ch71数项级数的概念与性质

1、1第七章第七章 无穷级数无穷级数7.1 7.1 数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质7.2 7.2 正项级数正项级数7.3 7.3 任意项级数任意项级数7.4 7.4 幂级数幂级数7.5 7.5 函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式1?nnna x 2第七章第七章 无穷级数无穷级数定义定义1 1 设有一个无穷序列12,nu uu用加号把此序列的项依次连接起来的表达式12nuuu 称为无穷级数(简称级数).常缩写为1,nnu 其中第 n 项nu叫做级数的一般项或通项.121nnnuuuu 表达式 无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数值计算及其它领域. 无穷级数是研究函数的工具,本章主

2、要介绍无穷级数的概念、性质、又可用它求得一些函作为一个函数或一个数的表达式, 它既可数的近似公式；收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级数展开式。3由级数 的第 n 项 的结构给出了两大类级数: 1nnu nu(1)若 只是 n 的函数, nu1nnu (2)若 是 x 的函数, 1( )nnux nu中前 n 项的和, 称为级数1nnu 而式 中除去 后其余各项的和称为级数 的余项, 记为 , 即的部分和, 记为 即 nS121nniniSuuuu 1nnu nS1nnu nR12.nnnRuu 就称级数 为常数项级数;就称级数 为函数项级数.47.1 7.1 数项级数的概念与性质

3、数项级数的概念与性质121nnnuuuuS 它们之间的差值它们之间的差值 称为级数的称为级数的余项余项. .nS12nnnnRSSuu nS.nR一一. . 数项级数的概念数项级数的概念 定义定义2 2 若级数 的部分和数列 的极限 存在, 1nnu nSlimnnS1nnu limnnSS 1nnu 1nnu 并把S称为级数 的和, 记为则称级数 收敛;否则就发散; 当 时,称级数 收敛于S,注注1 1 当级数收敛时当级数收敛时, ,前前n n项的和项的和 是级数和是级数和S S 的近似值的近似值, , 用用 作作S S的近似值所产生的误差的近似值所产生的误差, ,就是余项的绝就是余项的绝对

4、值对值51naaaa 故级数发散.nSna limlim,nnnSna 例例1 1 讨论级数的敛散性.例例2 2 判定级数11111(1)1 22 3(1)nn nnn 的敛散性. 若收敛, 则求出其和.解 因111(1,2,)(1)1nunnnnn1111 22 3(1)且且nSnn11111(1)()()2231nn 111n 1limlim(1)11所以所以nnnSn 故级数收敛, 其和为1.解 因则6例例3 3 讨论几何级数(或等比级数)1211nnnaqaaqaqaq 解 当 q 1时, 部分和(1)1naqq (1)当 q 1时,(1)limlim1nnnnaqSq (其中a0,

5、q 称为级数的公比, 为它的一般项)1nnuaq (3)当q =1时,的敛散性. 若收敛, 则求出其和.21nnSaaqaqaq 7()若 q = 1时, 则limlimnnnSna ()若 q =1时, 则级数成为a a+a a+a a+,0nS 当 n 为偶数时,当 n 为奇数时, ,nSa limnnS几何级数, 1211nnnaqaaqaqaq 1aq 故原级数发散. 从而不存在.综上所述有重要结论综上所述有重要结论:当 q 1时, 发散.当 q 1时, 收敛于8二二. . 级数的基本性质级数的基本性质11和和nnnnuv也收敛, 且1()nnnuv 111().nnnnnnnuvuv

6、定理定理1 1 若级数收敛, 则级数111,()的部分和的部分和nnnnnnnuvuv 1122()()()nnnWuvuvuv nnST lim,limnnnnSaTb 1212()()nnuuuvvv 证 设且令且令分别为分别为则则limlim()所所以以nnnnnWSTab 111()故故nnnnnnnuvuv,nnnS T W9注注3 3 此定理反之不一定成立此定理反之不一定成立. .例级数例级数11( 1)n 111( 1)与与nn 注注2 2 两个无穷级数必须收敛才能相加两个无穷级数必须收敛才能相加, ,而不象有限而不象有限项情形项情形, ,逐项相加总是可行的逐项相加总是可行的.

7、.收敛, 但级数发散.1nnu 定理定理2 2 若级数若级数1nncu 11nnnnucu与的部分和与的部分和12nnnTcucucucSlimlimnnnnTcSca 1 即即nncuca 也收敛于也收敛于ca. .收敛于收敛于 a, c是一个常数是一个常数, , 则级数则级数,nnST证证 设设分别为分别为则级数则级数1nncu 收敛于收敛于ca.10一个不为零的数一个不为零的数,所得的级数与原级数具有相同的敛散性所得的级数与原级数具有相同的敛散性.1,nnnnTcSu 由知 若由知 若limnnSlimnnT 11122与与nnnna 定理定理3 3 在级数中增加或去掉有限项在级数中增加

8、或去掉有限项,级数的敛散性不变。级数的敛散性不变。证证 因在级数中增加或去掉有限项因在级数中增加或去掉有限项, , 总可通过在该级数总可通过在该级数前增加或去掉有限项来实现前增加或去掉有限项来实现, , 故只须证在级数前增加或故只须证在级数前增加或去掉有限项而其敛散性不变去掉有限项而其敛散性不变. .设在级数设在级数中去掉中去掉前前m项项, , 则得级数则得级数c0时时, , 必有必有注注4发散, 则不存在不存在, , 从而从而当当不存在不存在. . 这表明这表明: : 级数的每一项同乘级数的每一项同乘以以例: 级数都是收敛的都是收敛的.121 (1)mmm nuuuuu12 (2)mmm n

9、uuu1112mmSuuunm nmTSS 12nmmm nTuuu令级数(1)的部分和为级数(2)的部分和为于是于是若若(1)(1)收敛于收敛于S, , 则则limlim()nm nmmnnTSSSS 同理可证在级数同理可证在级数(1)前增加有限项前增加有限项, 所得级数与级所得级数与级数数(1)有相同的敛散性有相同的敛散性.limnnT 例例 级数级数11241002nn 2124100.nn 故故(2)也收敛也收敛.若若(1)发散发散, 则则不存在不存在, 故故(2)也发散也发散.和级数和级数前者是收敛的前者是收敛的, 后者是发散的后者是发散的.12定理定理4 4 收敛级数加括号后所成的

10、级数仍收敛于原来的和收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和. .1112nvuuu 112212nnnvuuu 1112kkkknnnvuuu*121的部分和是的部分和是kkkknnvSvvvS ,而由知若必有而由知若必有kknkkn *limlim故故kkknknSSs证证 设设121 的部分和是且的部分和是且nnnnuSuuu 收敛于收敛于S则设级数按某一规律加括号所得的新级数为则设级数按某一规律加括号所得的新级数为1且且kkv 则则lim即即kknnSs 13加括号仍为收敛级数加括号仍为收敛级数.注注5 5 此定理表明收敛级数适合结合律此定理表明收敛级数适合结合律. .即即收敛级数收

11、敛级数注注6 6 其逆否命题为其逆否命题为 “若加括号后所成的级数发散若加括号后所成的级数发散, ,则则原级数也发散原级数也发散. .”是收敛的是收敛的.1( 1)naaaaa ()()()0aaaaaa 注注8 8 收敛级数去括号后不一定收敛收敛级数去括号后不一定收敛. .注注7 7 发散级数加括号后级数有可能收敛发散级数加括号后级数有可能收敛, ,即即“加括号后所成的级数收敛加括号后所成的级数收敛, , 原级数不一定收敛原级数不一定收敛. .”例级数例级数是发散级数是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数但将相邻的两项加括号后所得级数14定理定理5 5 ( (收敛的必要条件收敛的必要条

12、件) ) 若级数若级数1nnu lim0nnu 1limlim且且nnnnSsSs 1由由nnnuSS 1limlim()0有有nnnnnuSS lim0(),nnu “若若包包括括不不存存在在情情形形 注注9 9 各项均非负的级数各项均非负的级数, ,无论加括号还是去括号无论加括号还是去括号, ,都不都不影响其敛散性影响其敛散性. .收敛收敛, 则则证证 设设121 的部分和是且的部分和是且nnnnuSuuu 收敛于收敛于S则级数则级数1nnu 发散发散. .注注1010 其逆否命题为其逆否命题为15“收敛级数通项必有收敛级数通项必有lim0nnu 例例4 4 证明调和级数证明调和级数111

13、11123nnn 1lim0.nn 注注1111仅是收敛的必要条件而非充分条件仅是收敛的必要条件而非充分条件. .即即lim0,nnu 11nn 2lim()0nnnSSSS 1lim22nnn 证证 反证法反证法 若若收敛收敛, 设级数的和为设级数的和为S, 则有则有2111lim()lim()122nnnnSSnnn发散发散.而而与前者矛盾与前者矛盾. 故调和级数发散故调和级数发散. 但但但通项极限为零的级数却但通项极限为零的级数却不一定收敛不一定收敛”. .111lim()222nnnn161111limkknnnn 11limkknkn k 11 1limknknkk 1011ln0d

14、xxx 法二法二: : 可以可以用定积分的定义来证明调和级数的发散性用定积分的定义来证明调和级数的发散性. .17在在n,n+1上对上对 应用拉格朗日中值定理得应用拉格朗日中值定理得( )lnf xx 1ln(1)ln(1)nnnn 将前将前n个不等式两边相加得个不等式两边相加得111ln(1)ln1nnnn 1ln3ln2,31ln(1)ln ,1nnn 111111lnlimln23nnnSnnnn 111 1nn 而而1ln2ln1,2法三法三: 也可用拉格朗日中值定理证明也可用拉格朗日中值定理证明.有有18例例5 5 判定级数判定级数1111.; 2.1nnnnnn 11111 123nnn 因因1111111