第二章-轴向拉伸与压缩(1)(1)

1、1 第第 二二 章章 轴轴 向向 拉拉 伸伸 与与 压压 缩缩 Axial Tension and Compression 2n轴向拉伸轴向拉伸轴力作用下，杆件伸长轴力作用下，杆件伸长 （简称（简称拉伸拉伸）n轴向压缩轴向压缩轴力作用下，杆件缩短轴力作用下，杆件缩短 （简称（简称压缩压缩）2-0 2-0 概念及实例概念及实例3 拉、压的特点：拉、压的特点：n1.两端两端受力受力沿轴线，大小相等，沿轴线，大小相等，n 方向相反方向相反n2. 主要主要变形变形 沿轴线沿轴线40X 得得1 1轴轴 力力截面法截面法（截、取、代、平）（截、取、代、平） 轴力轴力 FN（Normal）2-1 2-1 轴

2、轴 力力 与与 轴轴 力力 图图 (Axial force graph)(Axial force graph)FFFFN(x)FN(x)FFFN (x) F = 0FN (x) = F 5n轴轴 力力 的的 符符 号号 由变形决定由变形决定拉伸时，为正拉伸时，为正压缩时，为负压缩时，为负注意：注意：n1）外力不能沿作用线移动）外力不能沿作用线移动力的可传性不成立力的可传性不成立 变形体，不是刚体变形体，不是刚体n2）横截面不能切在外力作用点处）横截面不能切在外力作用点处要离开作用点要离开作用点62 2 轴轴 力力 图图n纵轴表示轴力大小的图纵轴表示轴力大小的图（横轴为横截面位置）（横轴为横截面

3、位置） 例例2-1 求轴力，并作轴力图求轴力，并作轴力图72-2 2-2 拉拉 （ 压压 ） 杆杆 应应 力力杆件杆件1 轴力轴力 = 1N, 截面积截面积 = 0.1 cm2 杆件杆件2 轴力轴力 = 100N, 截面积截面积 = 100 cm2 哪个杆工作哪个杆工作“累累”？ 不能只看轴力，要看不能只看轴力，要看单位面积上的力单位面积上的力 应力应力 怎样求出应力？怎样求出应力？ 思路思路应力应力是是内力内力延伸出的概念，应当由延伸出的概念，应当由 内力内力 应力应力8由 积分得ANd dA ANd 1）静力平衡）静力平衡横截面上各点应力的分布？横截面上各点应力的分布？ 因不知道，故因不知

4、道，故 上式求不出应力上式求不出应力 要想另外的办法要想另外的办法92）几何变形）几何变形 实验结果实验结果变形后，外表面垂线保持为直线变形后，外表面垂线保持为直线 平面假设平面假设变形后，截面平面仍垂直于杆轴变形后，截面平面仍垂直于杆轴推得推得：同一截面上：同一截面上 正应变等于常量正应变等于常量希望求应力，如何由希望求应力，如何由 应变应变 应力应力C103）物理关系）物理关系 应变应变 应力应力 A A ANAA dd得应力：得应力：AN 11节点节点 A0Y得得P30sinNAB则则 260P2NABkN（拉力）拉力）（2）计算）计算ABMPa7 .119 1010286.101026

5、0AN643ABAB例例2-2 图示起吊三角架，图示起吊三角架，AB 杆由截面积杆由截面积10.86 cm2 的的2根根解解：（1）计算）计算 AB 杆内力杆内力30角钢组成，角钢组成，P=130 kN， , 求求AB杆截面应力。杆截面应力。 12二二. 斜截面上的应力斜截面上的应力n 为什么研究它？为什么研究它？ 弄清楚弄清楚截面方向截面方向对应力的影响对应力的影响n 研究方法研究方法:n 仿正截面上应力仿正截面上应力 公式去推导公式去推导n 找出同横截面上找出同横截面上 应力的关系应力的关系 13（1） 直直 接接 推推 导导由由 平衡平衡 AApP d 实验实验 等截面等截面假定假定C

6、于是于是 coscos APAPp分解成分解成正应力正应力和和剪应剪应力，力，有有 2coscos p2/2sinsin p14 2cos 2/2sin 0max900min45 2max00min 正负号规定：正负号规定： 正应力正应力拉应力为正，压应力为负拉应力为正，压应力为负 切应力切应力自外法线自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负顺时针转向它，为正；逆时针为负15三、圣维南原理（三、圣维南原理（Saint -Venant principle) 由来由来应力均匀分布的范围多大？应力均匀分布的范围多大？ (拉压公式适用范围）拉压公式适用范围） 法国科学家法国科学家Saint-Ven

7、ant指出：指出： 距外力作用部位相当远处，应力分布距外力作用部位相当远处，应力分布同外力作用方式无关，只同等效力有关同外力作用方式无关，只同等效力有关2.3 2.3 单向应力状态的本构关系单向应力状态的本构关系（Constitutive relations of uniaxial stress phase ), 胡克定律胡克定律在弹性范围内，有变形在弹性范围内，有变形 l 与外力与外力 F 成正比的弹性定律成正比的弹性定律 F=k l 它是由英国力学家它是由英国力学家胡克（胡克（Robert Hooke, 1635-1703) 于于1678年发现的，年发现的，实际上早于他实际上早于他1500

8、年前，东汉的经学年前，东汉的经学家和教育家郑玄（公元家和教育家郑玄（公元127-200）就已经发现）就已经发现 应当叫应当叫 郑玄郑玄- -胡克定律（胡克定律（Zheng-Hookes law ）17引入比例常数引入比例常数1/1/E E，得到得到 l= Fl / EA 它只揭示了变形同外力成正比，至于金属丝的它只揭示了变形同外力成正比，至于金属丝的粗细粗细 和和 长短长短 、何种材料何种材料 的影响，一概不知道的影响，一概不知道 实验证实：变形同外力成正比时，实验证实：变形同外力成正比时，还应当同还应当同金属丝的金属丝的 长短长短 l 成正比成正比、粗细粗细 (面积面积 A）成反比成反比 l

9、 Fl /A 18 实验表明：实验表明：E E 只同材料有关只同材料有关，称为，称为杨氏模量，杨氏模量，因为因为英国物理学家英国物理学家 Thomas YoungThomas Young（1773-18291773-1829）于）于18071807年提年提出出“弹性模量弹性模量”的概念，其实瑞士科学家欧拉的概念，其实瑞士科学家欧拉（Leohard EulerLeohard Euler，1707-17831707-1783）17271727年早于他年早于他8080年提出年提出把上式整理一下，得到把上式整理一下，得到 l /l= F / EAE / 实际是一个非常漂亮的结论实际是一个非常漂亮的结论

10、19 安全功能是否完全保证？安全功能是否完全保证？ 有时候虽然没有破坏，可是有时候虽然没有破坏，可是变形变形大，也不行大，也不行 还要保证还要保证 不过度变形不过度变形, , 即解决即解决 刚度问题刚度问题 于是提出于是提出变形计算变形计算问题问题2.4 2.4 拉压杆变形（拉压杆变形（Tensile or CompressiveTensile or Compressive Deformation Deformation） 前面从前面从应力应力方面实现了方面实现了安全功能安全功能 如何计算？因线应变是单位长度的线变形如何计算？因线应变是单位长度的线变形思路：思路：线应变线应变 线变形线变形 变

11、形变形不超过限度不超过限度 安全功能安全功能的第二个保证的第二个保证即解决了即解决了强度问题强度问题（不破坏）（不破坏）20 待求待求 杆的轴向总变形杆的轴向总变形 伸长（伸长（ElongationElongation） 拉应力为主导拉应力为主导 缩短（缩短（CompressionCompression） 压应力为主导压应力为主导求解出发点求解出发点 线应变线应变 （1 1）平均线应变）平均线应变 （此路不通此路不通）L LL LL LL LL L1 1 （2 2）一点线应变）一点线应变 （可行）（可行）一、轴向变形一、轴向变形（Axial DeformationAxial Deformati

12、on）LLL1LLLL121任意任意 x 点处的纵向线应变点处的纵向线应变dxdx )(EAxNE )(另一方面，由本构关系另一方面，由本构关系 于是于是 x 点处的微小变形为点处的微小变形为EAdxxNdx)()(PQ)(dxxdLLL1QP22得到得到整个杆的纵向线变形整个杆的纵向线变形 把所有点处的变形加起来（积分）把所有点处的变形加起来（积分）EAdxxNdx)()(LLEAdxxNdx00)()(LEAdxxNL0)(（EA 杆的抗拉压刚度）杆的抗拉压刚度）出发点出发点23LxEAxdxNL0)()(niiiiiAELNL13 3、阶段等内力、阶段等内力（n段中分别为常量）段中分别为

13、常量）N(x)xdx2 2、变内力变截面、变内力变截面)( xAA PPEAPLL 拉压杆的纵向线变形拉压杆的纵向线变形LEAdxxNL0)(拉压杆的刚度条件拉压杆的刚度条件L1 1、等内力等截面、等内力等截面PxN)(241、怎样画小变形节点位移图？、怎样画小变形节点位移图？（2 2）严格画法）严格画法 弧线弧线目的目的 求静定桁架节点位移求静定桁架节点位移 （3 3）小变形画法）小变形画法 切线切线二、二、 小变形的节点位移小变形的节点位移 画法与解法画法与解法ABCL1L2P1L2LCC（1 1）求各杆的变形量）求各杆的变形量Li 251LuB解：变形图如图解：变形图如图2， B点位移至

14、点位移至B点，由图点，由图sinctg21LLvBABCL1L21L2LBuBvB2、怎样计算小变形节点位移？、怎样计算小变形节点位移？ 目前目前几何学几何学 以后以后计算机程序计算机程序 例例 写出图中写出图中B点点 位移与两杆变位移与两杆变 形间的关系形间的关系26060sin6 . 12 . 18 . 060sin0ooATPTm kN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例 截面积为截面积为 76. .36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮的钢索绕过无摩擦的定滑轮 P=20=20kN，求刚索的应力和，求刚索的应力和 C点的垂直位移。点的垂直位移。 （刚索的（刚索的

15、E =177=177GPa，设横梁，设横梁ABCD为刚梁）为刚梁）解解 1 1）求钢索内力）求钢索内力（ABCD为对象）为对象）2) 2) 钢索的应力和伸长分别为钢索的应力和伸长分别为800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXA27mm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3 3）变形图如左）变形图如左 C点的垂直位移为：点的垂直位移为：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL28三三 横向变形横向变形（ Lateral Deformati

16、onLateral Deformation） 泊松比泊松比（ PoissonPoissons Ratios Ratio） 你观察到了吗？你观察到了吗？ 伴随杆的纵向伸长伴随杆的纵向伸长横向收缩横向收缩 你思考了吗？你思考了吗？ 纵向伸长纵向伸长横向收缩，有什么规律性？横向收缩，有什么规律性？横向线应变横向线应变横向变形横向变形29实验表明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时实验表明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时 泊松比是个小于泊松比是个小于1 1的常数的常数横向变形系数（或泊松比）横向变形系数（或泊松比） 横向应变（横向应变（Lateral strainLateral strain）

17、与）与 纵向应变（纵向应变（Axial strainAxial strain）之比）之比 或30理论上理论上用用简单简单描述描述复杂复杂工程上工程上为为（材料（材料组成的组成的）构件）构件当好当好医生医生从受力很小从受力很小破坏破坏n2- 材材 料料 在在 拉拉 伸伸 时时 的的 力力 学学 性性 能能n由来由来 弹簧弹簧: 力小时力小时,正比关系正比关系n 力过大力过大,失去弹性失去弹性 n郑玄郑玄-胡克定律胡克定律 反映的只是一个阶段的受力性能反映的只是一个阶段的受力性能n现在要研究材料的整个力学性能（应力现在要研究材料的整个力学性能（应力 应变）：应变）：31 一、一、 低碳钢拉伸时的力

18、学性能低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量（含碳量0.3%的碳素钢）的碳素钢）n要反映同试件几何尺寸无关的特性要反映同试件几何尺寸无关的特性n要标准化要标准化 形状尺寸形状尺寸 试件的试件的 加工精度加工精度 试验条件试验条件国家标准规定国家标准规定金属拉伸试验方法金属拉伸试验方法（GB228-87） 32试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）33 ddl105试验方法试验方法 拉力拉力 P P 从从 0 0 渐增渐增 ll 标距标距 的的伸长伸长 随之随之渐增渐增lp 得得 曲线（拉伸图）曲线（拉伸图）34为使为使材料材料的的性能性能同同几何

19、尺寸几何尺寸无关：无关： 将将 p 除以除以 A = 名义应力名义应力 将将伸长伸长 除以除以标距标距 = 名义应变名义应变从而得从而得 应力应变图应力应变图，即，即 曲线曲线 353637n弹性阶段弹性阶段 tan Ep s b 延伸率延伸率 %1001 AAA % 1001 lll n强化阶段强化阶段 n局部变形阶段局部变形阶段 截面收缩率截面收缩率 n屈服阶段屈服阶段 38n这两个值这两个值材料塑性标志材料塑性标志 卸载定律卸载定律冷作硬化冷作硬化 值越大，塑性越强值越大，塑性越强 对于低碳钢对于低碳钢% 5 塑性塑性 % 3020 % 8060 % 5 脆性脆性 39三、其它材料拉伸时

20、的力学性能三、其它材料拉伸时的力学性能1、塑性材料塑性材料看书看书 ，观察各有几个阶段？，观察各有几个阶段？没有明显屈服阶段的没有明显屈服阶段的 把塑性应变把塑性应变 0.2%对应的应力对应的应力称为名义屈服称为名义屈服极限，表示为极限，表示为402、脆性材料脆性材料（铸铁）铸铁）41铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时的力学性能1）应力）应力应变关系微弯曲线，没有直线阶段应变关系微弯曲线，没有直线阶段2）只有一个强度指标）只有一个强度指标b 3）拉断时应力、变形较小）拉断时应力、变形较小42三、三、材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能n避免被压弯，试件一般为很短的圆柱避免被压弯，试件一般为很短的圆柱 高度高度/直径直径 =1.5 - 31低碳钢压缩时的曲线低碳钢压缩时的曲线n屈服前与拉伸时大致相同屈服前与拉伸时大致相同2铸铁压缩时的曲线铸铁压缩时的曲线n较小变形下突然破