六、小结西南财经大学天府学院6. 6. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换7. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初