第4单元-平面向量-数学(理科)-人教A版-浙江

1、浙江省专用浙江省专用新课标新课标人教人教A A版版课件编辑说明课件编辑说明本课件是由精确校对的本课件是由精确校对的wordword书稿制作的书稿制作的“逐字编辑逐字编辑”课课件，如需要修改课件，请双击对应内容，进入可编辑状态。件，如需要修改课件，请双击对应内容，进入可编辑状态。 如果有的公式双击后无法进入可编辑状态，请单击选中如果有的公式双击后无法进入可编辑状态，请单击选中此公式，点击右键、此公式，点击右键、“切换域代码切换域代码”，即可进入编辑状态。，即可进入编辑状态。修改后再点击右键、修改后再点击右键、“切换域代码切换域代码”，即可退出编辑状态。，即可退出编辑状态。第第2424讲平面向量的

2、概念及其线性运算讲平面向量的概念及其线性运算第第2525讲平面向量基本定理及坐标表示讲平面向量基本定理及坐标表示第第2626讲平面向量的数量积与平面向量应用举讲平面向量的数量积与平面向量应用举例例目目 录录返回目录返回目录返回目录返回目录一、概念与运算一、概念与运算1 1定义定义大小与方向，具体解题时要关注向量的起点大小与方向，具体解题时要关注向量的起点与终点与终点2 2关系关系两个向量的共线、平行、相等、相反两个向量的共线、平行、相等、相反3 3特殊向量特殊向量单位向量和零向量，特别关注零向量在单位向量和零向量，特别关注零向量在解题中的影响解题中的影响4 4运算运算向量的运算法则和运算的几何

3、意义向量的运算法则和运算的几何意义二、基本定理二、基本定理1 1线性关系线性关系任意向量的线性表示任意向量的线性表示2 2坐标表示坐标表示直角坐标系下的向量表示，可以将向量直角坐标系下的向量表示，可以将向量运算转化为实数运算运算转化为实数运算返回目录返回目录三、数量积和应用三、数量积和应用1 1数量积数量积数量积将向量的模、夹角联系起来，具有数量积将向量的模、夹角联系起来，具有明显的几何意义和物理意义明显的几何意义和物理意义2 2应用应用关注向量在三角、平面几何、解析几何中的关注向量在三角、平面几何、解析几何中的应用应用. .返回目录返回目录1 1编写意图编写意图 本单元内容是高中数学的工具性

4、知识，出现在近几年本单元内容是高中数学的工具性知识，出现在近几年高考卷中主要有两个方面：一是平面向量本身的知识的基高考卷中主要有两个方面：一是平面向量本身的知识的基础题，难度不大，多以选择题，填空题的形式出现；二是础题，难度不大，多以选择题，填空题的形式出现；二是以向量作为工具，考查其他的知识点的交汇与整合，以解以向量作为工具，考查其他的知识点的交汇与整合，以解答题为主答题为主 因此，编写时主要考虑以下几方面：因此，编写时主要考虑以下几方面：(1)(1)每课时的例每课时的例题、习题以巩固基础知识为主，重点是引导学生用向量知题、习题以巩固基础知识为主，重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、

5、垂直等问题，掌握应用向量知识识解决有关长度、夹角、垂直等问题，掌握应用向量知识解决这类问题的方法；解决这类问题的方法；(2)(2)适当配备平面向量综合问题的适当配备平面向量综合问题的“新热点新热点”题型，其形式为向量与其他知识的综合，但严题型，其形式为向量与其他知识的综合，但严格控制难度，用于训练学生对各个知识点之间联系的渗透，格控制难度，用于训练学生对各个知识点之间联系的渗透，构建知识网络，提高综合应用能力构建知识网络，提高综合应用能力返回目录返回目录2 2教学建议教学建议 本单元的特点是概念公式较多，有线性运算及坐标运本单元的特点是概念公式较多，有线性运算及坐标运算、数量积等多种运算，数形

6、结合紧密平面向量是数形算、数量积等多种运算，数形结合紧密平面向量是数形结合的一种工具，研究向量的有关问题时，要结合图形进结合的一种工具，研究向量的有关问题时，要结合图形进行求解，因此，本单元的内容着重体现其应用性、工具性，行求解，因此，本单元的内容着重体现其应用性、工具性，复习中应注意下面几点：复习中应注意下面几点：(1)(1)课堂教学的例题、习题以基础题和中档题为主，对理课堂教学的例题、习题以基础题和中档题为主，对理科学生的要求一定要适度，不要拔高；应按照方向和大小科学生的要求一定要适度，不要拔高；应按照方向和大小两要素，运用数形结合思想，掌握向量相关运算的法则与两要素，运用数形结合思想，掌

7、握向量相关运算的法则与常用技巧；在复习向量的加法、减法、数乘向量、向量的常用技巧；在复习向量的加法、减法、数乘向量、向量的数量积这四种运算过程中，要让学生特别关注向量运算与数量积这四种运算过程中，要让学生特别关注向量运算与实数运算的不同之处实数运算的不同之处返回目录返回目录(2)(2)要注意到向量具有代数形式和几何形式的要注意到向量具有代数形式和几何形式的“双重身双重身份份”，向量在几何中应用广泛，备考复习中，要注意向量，向量在几何中应用广泛，备考复习中，要注意向量的考查层次，分层次进行：一是本单元的基础知识，包括的考查层次，分层次进行：一是本单元的基础知识，包括向量的概念和线性运算，平面向量

8、的基本定理，平面向量向量的概念和线性运算，平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算和数量积等，这是基本要求；二是本单元内的的坐标运算和数量积等，这是基本要求；二是本单元内的综合，特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定理综合，特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定理以及数量积的应用，其中向量的数量积是平面向量的核心以及数量积的应用，其中向量的数量积是平面向量的核心内容，也是高考考查的热点；三是向量与其他知识的综合，内容，也是高考考查的热点；三是向量与其他知识的综合，即用向量来解决代数、几何中的综合问题即用向量来解决代数、几何中的综合问题3 3课时安排课时安排 本单元共本单元共3 3讲和一个

9、讲和一个4545分钟滚动基础训练卷，一个单分钟滚动基础训练卷，一个单元能力检测卷，每讲建议元能力检测卷，每讲建议1 1课时完成，课时完成，4545分钟滚动基础训分钟滚动基础训练卷和单元能力检测卷建议各练卷和单元能力检测卷建议各1 1课时完成，共需课时完成，共需6 6课时课时第24讲平面向量的概念及其线性运算双双向向固固基基础础点点面面讲讲考考向向多多元元提提能能力力教教师师备备用用题题返回目录返回目录返回目录返回目录1 1了解向量的实际背景了解向量的实际背景 2 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义义 3 3理解向量的几何表示理解向量的几何表示

10、4 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义义 5 5掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义线的含义 6 6了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 返回目录返回目录双双向向固固基基础础大小大小一、向量的有关概念及表示一、向量的有关概念及表示名称名称定义定义表示表示向量向量在平面中，既有在平面中，既有_又有又有_的量的量用用a a，b b，c c，或或 ，表示表示向量向量的模的模向量向量a a的的_，也

11、就是表示向量也就是表示向量a a的有向线段的有向线段ABAB的的_(_(或称模或称模) )_或或_零向量零向量长度为长度为_的向量的向量用用_表示表示方向方向大小大小长度长度|a|a|0 00 0返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算1 1单位单位向量向量长度等于长度等于_个单位个单位的向量的向量用用e e表示，表示，| |e e| |_平行平行向量向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量的非零向量abab相等相等向量向量_相等且相等且方向方向_的的向量向量a ab b相反相反向量向量_相等，相等，方向方向_的的向量向量向量向

12、量a a的相反向量的相反向量是是_1 1长度长度相同相同长度长度相反相反a a说明：零向量的方向是说明：零向量的方向是_，规定：零向量与任一，规定：零向量与任一向量向量_任意的任意的平行平行返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算和和平行四边形平行四边形三角形三角形b ba a二、向量的线性运算二、向量的线性运算向量运向量运算算定义定义法则法则( (或几何意义或几何意义) )运算律运算律加法加法求两个向量求两个向量_的运的运算算_法则法则 _法则法则(1)(1)加法交换律：加法交换律：a ab b_(2)(2)加法结合律：加法结合

13、律：( (a ab b) )c c_减法减法减去一个向量减去一个向量相当于加上这相当于加上这个向量的个向量的_法则法则a ab b_数乘数乘实数实数与向量与向量a a的积是一个的积是一个_，这，这种运算叫做向种运算叫做向量的量的_，记作记作_(1)|(1)|aa| |_(2)(2)当当0 0时，时，aa与与a a的方的方向向_；当；当0 0时，时，aa与与a a的方向的方向_；当；当0 0时，时，aa_(1)(1)对向量加法的分配律：对向量加法的分配律：( (a ab b) )_(2)(2)对实数加法的分配律：对实数加法的分配律：( (1 12 2) )a a_a a(b(bc)c)相反向量相

14、反向量三角形三角形a a( (b)b)向量向量数乘数乘aa|a|a|相同相同相反相反0 0aabb1a1a2a2a返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算b baa三、向量的共线定理三、向量的共线定理向量向量a a( (a a0)0)与与b b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使，使_返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录双

15、双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考向向第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算考点考点考频考频示例示例( (难度难度) )1.1.平面向量有关平面向量有关的概念的概念选择选择(

16、1)(1)填空填空(1)(1)20102010年浙江年浙江T16(B)T16(B)，20122012年浙江年浙江T5(B)T5(B)2.2.平面向量的线平面向量的线性运算性运算0 03.3.向量共线定理向量共线定理0 04.4.向量线性运算向量线性运算0 0说明：说明：A A表示简单题，表示简单题，B B表示中等题，表示中等题，C C表示难题，表示难题，考频分析考频分析2009200920122012年浙江卷情况年浙江卷情况 探究点一平面向量有关的概念问探究点一平面向量有关的概念问题题返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目

17、录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 点评点评 解决这类与平面向量的概念有解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足：的特殊性以及两个向量相等必须满足：(1)(1)模相等

18、；模相等；(2)(2)方向相同方向相同返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 归纳总结归纳总结 对于向量的概念应注意以下几条：对于向量的概念应注意以下几条： 向量的两个特征：有大小，有方向，向向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示可以用坐标表示 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量量则未必是相等向量 向量与数量不同，数量可以

19、比较大小，向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小可以比较大小 向量是自由向量，所以平行向量就是共向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的线向量，二者是等价的返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 探究点二平面向量的线性运算探究点二平

20、面向量的线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 点评点评 两个几何结论的向量表示：两个几何结论的向量表示：

21、(1)(1)若若D D为线段为线段ABAB的中点，的中点，O O为平面内一点，为平面内一点，则则( ()()(如图如图) ) (2)(2)已知平面内不共线的三点已知平面内不共线的三点A A，B B，C C，( () )G G为为ABCABC的重心，特别地，的重心，特别地，0 0P P为为ABCABC的重心的重心返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 归纳总结归纳总结 用已知向量来表示另外一些向量是用向用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分

22、利用平面几何的一数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；些定理； 在求向量时要尽可能转化到平行四边形在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解求解返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的

23、概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 探究点三向量共线定理的应用探究点三向量共线定理的应用返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的

24、概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 点评点评 证明三点共线问题，可用向量证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；解决此类问题点时，才能得出三点共线；解决此类问题的关键是利用向量共线定理得出的关键是利用向量共线定理得出b baa，即要证明即要证明A A，B

25、B，C C三点共线，只需证明三点共线，只需证明，再利用对应系数相等，列出方程组，解出再利用对应系数相等，列出方程组，解出系数系数返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 探究点四向量线性运算的简单应探究点四向量线性运算的简单

26、应用用返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算 点评点评 (1)将同一个向量用两种方法将同一个向量用两种方法线性表示后，利用向量相等得出线性系数线性表示后，利用向量相等得出线性系数的关系的关系 (2)利用向量共线定理解决三点共线问题利用向量共线定理解决三点共线问题时有两种方法，一是在三点所确定的向量时有两种方法，

27、一是在三点所确定的向量中任选两个，如中任选两个，如 ，再看这两个向，再看这两个向量能否满足量能否满足 ；二是运用一个常见；二是运用一个常见的结论：的结论： ，且，且1，则则A，B，C三点共线它的证明方法是运三点共线它的证明方法是运用向量共线定理和线性运算知识，结论的用向量共线定理和线性运算知识，结论的结构特征非常明显，容易记忆结构特征非常明显，容易记忆返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算归纳总结归纳总结平面向量的线性运算包括平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误积，

28、在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的终点与起点，导致加法与有：忽视向量的终点与起点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式对此，要注意减法混淆；错用数乘公式对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件之符合条件返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1

29、 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算易错究源易错究源9 9解题时忽视零向量的特殊性致误解题时忽视零向量的特殊性致误返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算

30、【备选理由备选理由】 例例1 1是继续巩固向量的概念和线性运算，是对探究点是继续巩固向量的概念和线性运算，是对探究点一的补充；例一的补充；例2 2是向量共线定理的应用，例是向量共线定理的应用，例3 3、例、例4 4是关于是关于三点共线的问题，是对探究点四的补充三点共线的问题，是对探究点四的补充返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线

31、性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2424讲讲平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运

32、算 返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算 返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算第25讲平面向量基本定理及坐标表示双双向向固固基基础础点点面面讲讲考考向向多多元元提提能能力力教教师师备备用用题题返回目录返回目录返回目录返回目录1 1了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题本定理解决简单问题2 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4

33、 4理解用坐标表示平面向量共线的条件理解用坐标表示平面向量共线的条件第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 一、平面向量的基本定理一、平面向量的基本定理 如果如果e e1 1，e e2 2是一个平面内的两个不共线向是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量量，那么对这一平面内的任一向量a a，_一对实数一对实数1 1，2 2，使，使_其中，不共线的向量其中，不共线的向量e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一叫做表示这一平面内所有向量的一组组_ 注意：注意：e e1 1，e e2 2是同一平面内的一组基底，是同一平面内的一组基底，如果

34、有且只有一对实数如果有且只有一对实数( (1 1，2 2) )，使，使a a1 1e e1 12 2e e2 2，则，则a a，e e1 1，e e2 2共面共面 二、两个向量的夹角二、两个向量的夹角 1 1定义：已知两个定义：已知两个_向量向量a a与与b b，作作 a a， b b，则，则AOBAOB(0(0)叫做向量叫做向量a a与与b b的夹角的夹角返回目录返回目录双双向向固固基基础础有且只有有且只有a a1 1e e1 12 2e e2 2基底基底非零非零返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示0 02 2a a与与b

35、b的几种特殊的位置关系如下表：的几种特殊的位置关系如下表：位置位置关系关系同向同向反向反向垂直垂直夹角夹角_图形图形1801809090返回目录返回目录三、平面向量的正交分解三、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交的向量，叫做把向量正交分解分解四、平面向量的坐标表示四、平面向量的坐标表示1 1平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与与x x轴、轴、y y轴方向轴方向_的两个的两个_向量向量i i，j j作为基作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量底由平面向量的基本定理知，该平面内的任

36、一向量a a可可表示成表示成a axixiyjyj，由于，由于a a与数对与数对( (x x，y y) )是一一对应的，因是一一对应的，因此把此把_叫做向量叫做向量a a的坐标，记作的坐标，记作_，其中其中x x叫做叫做a a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a a在在y y轴上的坐标轴上的坐标注意：两个向量相等的充要条件是这两个向量在注意：两个向量相等的充要条件是这两个向量在_与与_上的坐标分别相等上的坐标分别相等互相垂直互相垂直相同相同单位单位(x(x，y)y)a a(x(x，y)y)x x轴轴y y轴轴返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐

37、标表示平面向量基本定理及坐标表示2 2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算向量向量a ab ba ab ba ab baa坐标坐标( (x x1 1，y y1 1) )( (x x2 2，y y2 2) )_3.3.向量的坐标求法向量的坐标求法已知已知A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则，则_，即一，即一 个向量的坐标等于表示此个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的向量的有向线段的_坐标减去坐标减去_的坐的坐标标注意：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起注意：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

38、点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2) )(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2) )(x(x1 1，yy1 1) )(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )终点终点始点始点返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 04 4向量平行的充要条件的坐标表示向量平行的充要条件的坐标表示设设a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )，其中，其中a a00

39、，则，则向量向量a a与与b b共线共线b baa_._.返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录双双向向固固基基础础第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考向向第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示考点考点考频考频示例示

40、例( (难度难度) )1.1.平面向量基平面向量基本定理的应用本定理的应用0 02.2.平面向量的平面向量的坐标运算坐标运算0 03.3.平面向量共平面向量共线的坐标表示线的坐标表示的应用的应用0 04.4.平面向量坐平面向量坐标运算的简单标运算的简单应用应用填空填空(1)(1)选择选择(1)(1)20092009年浙江年浙江T9(A)T9(A)，20112011年浙江年浙江T17(A)T17(A)说明：说明：A A表示简单题，表示简单题，B B表示中等题，表示中等题，C C表示难题，表示难题，考频分析考频分析2009200920122012年浙江卷情况年浙江卷情况 探究点一平面向量基本定理的

41、应探究点一平面向量基本定理的应用用返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 点评点评 解决此类问题的关键在于以一解决此类

42、问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘，把其他相关的向量用这一组基减、数乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程组，底表示出来，再利用向量相等建立方程组，从而解出相应的值通过下面变式题可以从而解出相应的值通过下面变式题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底，平面内的向量都可以用这可以作为基底，平面内的向量都可以用这一组基底表示一组基底表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 归纳总结归纳总结 平

43、面向量基本定理的作用平面向量基本定理的作用 平面向量基本定理是建立向量坐标的基平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，础，它保证了向量与坐标是一一对应的，即即a a与与( (x x，y y) )一一对应，向量一一对应，向量 一一一一对应点对应点A A( (x x，y y) ) 用向量证明几何问题的一般思路：先选用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明量的运算来证明返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲

44、平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 探究点二平面向量的坐标运算探究点二平面向量的坐标运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示

45、平面向量基本定理及坐标表示 点评点评 利用向量的坐标运算解题，主要是利用向量的坐标运算解题，主要是利用加、减、数乘运算法则进行，然后根利用加、减、数乘运算法则进行，然后根据据“相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同”这一原则，通过这一原则，通过方程方程( (组组) )进行求解若已知有向线段两端进行求解若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则利用向量的坐标运算，建立了运算法则利用向量的坐标运算，建立了向量与实数的联系，构造函数和方程，利向量与实数的联系，构造函数和方程，

46、利用函数与方程的思想解题用函数与方程的思想解题返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 归纳总结归纳总结 向量的坐标表示把点与数联系起来，实际向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算转化为我们熟知的数量运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理

47、及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 探究点三平面向量共线的坐标表探究点三平面向量共线的坐标表示的应用示的应用返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 点评点评 向量共线向量共线( (平行平行) )的坐标表示实的坐标表示实质是把向量问题转化为代数运算

48、，它提供质是把向量问题转化为代数运算，它提供了通过坐标公式建立参数的方程了通过坐标公式建立参数的方程( (组组) )，进，进而解方程而解方程( (组组) )求出参数的值，来解决向量求出参数的值，来解决向量共线共线( (平行平行) )的方法，也为点共线、线平行的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简易的方法，体现方程问题的处理提供了简易的方法，体现方程的思想在向量中的运用的思想在向量中的运用 返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐

49、标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 探究点四平面向量坐标运算的简探究点四平面向量坐标运算的简单应用单应用返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算归纳总结归纳总结坐标问题是高考中的一种坐标问题是高考中的一种常见

50、题型，一般情况下，题目难度不大，常见题型，一般情况下，题目难度不大，在复习时，首先要明晰向量平行与垂直的在复习时，首先要明晰向量平行与垂直的两个充要条件，然后由题设条件建立相关两个充要条件，然后由题设条件建立相关参数的方程组求解即可参数的方程组求解即可返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算返回目录返回目录点点面面讲讲考考点点第第1 1讲讲集合及其运算集合及其运算思想方法思想方法9 9向量坐标化在解题中的应用向量坐标化在解题中的应用返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面

51、向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能

52、力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录多多元元提提能能力力第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示【备选理由备选理由】 例例1 1考查平面向量基本定理，用一组基底表示其他向考查平面向量基本定理，用一组基底表示其他向量；例量；例2 2考查向量的坐标运算；例考查向量的坐标运算；例3 3是一道提高题，内容是是一道提高题，内容是关于平面向量基本定理的应用关于平面向量基本定理的应用返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第25

53、25讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示返回目录返回目录教教师师备备用用题题第第2525讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示第26讲平面向量的数

54、量积与平面向量应用举例双双向向固固基基础础点点面面讲讲考考向向多多元元提提能能力力教教师师备备用用题题返回目录返回目录返回目录返回目录1 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算积的运算 4 4能运用数量积表示两个向量的夹角能运用数量积表示两个向量的夹角 5 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些

55、实会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题际问题第第2626讲讲平面向量的数量积与平面向量应用举例平面向量的数量积与平面向量应用举例 一、向量的数量积一、向量的数量积 1 1向量数量积的概念向量数量积的概念 已知两个非零向量已知两个非零向量a a与与b b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量我们把数量_叫做叫做a a与与b b的的数量积数量积( (或内积或内积) )，记作，记作a ab b，即，即abab_，规定，零向量与任一向，规定，零向量与任一向量的数量积为量的数量积为_ 2 2向量的投影向量的投影 设两个非零向量设两个非零向量a a与与b b的夹角为的夹角为，_称为向量称为向

56、量a a在在b b方向上的投影；方向上的投影；_称为向量称为向量b b在在a a方向上的投影方向上的投影返回目录返回目录双双向向固固基基础础|a|b|cos|a|b|cos|a|b|cos|a|b|cos0 0|a|cos|a|cos|b|cos|b|cos第第2626讲讲平面向量的数量积与平面向量应用举例平面向量的数量积与平面向量应用举例 向量向量a a在在b b方向上方向上( (或或b b在在a a方向上方向上) )的投影是的投影是一个一个_，不是向量，当，不是向量，当0 09090，它是它是_；当；当9090，它是，它是_；当；当9090 180180，它是，它是_图图4 426261

57、1表示表示b b在在a a方向上的方向上的投影的三种情况：投影的三种情况： 图图4 426261 1返回目录返回目录双双向向固固基基础础0 0数量数量 正数正数负数负数第第2626讲讲平面向量的数量积与平面向量应用举例平面向量的数量积与平面向量应用举例 3 3向量数量积的几何意义：数量积向量数量积的几何意义：数量积abab等于等于a a的长度的长度| |a a| |与与b b在在a a的方向上的投影的方向上的投影| |b b|cos|cos的乘积的乘积 二、向量数量积的性质二、向量数量积的性质 1 1向量数量积的运算律向量数量积的运算律 已知向量已知向量a a，b b，c c和实数和实数，则，

58、则 (1)(1)交换律：交换律：_； (2)(2)数乘结合律：数乘结合律：( (aa)b b_(_(R)R)； (3)(3)分配律：分配律：( (a ab b) )cc_._.返回目录返回目录双双向向固固基基础础(ab)(ab)a(b)a(b)ababbabaacacbcbcc(ac(ab)b)第第2626讲讲平面向量的数量积与平面向量应用举例平面向量的数量积与平面向量应用举例 (5)(5)|ab|ab|_|a|b|a|b|. .返回目录返回目录双双向向固固基基础础|a|b|a|b|abab0 0| |a|cosa|cos|a|a|2 2|a|b|a|b|第第2626讲讲平面向量的数量积与平面

59、向量应用举例平面向量的数量积与平面向量应用举例返回目录返回目录双双向向固固基基础础x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0三、向量数量积的坐标表示三、向量数量积的坐标表示已知两个非零向量已知两个非零向量a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量向量a a的模的模| |a a| | |a a| |a a，b b的数量的数量积积abab|a|b|a|b|coscosababx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2a a与与b b共线共线ababb baaabab_a a与与b b垂直垂直aba

60、babab0 0ababx x1 1x x2 2y y1 1y y2 20 0a a，b b的夹角的夹角coscos coscos_返回目录返回目录四、平面向量的主要应用四、平面向量的主要应用1 1向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用平面几何经常涉及距离平面几何经常涉及距离( (线段的长度线段的长度) )、夹角，而向量运算，、夹角，而向量运算，特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角，因此可以用向特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题，利用向量方法处理几何问题一量方法解决部分几何问题，利用向量方法处理几何问题一般有以下般有以下“三步曲三步曲”： 返回目录返