热点专题突破系列(一)

1、热点专题突破系列(一)导数的综合应用考点一考点一利用导数解决实际生活中的优化问题利用导数解决实际生活中的优化问题【考情分析】【考情分析】以实际生活为背景以实际生活为背景, ,通过求面通过求面( (容容) )积最大、用料最省、积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力能力, ,常与函数关系式的求法、函数的性质常与函数关系式的求法、函数的性质( (单调性、最值单调性、最值) )、不等式、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查. .

2、【典例【典例1 1】(2015(2015重庆模拟重庆模拟) )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池( (不计厚度不计厚度).).设该蓄水池的底面半径为设该蓄水池的底面半径为r r米米, ,高为高为h h米米, ,体积为体积为V V立方米立方米. .假设建造成本仅与表面积有关假设建造成本仅与表面积有关, ,侧面的建造成本为侧面的建造成本为100100元元/ /平方米平方米, ,底面底面的建造成本为的建造成本为160160元元/ /平方米平方米, ,该蓄水池的总建造成本为该蓄水池的总建造成本为1200012000元元(为圆周率为圆周率).).(1)(1)将将V V表

3、示成表示成r r的函数的函数V(r),V(r),并求该函数的定义域并求该函数的定义域. .(2)(2)讨论函数讨论函数V(r)V(r)的单调性的单调性, ,并确定并确定r r和和h h为何值时该蓄水池的体积最大为何值时该蓄水池的体积最大. .【解题提示】【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域, ,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为蓄水池侧面的总成本为因为蓄水池侧面的总成本为1001002rh=200rh2rh=200rh元元, ,

4、底面的总成本为底面的总成本为160r160r2 2元元, ,所以蓄水池的总成本为所以蓄水池的总成本为(200rh+160r(200rh+160r2 2) )元元. .根据题意得根据题意得200rh+160r200rh+160r2 2=12000,=12000,所以所以h= (300-4rh= (300-4r2 2),),从而从而V(r)=rV(r)=r2 2h h= (300r-4r= (300r-4r3 3).).因因r0,r0,又由又由h0h0可得可得r ,r0,V(r)0,故故V(r)V(r)在在(0,5)(0,5)上为增函数上为增函数; ;当当r(5, )r(5, )时时,V(r)0,

5、V(r) m 时，函数时，函数g(x)g(x)无零点；无零点；当当m= m= 时，函数时，函数g(x)g(x)有且只有一个零点；有且只有一个零点；当当0 0m m 时，函数时，函数g(x)g(x)有两个零点；有两个零点；当当m0m0时，函数时，函数g(x)g(x)有且只有一个零点有且只有一个零点. .综上所述，当综上所述，当m m 时，函数时，函数g(x)g(x)无零点；无零点；当当m= m= 或或m0m0时，函数时，函数g(x)g(x)有且只有一个零点；有且只有一个零点；当当0 0m m 时，函数时，函数g(x)g(x)有两个零点有两个零点. .2.3232323232323(3)(3)对任

6、意的对任意的b ba a0, 0, 1 1恒成立，恒成立，等价于等价于f(b)-bf(b)-bf(a)-af(a)-a恒成立恒成立. (. (* *) )设设h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(xh(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x0),0),所以所以( (* *) )等价于等价于h(x)h(x)在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减. .由由h(x)= 0h(x)= 0在在(0,+)(0,+)恒成立，恒成立，得得m-xm-x2 2+x=-(x- )+x=-(x- )2 2+ (x+ (x0)0)恒成立，恒成立，所以所以m (m (对对m= ,h(x)=0m= ,h(x)=

7、0仅在仅在x= x= 时成立时成立),),所以所以m m的取值范围是的取值范围是 ,+). ,+).f(b)f(a)bamx21m1xx121414141214【易错警示】【易错警示】解答本题有两点容易出错解答本题有两点容易出错. .(1)(1)第第(2)(2)问求问求m m及构造函数时容易忽略定义域及构造函数时容易忽略定义域. .(2)(2)第第(2)(2)问忽略对问忽略对m m分类讨论或分类标准不准确分类讨论或分类标准不准确. .【规律方法】【规律方法】1.1.利用导数确定三次式、分式、以利用导数确定三次式、分式、以e e为底的指数式、对数式及三角式为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数

8、或函数零点的方法方程根的个数或函数零点的方法(1)(1)构建函数构建函数g(x)(g(x)(要求要求g(x)g(x)易求易求,g(x)=0,g(x)=0可解可解),),转化为确定转化为确定g(x)g(x)的零点个数问题求解的零点个数问题求解, ,利用导数研究函数的单调性、极值利用导数研究函数的单调性、极值, ,并确定定义并确定定义区间端点值的符号区间端点值的符号( (或变化趋势或变化趋势) )等等, ,画出画出g(x)g(x)的图象草图的图象草图, ,数形结合求数形结合求解解. .(2)(2)利用零点存在性定理利用零点存在性定理: :先用该定理判断函数在某区间上有零点先用该定理判断函数在某区间

9、上有零点, ,然然后利用导数研究函数的单调性、极值后利用导数研究函数的单调性、极值( (最值最值) )及区间端点值的符号及区间端点值的符号, ,进进而判断函数在该区间上零点的个数而判断函数在该区间上零点的个数. .2.2.根据三次式、分式、以根据三次式、分式、以e e为底的指数式、对数式及三角式方程根的为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的个数求参数取值范围的方法个数或函数零点的个数求参数取值范围的方法构建函数构建函数g(x)(g(x)(要求要求g(x)g(x)易求易求,g(x)=0,g(x)=0可解可解),),利用导数研究函数的利用导数研究函数的单调性、极值单调性、极值, ,并

10、确定定义区间端点值的情况等并确定定义区间端点值的情况等, ,画出画出g(x)g(x)的图象草图的图象草图, ,数形结合得参数的取值范围或关于参数的不等式数形结合得参数的取值范围或关于参数的不等式( (组组) )再求解再求解. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015长春模拟长春模拟) )设函数设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ef(x)=ln x-ax,g(x)=ex x-ax,-ax,其其中中a a为实数为实数. .(1)(1)若若f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上是单调减函数上是单调减函数, ,且且g(x)g(x)在在(1,+)(1,+)上有最小值上有最小值, ,求求

11、a a的取值范围的取值范围. .(2)(2)若若g(x)g(x)在在(-1,+)(-1,+)上是单调增函数上是单调增函数, ,试求试求f(x)f(x)的零点个数的零点个数, ,并证明并证明你的结论你的结论. .【解析】【解析】(1)f(x)= -a0(1)f(x)= -a0在在(1,+)(1,+)上恒成立上恒成立, ,则则a ,x(1,+),a ,x(1,+),故故a1.g(x)=ea1.g(x)=ex x-a,-a,若若1ae,1ae,则则g(x)=eg(x)=ex x-a0-a0在在(1,+)(1,+)上恒成立上恒成立, ,此时此时,g(x)=e,g(x)=ex x-ax-ax在在(1,+

12、)(1,+)上是单调增函数上是单调增函数, ,无最小值无最小值, ,不合题意不合题意; ;若若ae,ae,则则g(x)=eg(x)=ex x-ax-ax在在(1,ln a)(1,ln a)上是单调减函数上是单调减函数, ,在在(ln a,+)(ln a,+)上是上是单调增函数单调增函数,g(x),g(x)minmin=g(ln a),=g(ln a),满足题意满足题意. .故故a a的取值范围为的取值范围为ae.ae.1x1x(2)g(x)=e(2)g(x)=ex x-a0-a0在在(-1,+)(-1,+)上恒成立，则上恒成立，则aeaex x, ,故故a ,f(x)= (xa ,f(x)=

13、(x0).0).若若0 0a ,a ,令令f(x)f(x)0 0，得增区间为，得增区间为(0, );(0, );令令f(x)f(x)0 0，得减区间为，得减区间为( ,+).( ,+).当当x0 x0时时,f(x)-;,f(x)-;当当x+x+时，时，f(x)-;f(x)-;当当x= x= 时时,f( )=-ln a-10,f( )=-ln a-10，当且仅当，当且仅当a= a= 时取等号时取等号. .故当故当a= a= 时，时，f(x)f(x)有有1 1个零点；当个零点；当0 0a a 时，时，f(x)f(x)有有2 2个零点个零点. .1e11axaxx1e1a1a1a1a1e1e1e若若

14、a=0a=0时，则时，则f(x)=ln xf(x)=ln x，易得，易得f(x)f(x)有有1 1个零点个零点. .若若a a0 0，则，则f(x)= -af(x)= -a0 0在在(0,+)(0,+)上恒成立，上恒成立，即即f(x)=ln x-axf(x)=ln x-ax在在(0,+)(0,+)上是单调增函数，上是单调增函数，当当x0 x0时，时，f(x)-;f(x)-;当当x+x+时时,f(x)+.,f(x)+.此时，此时，f(x)f(x)有有1 1个零点个零点. .综上所述，当综上所述，当a= a= 或或a0a0时时,f(x),f(x)有有1 1个零点；个零点；当当0 0a a 时时,f

15、(x),f(x)有有2 2个零点个零点. .1x1e1e【加固训练】【加固训练】(2015(2015杭州模拟杭州模拟) )设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2-a-a2 2x+m(a0).x+m(a0).(1)(1)若若a=1a=1时时, ,函数函数f(x)f(x)有三个互不相同的零点有三个互不相同的零点, ,求点求点m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在在-1,1-1,1内没有极值点内没有极值点, ,求求a a的取值范围的取值范围. .(3)(3)若对任意的若对任意的a3,6,a3,6,不等式不等式f(x)1f(x)1在在x-2,2

16、x-2,2上恒成立上恒成立, ,求实求实数数m m的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】(1)(1)当当a=1a=1时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+x2 2-x+m,-x+m,因为因为f(x)f(x)有三个互不相同的零点有三个互不相同的零点, ,所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-x+m=0,-x+m=0,即即-x-x3 3- -x x2 2+x=m+x=m有三个互不相同的实数根有三个互不相同的实数根. .令令g(x)=-xg(x)=-x3 3-x-x2 2+x,+x,则则g(x)=-(3x-1)(x+1).g(x)=-(3x-1)(x+1).令令g(x)0,

17、g(x)0,解得解得-1x ;-1x ;令令g(x)0,g(x)0,解得解得x-1x .x .所以所以g(x)g(x)在在(-,-1)(-,-1)和和( ,+)( ,+)上为减函数上为减函数, ,131313在在(-1, )(-1, )上为增函数上为增函数. .所以所以g(x)g(x)极极小值小值=g(-1)=-1,g(x)=g(-1)=-1,g(x)极极大值大值=g( )=g( )=所以所以m m的取值范围是的取值范围是(-1, ).(-1, ).13135.27527(2)(2)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2-a-a2 2x+m(a0),x+m(a0),所以所以f

18、(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax-a+2ax-a2 2. .因为因为f(x)f(x)在在x-1,1x-1,1内没有极值点内没有极值点, ,所以方程所以方程f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax-a+2ax-a2 2=0=0在区间在区间-1,1-1,1上没有实数根上没有实数根, ,由由=4a=4a2 2-12-12(-a(-a2 2)=16a)=16a2 20,0,二次函数对称轴二次函数对称轴x=- 0,x=- 0,当当f(x)=0f(x)=0时时, ,即即(3x-a)(x+a)=0,(3x-a)(x+a)=0,解得解得x=-ax=-a或或x= ,x= ,所以所以 或或 -1(a-3

19、-1(a3.a3.所以所以a a的取值范围是的取值范围是a|a3.a|a3.a3a3a1,a1,3a3(3)(3)令令f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax-a+2ax-a2 2=0,=0,解得解得x=-ax=-a或或x= ,x= ,且且a3,6a3,6时时, , 1,2,-a-6,-3.1,2,-a-6,-3.又因为又因为x-2,2,x-2,2,所以所以f(x)f(x)在在-2, )-2, )上小于上小于0,f(x)0,f(x)是减函数是减函数; ;f(x)f(x)在在( ,2( ,2上大于上大于0,f(x)0,f(x)是增函数是增函数; ;所以所以f(x)f(x)m maxax=max

20、f(-2),f(2),=maxf(-2),f(2),而而f(2)-f(-2)=16-4af(2)-f(-2)=16-4a2 20,0 x0时时,x,x2 2eex x. .(3)(3)证明证明: :对任意给定的正数对任意给定的正数c,c,总存在总存在x x0 0, ,使得当使得当x(xx(x0 0,+),+)时时, ,恒有恒有x x2 2cecex x. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用导数求极值利用导数求极值.(2).(2)构造新函数构造新函数, ,利用导数求最利用导数求最值值.(3).(3)对对c c分分c1,0c1c1,0c1分类讨论或对分类讨论或对x x0 0取特殊值取特殊值

21、, ,然后求解然后求解. .【规范解答】【规范解答】方法一方法一:(1):(1)由由f(x)=ef(x)=ex x-ax,-ax,得得f(x)=ef(x)=ex x-a.-a.又又f(0)=1-a=-1,f(0)=1-a=-1,得得a=2.a=2.所以所以f(x)=ef(x)=ex x-2x,f(x)=e-2x,f(x)=ex x-2.-2.令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=ln2.x=ln2.当当xln2xln2时时,f(x)0,f(x),f(x)ln2xln2时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增. .所以当所以当x=ln2x=ln2时时,f(x),f(x)

22、取得极小值取得极小值, ,且极小值为且极小值为f(ln2)=ef(ln2)=eln2ln2-2ln2=2-ln4,f(x)-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值无极大值. .(2)(2)令令g(x)=eg(x)=ex x-x-x2 2, ,则则g(x)=eg(x)=ex x-2x.-2x.由由(1)(1)得得g(x)=f(x)f(ln2)0,g(x)=f(x)f(ln2)0,故故g(x)g(x)在在R R上单调递增上单调递增, ,又又g(0)=10,g(0)=10,因此因此, ,当当x0 x0时时,g(x)g(0)0,g(x)g(0)0,即即x x2 2e0 x0时时,x,x2 2e0 x0

23、时时,x,x2 2cecex x. .取取x x0 0=0,=0,当当x(xx(x0 0,+),+)时时, ,恒有恒有x x2 2cecex x. .若若0c1,0c1,k= 1,要使不等式要使不等式x x2 2cekxkx2 2成立成立. .而要使而要使e ex xkxkx2 2成立成立, ,则只要则只要xln(kxxln(kx2 2),),只要只要x2ln x+ln kx2ln x+ln k成立成立. .令令h(x)=x-2ln x-ln k,h(x)=x-2ln x-ln k,则则h(x)=h(x)=所以当所以当x2x2时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)在在(2,+)(2,

24、+)内单调递增内单调递增. .取取x x0 0=16k16,=16k16,所以所以h(x)h(x)在在(x(x0 0,+),+)内单调递增内单调递增, ,又又h(xh(x0 0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,易知易知kln k,kln2,5k0,kln k,kln2,5k0,所以所以h(xh(x0 0)0.)0.1c2x21.xx即存在即存在x x0 0= ,= ,当当x(xx(x0 0,+),+)时时, ,恒有恒有x x2 2cecex x. .综上综上,

25、,对任意给定的正数对任意给定的正数c,c,总存在总存在x x0 0, ,当当x(xx(x0 0,+),+)时时, ,恒有恒有x x2 2ce0 x0时时,e,ex xxx2 2, ,所以所以e ex x= =当当xxxx0 0时时,e,ex x 因此因此, ,对任意给定的正数对任意给定的正数c,c,总存在总存在x x0 0, ,当当x(xx(x0 0,+),+)时时, ,恒有恒有x x2 2cecex x. .4,cxx2222xxee() () ,222222xx4 x1() ()()x ,22c 2c方法三方法三:(1):(1)同方法一同方法一. .(2)(2)同方法一同方法一. .(3)

26、(3)首先证明当首先证明当x(0,+)x(0,+)时时, ,恒有恒有 x x3 3e0 x0时时,x,x2 2eex x, ,从而从而h(x)0,h(x)h(x)0,h(x)在在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减, ,所以所以h(x)h(0)=-10,h(x)h(0)=-10,即即 x x3 3exxx0 0时时, ,有有 x x2 2 x x3 3eex x. .因此因此, ,对任意给定的正数对任意给定的正数c,c,总存在总存在x x0 0, ,当当x(xx(x0 0,+),+)时时, ,恒有恒有x x2 2ce0,f(x)0,即即0 xe0 xe时时, ,函数函数f(x)f(x)单调

27、递增单调递增; ;当当f(x)0,f(x)exe时时, ,函数函数f(x)f(x)单调递减单调递减, ,故函数故函数f(x)f(x)的单调增区间为的单调增区间为(0,e),(0,e),单调减区间为单调减区间为(e,+).(e,+).ln xx，21 ln x.x(2)(2)因为因为e3,e3,所以所以eln3eln,ln eln3,eln3eln,ln eln3,即即ln3ln3e elnlne e,ln e,ln eln3ln3. .于是根据函数于是根据函数y=ln x,y=ey=ln x,y=ex x,y=,y=x x在定义域上单调递增在定义域上单调递增, ,可得可得3 3e ee e3 3,e,e3 3ee33. .故这故这6 6个数的最大数在个数的最大数在3 3与与3 3之中之中, ,最小数在最小数在3 3e e与与e e3 3之中之中. .由由e3e3及及(1)(1)的结论的结论, ,得得f()f(3)f(e),f()f(3)f(e),即即lnln 3ln e.3e由由 得得lnln3 3ln33 3; ;由由 得得ln3ln3e eln eln