人教A版高中数学选择性必修第二册全册各章节课时练习题含答案解析（第四章数列、第五章一元函数的导数及其应用）

人教A版选择性必修第二册练习题

第四章数列...................................................................2

1、数列的概念与简单表示法................................................2

2、数列的通项公式与递推公式.............................................4

3、等差数列的概念........................................................7

4、等差数列的性质及应用.................................................14

5、等差数列的前n项和...................................................21

6、等比数列的概念.......................................................28

7、等比数列的性质及应用.................................................35

8、等比数列的前n项和...................................................42

9、等比数列习题课.......................................................49

10、数学归纳法..........................................................59

第五章一元函数的导数及其应用练习题.........................................65

1、变化率问题、导数的概念..............................................65

2、导数的几何意义.......................................................71

3、基本初等函数的导数...................................................78

4、导数的四则运算法则简单复合函数的导数..............................84

5、函数的单调性.........................................................91

6、函数的极值..........................................................100

7、函数的最大（小）值....................................................109

8、利用导数解决与函数有关的问题.......................................118

第四章数列

1、数列的概念与简单表示法

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错

的得0分)

1.下列四个结论：

①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；

234

5n

3-4一5-X'…的通项公式是an=k；

③数列的图象是一群孤立的点；

④数列L—1,L—1,…与数列-1,L—1,1,…是同一数歹U.

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解析】选A.只有③正确.①中，如已知a„+2=an+1+an,&=1,无法写出除首项外的其他

项.②中a.=噜，④中一1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.

2.下列数列的关系是()

(1)1,4,9,16,25(2)25,16,9,4,1(3)9,4,1,16,25

A.都是同一个数列B.都不相同

C.(1),(2)是同一数列D.(2),(3)是同一数列

【解析】选B.三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同.

3n+ln是奇数

、/口:则出,a3等于()

{2n-2,n是偶数，

A.70B.28C.20D.8

_[3n+l,n是奇数，

【解析】选C.因为a”=]曰/FH恻所以④=2X2—2=2,83=3X3+1=10,所以

12rl-2,n是偶数，

32•@3=20.

4.已知数%，|，|，/…，冷，则。.96是该数列的()

A.第22项B.第24项

C.第26项D.第28项

【解析】选B.令=0.96,解得n=24.

5.若以尸者，则见与如+］的大小关系是（）

A«an>Hn+iB.aWan+i

C.an=an+iD.不能确定

【解析】选B.因为数列｛aj的通项公式是&=士=1-七（n6N*）,显然当

n十1n十1n十1

n增大时a”的值也随之增大，故数列｛aj是递增数列，故有a“<a,,+i.

6.（多选题）下列四个命题中，正确的有（）

A.数歹的第k项为1+；

B.已知数列｛aj的通项公式为an=n2—n—50,neN\则一8是该数列的第7项

C.数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为a„=2"-l

D.数列｛a“｝的通项公式为4=缶，nGN*,则数列｛aj是递增数列

【解析】选ABD.对于A,数列｛『J的第k项为1+（,A正确；

B,令n”—n—50=—8,得n=7或n=—6（舍去），B正确；

C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,设该数列为｛bj，则

其通项公式为bn=2"（nGN"）,因此数列式5,9,17,33,…的一个通项公式为a0=b“+l=

错误；、=1

2n+1(neNOCD,an=11-则3n+I-3n=口+]

n+2

]

>0,因此数列｛a,｝是递增数列，D正确,

(n+1)(n+2)

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.设数列E｝的通项公式为a产孤［3y，则四一3是数列的第项.

fn-,______1________________，n+l-g___________\n+l_g_I

【解析】a“-g+g-（而+尸）（gf）-n+1-n一7

y/n,

令qib-3=y/n+1—y/n,所以n=9.

答案：9

8.若数列｛aj的通项公式是a„=3—2",则路=

a3

【解析】因为a0=3-2",

所以a2n=3-22n=3-4'—―.

a33—25

答案：3-4n1

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.已知数列｛③｝中,a,.=5n-3,求为,并判断97是否为数列⑸｝中的项.

【解析】由已知，a5=5X5—3=22,

令5n—3=97,解得n=20,

故97是数列｛aj的第20项.

10.写出数列⑸｝：1,：,,,&,义，…的通项公式，并判断它的增减性.

4।1U1

【解析】由于数列前n项分子分别为1,2,3,4,5,…，因此与项的序号n的关系可记为n,

而分母依次为1,4,7,10,13,…，与项的序号n的关系可记为3n—2.

所以数列的通项公式为a.=彳、（ncN”）.

3n—2

—D

又因为an+1-an=7-—TT7已Q9

3（n+1）—23n—2

-2

=（3n+l）（3n-2）

所以a.+i<a“，所以数列｛4｝为递减数列.

2、数列的通项公式与递推公式

一、选择题（每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错

的得0分）

1.已知am—a”-3=0,则数列｛a.｝是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.不能确定

【解析】选A.因为a„+i—a0-3=0,得a田一&=3>0,所以数列W是递增数列.

2.符合递推关系式a,产*a-（n22）的数列是（）

A.1,2,3,4,B.1,y/2,2,2y[2,•••

C.啦,2,y[2,2,…D.0,啦，2,2yf2,…

【解析】选B.由题意知从第2项开始每一项是前一项的也倍，只有B项符合.

3.数列｛aj中,&=1,对所有的G2,n£N',都有ai•a2•a3....an=n：则as+as等于（）

25256131

A，©B.正C.-D.-

2

【解析】选C.2a3=3、aia2=2,

aia2a3a4a5=5,aia2a3a4=4,

22

nl39525

则a3=^2=wa5=?=T6-

故a3+a5=y1.

16

4.由1,3,5,•••,2n—1,…构成数列⑸｝,数列｛bj满足bi=2,当n22时,bn=ab„-i,

则从的值是（）

A.9B.17C.33D.65

【解析】选C.因为bn=abi,所以b2=abi=a2=3,b3=ab2=a3=5,bi=ab3=a5=9,b5=ab

=39=17,b6=ab5=au=33.

5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）

A.an+i=an+n,nWN*

B.an=an-i4-n,nEN*,n22

C.a”+尸a„+(n+1),n^N\n22

D.an=an-i+(n—1),n《N*,n22

【解析】选B.结合图示易知，ai=l,a2=3=ai+2,a3=6=a2+3,a4=10=a3+4.

故该数列的一个递推公式可以为an=an-i+n,n£N*,n22.

2

6.(多选题)已知数列｛列满足:aWae,an=n+入n,nGN\则实数X可以取的值为()

A.-3B.-2C.1D.2

【解析】选ABCD.anWan+】=n2+入nW(n+1)'+入(n+1)=入2—(2n+1),n£N*=入2—3.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.设数列｛a“｝满足：a1=2,a.,+1=l--,记数列｛aj的前n项之积为TL,贝I」

an

TI2021的值为

【解析】由az=：,a3=-l,a,=2可知，数列｛aj是周期为3的周期数列，从而ILM=（一

1)673X2X1=-1.

答案：一1

8.数列LJ满足『1,-（n22且华巴则数列匕｝的通项公式为

-

an=(an-an-i)+(an-ian-2)+(an-2-an-3)+…

+(a2-ai)+ai,

11.11..11

an=-----+-----------H-----77+

n—1nn—2n—1F1T2

=2--,当n=l时满足.

n

答案：2--

n

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.在数列⑸｝中，31=1,3n+i=~.dn.

n+1

⑴写出数列的前5项；

(2)猜想数列的一个通项公式.

【解析】(l)ai=La2=1ai=1,

2211

a3=3a2=3X2=3，

3311441

a4=a3=X=Ja5=X

44345a=G45

(2)由(1)知须=’(nGN*).

n

*,从9a”为偶数，

2

10.已知数列｛a#满足：ai=m(m为正整数)，an+i=5若a6=l,求m所有

、3士+1,必为奇数.

可能的取值.

【解析】若@5为奇数，则3a5+1=1,泱=0(舍去).

若as为偶数，则垓=1,a.5=2.

若®为奇数，则3a4+1=2,（舍去）.

若a1为偶数，则当=2,ai=4.

若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=l,则a2=2,ai=4.

若&3为偶数,则号=4,a3=8,

7

若出为奇数,则3a2+1=8,a2=~(舍去).

若a?为偶数，则£=8,a?=16.

若小为奇数，则3为+1=16,a)=5.

若ai为偶数，则费=16,a1=32.

故m所有可能的取值为4,5.32.

3、等差数列的概念

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错

的得0分)

1.已知｛aj为等差数列，a2+a8=12,则须等于()

A.4B.5C.6D.7

【解析】选C.a2+a)=ai+d+ai+7d=2ai+8d=12,所以ai+4d=6,所以a$=6.

2.等差数列｛a„｝中，已知as=7,as=13,则a?=()

A.16B.17C.18D.19

【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5=a3+ai,

所以a?=2a5—a3=19.

3.若等差数列的前3项依次是x—1,x+1,2x+3,则其通项公式为()

A.an=2n—5(n^N*)B.an=2n—3(nEN*)

C.an=2n—1(n^N*)D.an=2n+l(n^N*)

【解析】选B.因为x—l,x+1,2x+3是等差数列的前3项，所以2(x+l)=x-l+2x+3,

解得x=0.

所以ai=x-1=-1,a2=l,小=3,

所以d=2,所以c=—1+2(n—1)=2n—3(n^N*).

4.在数列｛aj中，ai=l,an+i—an=2,neN+,则&5的值为()

A.49B.50C.89D.99

【解析】选A.因为&=L协+1—==2,n£N*,所以数列｛aj是等差数列,则el+2X(25

-1)=49.

5.已知数列｛a.｝是等差数列，数列｛b0｝分别满足下列各式，其中数列｛b“｝必为等差数列

的是()

A.bn=|an|B.bn=a：

C.bn=­D.b=­7；

3n2n

【解析】选D.设数列｛a』的公差为d,

选项A,B,C,都不满足b"一b“T=同一常数，所以三个选项都是错误的；

g工'生T否nUUHn.^n-13-n-l-3d

n=

对于选项D,bn-b„-i=——+~^~=---2~2'

所以数列｛bn｝必为等差数列.

6.(多选题)若数列｛aj满足a1=l,3an+i=3an+l,n£N*,则数列瓜｝是()

A.公差为1的等差数列

B.公差为J的等差数列

C.通项公式为an=日+|的等差数列

OO

D.通项公式为a“=£+1的等差数列

O

【解析】选BC.由3a小=3an+l,得3a-一3须=1,即a„+Lan=J.所以数列瓜｝是公差为J

的等差数列.又因为ai=l,得到an=l+(n—1)x1=£+|,故选BC.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.在等差数列｛aj中，若ai=5,d=2,则aio=；若已知ai=3,d=4,an=59,则

n=.

【解析】a0=小+(10—l)d=5+9X2=23.因为an=ai+(n—l)d,所以59=3+4(n—1),解

得n=15.

答案：2315

8.等差数列1,-1,-3,-5,一89的项数为.

【解析】因为ai=l,d=—1—1=—2,

所以an=ai+(n—l)d=-2n+3.

由一2n+3=—89,得n=46.

答案：46

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知等差数列｛aj满足ai+a2=10,al—a3=2.

(1)求首项及公差；

⑵求｛a“｝的通项公式.

【解析】(1)设等差数列W的公差为d.

因为a3=2,所以d=2.

又因为ai+a2=10,

所以2ai+d=10,故a1=4.

(2)由⑴可知an=4+2(n—1)=2n+2(n=L2,•••).

10.已知等差数列｛4｝：3,7,11,15,….

(1)135,4m+19(m£N*)是数列｛既｝中的项吗？试说明理由;

(2)若％,aq(p,q《M)是数列｛&J中的项，则2%+3aq是数列EJ中的项吗？并说明你的理由.

【解析】因为&=3,d=4,

所以an=ai+(n—l)d=4n—1.

(1)令an=4n—1=135,所以n=34,

所以135是数列｛a｝中的第34项.

令an=4n—l=4m+19,贝ijn=m+5^N*.

所以4m+19是｛a.))中的第m+5项.

(2)因为%,如是｛aj中的项，

所以ap=4p—1,%=4q—1.

所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q—1)

=8p+12q—5=4(2p+3q—1)—1,

因为2P+3q-l£N”,

所以2%+3aq是｛aj中的第2p+3q—1项.

提升训练

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错

的得0分)

1.给出下列命题：

①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；

②数列a,a—1,a—2,a—3是公差为一1的等差数列；

③等差数列的通项公式一定能写成a0=kn+b的形式(k,b为常数)；

④数列{2n+l}(n£N*)是等差数列.

其中正确命题的序号是()

A.①②B.①③C.②③④D.③©

【解析】选C.根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为一2,①错误；

对于②，由等差数列的定义可知，数列a,a-1,a-2,a-3是公差为一1的等差数列，所

以②正确；对于③，由等差数列的通项公式a“=ai+(n—l)d,得a“=dn+⑸一⑴，令1t=山

b=ai—d,则an=kn+b,所以③正确；对于④，因为am—a0=2(n+1)+1—(2n+1)=2,

所以数列{2n+l}(neN*)是等差数列.所以④正确.

2.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬

至号(gui)长一丈三尺五寸，夏至唇长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个

节气之间的日影长度差为9年分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日

影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为()

国长逐渐变小

“

\、

春

分/

清

惊蛰

明

谷

雨

水

雨{O

0

3330

搞

冬

21

大

卜

211()

霜

降

春长逐渐变大

A.953；分B.10521分

C.11511分D.12501分

【解析】选B.一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为9年分，

且“冬至”时日影长度最大，为1350分；

“夏至”时日影长度最小，为160分.

从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度

为：

1350+mX3=l052T（分）.

3.在等差数列｛a“｝中，a2,a”是方程（+6*+2=0的两个实根，则上=（）

a2aH

3

A.—~B.-3C.一6D.2

【解析】选A.由于a2,ay是方程x?+6x+2=0的两个实根，所以a2+ai4=2a8=—6,a8=-

3,比•HM=2,

4.（多选题）等差数列瓜｝的首项为a,公差为1,数列版｝满足壮=告.若对任意neN",

an十1

bnWb6,则实数a的可能取值是（）

A.17B.-6.5C.-6.3D.16

【解析】选BC.因为区｝是首项为a,公差为1的等差数列，所以a,尸n+a-l.所以b.=心

a”十1

1

=1---;—.

n十a

又因为对任意的nCN”,都有b“Wbe成立，

可知a,又因为数列｛a„｝是递增数列，

则必有7+a—l<0且8+a-l>0,所以一7<a〈一6.

二、填空题（每小题5分，共20分）

5.已知｛a“｝为等差数列，若az=2a3+l,ai=2a3+7,则a?=.

【解析】因为｛①｝为等差数列，a?=2a3+l,a=2须+7,

ai+d=2(ai+2d)+1

所以

a+3d=2(a)+2d)+7

解得出=-10,d=3,

所以&3=ai+2d=—10+6=-4.

答案：一4

6.己知数列｛aj中，a3=2,a7=l,且数歹"一二]为等差数列，则a$=

⑶十1]

【解析】由数列〔七|为等差数列，

[an+lj

1197

则有—4-Z7=一T7，可解得a5=£.

as+la7+la5+l5

公山7

答案:5

7.数列｛aj满足：Iog2an+i=l+log2an,若43=10,则氏=.

【解析】log2an+i=l+log2an)所以log2an+i-log2a„=l,

所以｛logzaj为等差数列，公差为1,第三项为log210,

所以log2a8=log210+5,

所以a«—320.

答案:320

8.在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.

第1列第2列第3列・・・

第1行123•••

第2行246・・•

第3行369•••

.・・・・・・・・・・・・・・

那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是.

【解析】由题意可得，第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差

数列，其中第(n+1)项为n+n•n=r?+n.所以题表中的第n行第(n+1)列的数是n2+n.

答案：n2+n

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.已知f(x)=-1^，在数列｛x“｝中，xi=；,xn=f(x“-i)(n22,nGN-),试说明数歹J']是

x+23(xj

等差数列，并求X95的值.

【解析】因为当n》2时，Xn=f(x『l),

所以*“=逢空；（n>2）,即x.x.T+2x”=2x“-,（n22）,得空二3

=1(n22),

Xn_1"l2XnXn-1

即^------=1（n22）.

XnXn—12

又工=3,所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，所以工=3+（n—l）X9=

Xi[XnJ2Xn2

n+5

~2~'

2

所以x“=n+5,

21

所以赤百=而.

2

10.数列｛aj满足ai=l,an+i=（n+n—X）an（n=l,2,­••）,人是常数.

（1）当&2=—1时，求人及&3的值；

⑵是否存在实数入使数列■｝为等差数列？若存在，求出X及数列｛①｝的通项公式；若不

存在，请说明理由.

【解析】（1）由于&+1=（r?+n-入）&i（n=l,2,­•­）,

且ai=l.

所以当az=—l时，得一1=2一入，故入=3.

从而23=（22+2—3）X（—1）=-3.

⑵数列｛①｝不可能为等差数列，

证明如下：由ai=l,须+1=（n"+n—入）a,”

得出=2一入,a3=（6一入）（2—人）,

a4=（12—入）（6—入）（2—人）,

若存在人使｛须｝为等差数列，

则as——an即（5一入）（2—入）=1—X,

解得X=3.于是a2—ai=l—入=—2,

a，1一a3=（11—入）（6—入）（2—入）=-24.

这与｛a｝为等差数列矛盾.所以，不存在X使｛aj是等差数列.

11.已知数列值｝满足a“+产”且ai=3（ndN"）.

a„+2

（1）证明：数列是等差数列；

[an—2J

（2）求数列｛a』的通项公式.

【解析】⑴因为a“+尸小

_

所以a「23-21，a„+i26an~4

a0+2-2

_________a“+2__________a“+2(a,~2)+4____1_I__1________1_____1

(6a„—4)—2(a„+2)4a„—84(an—2)an—24'an+i_2a„—24

nSfT,

故数列I占!是首项为1，公差为J的等差数列.

/小、A.11,(1n+3bt、i2n+10.共

(2)由(1)知----=------+(n-1)X-=——,所以an=~TQ-，n£N.

an~2ai—244n+3

4、等差数列的性质及应用

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错

的得0分)

1.在等差数列｛an｝中，若a2=4,a.1=2,则a6=()

A.-1B.0C.1D.6

【解析】选B.由等差数列的性质得%=2a4-a2=2X2—4=0.

2.等差数列｛aj中&=5,a6=33,则a3+a5=()

A.35B.38C.45D.48

【解析】选B.由等差数列的性质知a3+a5=a2+a6=38.

3.等差数列｛aj中，已知a3=10,a8=-20,则公差d=()

A.3B.-6C.4D.-3

—20—10

【解析】选B.由等差数列的性质，得加一a3=(8—3)d=5d,所以d=---=-6.

5

4.设数列｛aj,｛bj都是等差数列，且二=25,bi=75,a2+b2=100,则a3?+b37等于()

A.0B.37C.100D.-37

【解析】选C.因为｛a3®｝都是等差数列,

所以｛a“+bj也是等差数列.

又因为a」+bi=100,a2+b2=100,

所以an+b„=100,

故a37+b37=100.

5.我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五

尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多

的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完.则该女子第11天织布（）

【解析】选B.设女子每天的织布数构成的数列为｛a,J,由题设可知｛aj为等差数列,

1—54

且ai=5,ao=L故公差d="：­，

330-129

)=5-29=W

故au=a1+(11—1)X

6.（多选题）若a,b,c成等差数列，则二次函数y=ax?-2bx+c的图象与x轴的交点的个

数可能为（）

A.0B.1C.2I）.3

【解析】选BC.因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,

所以△=4b2—4ac=（a+c）2—4ac=（a—c）?》。.

所以二次函数y=ax:;—2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.已知各项都为正数的等差数列｛须｝中，+=3,则a3a7的最大值为.

【解析】依题意，等差数列W各项都为正数，

所以,>0,a7>0,

所以a3a7WI",=（&J=9.

当且仅当a3=a7=3时等号成立.

答案：9

2

8.在等差数列｛aj中，若a2+%=10.则（a，i+a6）—2a5=.

【解析】因为数列｛aj为等差数列，a2+a8=at+a6=2a5=10,

L2

所以(a，+ae)—2a5=10—10=90.

答案：90

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.两个等差数列｛&｝：5,8,11,…和｛bn｝：3,7,11,…都有100项，那么它们共有多少

个相同的项？

【解析】方法一：设已知两数列的所有相同的项构成的新数列为匕,｝,5=11,又数列5,8,

11,…的通项公式为a0=3n+2,数列3,7,11,…的通项公式为b.=4n—1,所以数列｛cj

为等差数列，且d=12,

所以cn=12n—1.

又因为aioo=3O2,bioo=399,

所以c„=12n-lW302,

所以nW25^,

所以已知两数列共有25个相同的项.

方法二：因为an=3n+2,b„=4n—1,

4

设&,=鼠，则有3n+2=4m—1(n,mdN*)即n=^m—1(n,mdN*).要使n为正整数，m必须

o

・4

是3的倍数.设m=3k(k£N),代入。=可印一1,得n=4k—l.

又因为l〈3kW100,且lW4k-lW100,

所以lWk<25,

所以共有25个相同的项.

10.在等差数列｛aj中，若ai+@2+…+@5=30,a6+a?+…+aio=8O,求a“+ai2+…+a]5.

【解析】方法一：由等差数列的性质得

SiQ.ii—236,a2+ai2=2a?，,a5+a15=2aio.

所以(a1+az+…+a5)+(an+ai2+…+ai5)

—2(a6+a7++aio).

所以au+ai2H-----|-ai5=2(a6+a7H-------Faio)一

(ai+a2+-+a5)=2X80-30=130.

方法二：因为数列｛aj是等差数列，

所以a1+a2T-----Fas,a6+a?+…+a]o,a”+ai2T-----卜ai5也成等差数列,即30,80,au+ai2

+…+ai5成等差数列，所以30+(ai1+ai2+,•,+ais)=2X80,

an+ai2+,,,+ai5=130.

提升练习

一、选择题（每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错

的得0分）

1.数列｛aj满足3+a„=a“+i且az+ai+a6=9,则logeGs+ai+as）的值是（）

1

A2B2

2-

【解析】选C.因为a“+「a”=3,所以｛aj为等差数列，且d=3.

a2+a«+a6=9=3a”所以a』=3,a5+aT+ag=3a7=3（a.i+3d）=3（3+3*3）=36,

所以logeGs+ar+ag）=loge36=2.

2.若5,x,y,z,21成等差数列，则x+y+z的值为（）

A.26B.29C.39D.52

【解析】选C.因为5,x,y,z,21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z

的等差中项.所以5+21=x+z=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.

3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，

上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）

A.1升B.果升C.今升D.*升

【解析】选B.设所构成的等差数列｛③｝的首项为a„

ai+a2+a3+a.t=3,

公差为d,则有

a?+a8+a9=4,

13

ai=f

4ai+6d=3,22

即解得

,3ai+21d=4.

9=而

所以ai+4d*,即第5节的容积为fl升.

4.（多选题）在等差数列｛a“｝中，已知35=10,al2>31,则公差d的取值可以为（)

A.3B.4C.5D.6

【解析】选BCD.设首项为a”由题意,

ad4d=10,

可知，

al+lld>31,

解得d>3.所以d的取值范围是（3,+8）.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.已知AABC中三边a,b,c成等差数列，木，卡也成等差数列，则△ABC的形状

为.

fa+c=2b,①

【解析】由题可得厂厂厂…

加=2部,②

②2一①，得2y/ac=2b.

所以b2=ac,

又(a+c)2=4b)即(a+c)2=4ac,

所以a2—2ac+c2=0,

即(a—c)2=0,所以a=c,代入①，可得a=b=c,

所以aABC为等边三角形.

答案：等边三角形

6.如果等差数列｛aj中，33+34+35=12,那么如=__；ai+az+…+a?=____.

【解析】由a3+a4+a5=3a4=12,

所以at=4,ai+a2H---1-a7=7ai=28.

答案：428

7.在等差数列｛a#中，as+a6=4,则log2(2ai•2a2..........2al0)=______________.

【解析】在等差数列｛&)中，a5+a6=4,所以ai+aio=a2+a9=a3+a8=ad+a7=a5+a6=4,所

以ai+az+…+aio=(ai+aio)+(az+aj+(83+a«)+(ai+a?)+(as+ae)=5(as+ae)=20,

贝ijlog2(2ai•2a2....2a[o)=log22&+a2H----Faio

+a2+***+310~~20.

答案：20

8.已知(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的4个根组成首项为:的等差数列，则Im—n|=.

【解析】因为y=x2—2x+m与y=x?—2x+n有相同的对称轴，设四个根分别为Xi,x2,x3,

。o[xi+x.i=2,

x4,不妨设Xi,x4为x~—2x+m=0的两根，X2,X3为x——2x+n=0的两根，则彳

[xix.i=m.

JX2+X3=2,

[x2X3=n.

I726

不妨令X1=7,所以X4=1,X2=-,X3=-,

7151

所以m=正,n=—,所以|m-n|=].

答案：2

三、解答题(每小题10分，共30分)

/Aan211

9.设数列｛an｝是等差数列，bn=7,fib+b+b=—，bibb=-，求通项公式a”.

/123o23o

【解析】因为bbb3=1,又bn=(；)

所以（0+a2+as=1

所以ai+a2+a3=3.

又｛aj成等差数列,所以a=1,ai+a3=2.

117

所以bib3=：，bi+b：3=K，

4o

bi=2,bi=i

所以《1或，

%=于

h=2,

ai=3-1,可=3，

所以，3

口3=—1.

设等差数列｛aj的公差为d,

当ai=-1,as=3时，d=2,所以a»=—l+2(n—1)=2n—3；

当ai=3,aa=-1时、d=—2,所以a„=3—2(n—1)=—2n+5.

综上所述，a“=2n—3(neM)或a„=—2n+5(nGN*).

10.已知无穷等差数列｛1｝中，首项ai=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组

成数歹U｛b„｝.

⑴求E和b2；

(2)求｛bj的通项公式；

(3)｛b.J中的第503项是｛③中的第几项?

【解析】数列｛b.｝是数列｛a0｝的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，

由于｛4｝是等差数列，则｛b0｝也是等差数列.

(1)因为ai=3,d=-5,所以a“=3+(n—1)X(―5)=8—5n.数列｛aj中序号被4除余3的

项是｛a｝中的第3项，第7项，第H项，…，

所以bi=a3=—7,b2=a；=-27.

⑵设｛a,｝中的第m项是限｝中的第n项，即b.=a,“

则m=3+4(n—1)=4n—1,

所