分层法唐云泽

1、1结构力学结构力学 超静定结构的实用计算方法超静定结构的实用计算方法弯矩分配法弯矩分配法2弯矩分配法弯矩分配法的本质及其适用范围弯矩分配法的本质及其适用范围 弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。 弯矩分配法的适用范围：弯矩分配法的适用范围： 单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。弯矩分配法的基本概念弯矩分配法的基本概念 以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 ，杆长均为，杆长均为

2、，不计杆件轴向变形。，不计杆件轴向变形。il 根据位移法原理，原结构分解为根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。两种受力状态。 只有一个位移法未知量只有一个位移法未知量A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。qABCD原结构原结构qABCD(a)状态状态uAMABCD(b)状态状态uAM (a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移 固定状态 (b)状态：只发生结点位移，无外荷载 放松状态相当于原结构“先固定、后放松”32022-6-13弯矩分配法 固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯

3、矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 固定状态内力分析固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！ 固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。 21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM 结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正

4、负号规定：顺时针为正。 结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。 在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。 218ugggAABACADMMMMql42022-6-13弯矩分配法 放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 放松状态内力分析放松状态内力分析 放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。放松状态的内力可借助转动刚度

5、、分配系数、传递系数等概念计算。 转动刚度：转动刚度：AB杆件杆件A端（又称近端）发生单位转角时，端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为端产生的弯矩值，称为AB杆杆A端的转动刚度，端的转动刚度， 记为记为 。ABS 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。iEI li4ABSi2BAMiAB1A 远端为固定支座：4ABSii3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 远端为铰支座：3ABSi 远端为定向滑动支座：ABSi5 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。2022-6-13弯矩分配法ABC

6、D(b)放松状态放松状态uAM 放松状态内力分析放松状态内力分析 传递系数：传递系数：AB杆件仅杆件仅A端发生转角时，端发生转角时，B端弯矩与端弯矩与A端弯矩之比，称为从端弯矩之比，称为从A到到B的弯矩传递系数，记的弯矩传递系数，记为为 。A BCi4ABSi2BAMiAB1A 远端为固定支座：1 2ABCi3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 远端为铰支座：0ABC 远端为定向滑动支座：1ABC 放松状态内力（分配系数）放松状态内力（分配系数）AA结点力矩结点力矩uAMfABMfADMfACMA结点力矩平衡方程：fffuABACADAMMMM 而，;fABABAMS;fAC

7、ACAMSfADADAMS所以，uABACADAASSSM 得，uAAABACADMSSS 从而，fuuABABAABAAjSMMMSfuuACACAACAAjSMMMSfuuADADAADAAjSMMMS称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即，即 。1Why?物理含义：结点力矩平衡62022-6-13弯矩分配法qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 计算过程小结计算过程小结 固定状态，计算

8、固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。 固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 结点不平衡力弯矩 放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，计算分配力矩和传递力矩。 杆件转动刚度： 分配系数： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACADCCC222311;646416fffABACADMqlMqlMql 远端传递力矩： 22110;6432cccBACADAMMqlMql 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩

9、传递力矩72022-6-13弯矩分配法qABCD原结构原结构 计算过程小结计算过程小结 固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。 固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 结点不平衡力弯矩 放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，计算分配力矩和传递力矩。 杆件转动刚度： 分配系数： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACAD222311;646416fffABACADMqlMqlMql 远端传递力矩： 22110;6432c

10、ccBACADAMMqlMql 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩弯矩分配法通常列表计算结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADAgM分配分配传递传递M终备注备注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32分配力矩下划线，以示与传递力矩区分82022-6-13弯矩分配法qABCD原结构原结构 弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法的物理含义： 弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点结点杆端杆端BACDBAABA

11、DACCADAgM分配分配传递传递M终备注备注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32ABCDM图图(ql2)56418164116132施加约束(固定)解除约束(放松) 注意问题：注意问题： 弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定，计算过程中切勿混弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。淆和遗漏正负号。 结点不平衡力矩必须反号后才能进行分配和传递。结点不平衡力矩必须反号后才能进行分配和传递。 弯矩分配法计算步骤：弯矩分配

12、法计算步骤： 计算各杆的分配系数和传递系数。计算各杆的分配系数和传递系数。 计算荷载作用下的固端弯矩。计算荷载作用下的固端弯矩。 将结点不平衡力矩反号后，进行力矩分配和传递。将结点不平衡力矩反号后，进行力矩分配和传递。 按叠加原理计算最终杆端弯矩。按叠加原理计算最终杆端弯矩。92022-6-13弯矩分配法 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 固定状态固定状态 固端弯矩213 44,412ggBCCBMkNmMkNm 4,4uuBCMkNmMkNm 结点不平衡力弯矩3/k

13、N mACDEIEIBEIuBMuCM 放松状态放松状态 两个分配单元B和C结点转角是耦合的，如同时放松，需建立并求解联立方程组。 为了避免求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。放松C(B保持锁定状态),;CBCDSEISEI0.5CBCD440.50.52211此时，C结点力矩平衡，B结点不平衡力矩为-5kNm锁住C，放松B,;BABCSEISEI0.5BABC此时，B结点力矩平衡，C结点不平衡力矩为1.25kNm50.50.52.52.51.251.251.25完成一轮分配 由于分配系数和传递系数不大于1且不可能全为1，故，经过弯矩分配和传递后，结点不平衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，

14、可使结构受力和变形逐步接近实际状态。100.0844gM0.320.16 0.162022-6-13弯矩分配法 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 上述计算过程一般通过列表进行上述计算过程一般通过列表进行2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定状态）（固定状态）分分配配与与传传递递221（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）第第1轮分配轮分配0.630.63（锁（锁B放放C）0.08（锁（锁C放放B）第第2轮分配轮分配00.020.01 0.010.04

15、0.04（锁（锁B放放C）0（锁（锁C放放B）第第3轮分配轮分配M终2.662.67 2.67-1.332.670多结点弯矩分配法是一种渐近法，多结点弯矩分配法是一种渐近法，计算结果为近似解。计算结果为近似解。为了使计算收敛速度快，通常先为了使计算收敛速度快，通常先从不平衡力矩较大的分配单元开从不平衡力矩较大的分配单元开始分配。始分配。终止弯矩分配的条件一般有两种：终止弯矩分配的条件一般有两种： a）明确分配轮次。如：要求完）明确分配轮次。如：要求完成两轮分配，则不管计算误差多成两轮分配，则不管计算误差多大，两轮分配完成后即可终止计大，两轮分配完成后即可终止计算。算。 b）明确计算精度。如：计

16、算要求）明确计算精度。如：计算要求保留到小数点后两位，则应计算保留到小数点后两位，则应计算至分配弯矩或传递弯矩小于至分配弯矩或传递弯矩小于0.01。注意最后一个轮次分配与传递需注意最后一个轮次分配与传递需同时完成，不可以只分配不传递。同时完成，不可以只分配不传递。ACDB1.332.676M图图(kNm)110.0844gM0.320.16 0.162022-6-13弯矩分配法 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定

17、状态）（固定状态）分分配配与与传传递递221（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）0.630.63（锁（锁B放放C）0.08（锁（锁C放放B）00.020.01 0.010.040.04（锁（锁B放放C）0（锁（锁C放放B）M终2.662.67 2.67-1.332.670ACDB1.332.676M图图(kNm)12竖向荷载作用下内力的近似计算方法 分层法13竖向荷载作用下的内力近似计算 在竖向荷载（vertical load）作用下，多、高层框架结构的内力可用力法、位移法等结构力学方法计算。工程设计中，如采用手算，可采用迭代法、分层法、弯矩二次分配法及系数法等近似方法计算。14常用方法分层法

18、竖向荷载作用下框架结构的受力特点及内力计算假定：（1）不考虑框架结构的侧移对其内力的影响；（2）每层梁上的荷载仅对本层梁及其上、下柱的内力产生影响，对其他各层梁、柱内力的影响可忽略不计。 应当指出，上述假定中所指的内力不包括柱轴力，因为某层梁上的荷载对下部各层柱的轴力均有较大影响，不能忽略。15分层法的适用范围 分层法一般用于结构与荷载沿高度分布比较均匀的多层框架的内力计算，对于侧移较大或不规则的多层框架不宜采用16竖向荷载作用下分层计算示意图竖向荷载作用下分层计算示意图17（1）将多层框架沿高度分成若干单层无侧移的敞口框架，每个敞口框架包括本层梁和与之相连的上、下层柱。梁上作用的荷载、各层柱高及梁跨度均与原结构相同。（2）除底层柱的下端外，其他各柱的柱端应为弹性约束。为便于计算，均将其处理为固定端。这样将使柱的弯曲变形有所减小，为消除这种影响，可把除底层柱以外的其他把除底层柱以外的其他各层柱的线刚度乘以修正系数各层柱的线刚度乘以修正系数0.9。分层法计算要点分层法计算要点18分层法计算要点分层法计算要点（3）用弯矩分配法计算各敞口框架的杆端弯矩，在计算每个节点周围各杆件的弯矩分配系数时，应采用修正后的柱线应采用修正后的柱线刚度刚度计算；并且底层柱和各层梁的传递系数均取底层柱和各