自控-第二章1-20150917

1、冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理自自 动动 控控 制制 原原 理理冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章 线性连续系统的数学模型线性连续系统的数学模型冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理主要内容主要内容动态微分方程的编写动态微分方程的编写非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化传递函数传递函数系统动态结构图系统动态结构图拉氏变化及应用拉氏变化及应用信号流程图信号流程图0606脉冲响应函数脉冲响应函数0707冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18一系统的数学模型 描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律可用数学表达式

2、或图形表示。 其中，描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达式称为系统数学模型。第二章第二章 线性连续系统的数学模型线性连续系统的数学模型冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18一系统的数学模型静态系统：系统中各变量随时间变化缓慢，即对时间的导数可忽略，称系统处于静态，相应的系统称为静 态系统。 动态系统：系统中各变量对时间的导数不可以忽略，称系统处于运动状态或动态，相应的系统称为动态系统或动力学系统。第二章第二章 线性连续系统的数学模型线性连续系统的数学模型冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二动态模

3、型 控制理论研究动态系统。在动态过程中，用微分方程来描述系统各变量之间的关系，称为动态模型。 常用的动态模型有微分方程、传递函数、动态结构图以及状态空间表达式。第二章第二章 线性连续系统的数学模型线性连续系统的数学模型冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二动态模型 系统数学模型的建立一般采用机理分析法（理论建模）和实验辨识法。机理分析法就是根据系统中各元件所遵循的物理规律（如力学、运动学、热学等）和运行机理，列出微分方程式。第二章第二章 线性连续系统的数学模型线性连续系统的数学模型冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18一

4、、动态微分方程 动态微分方程又称为运动方程。许多表面完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统及经济学系统等）却可能有完全相同的数学模型，数学模型表达了这些系统的共性。第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18一、动态微分方程相似系统：具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统；相似量：在微分方程中相应位置上的物理量称为相似量。第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二编写动态微分方程 一个完整的控制系统由若干个元器件或环节以

5、一定方式连接而成，列写系统微分方程步骤如下：根据要求确定系统的输入量和输出量；对系统中每一个具体的元器件或环节按照其运动规律列写出其运动方程，最后得到一组描述系统运行规律的微分方程；联立这些微分方程，消去中间变量，得到只含有输入量与输出量的的微分方程。第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二编写动态微分方程例1如下图所示RLC 串联电路，设输入量为ur(t) ，输出量为u c(t) ，试列写其微分方程。解：（1）建立系统输出uc(t)和输入ur(t)的动态关系，可设回路电流i(t) 为中间变量；第一节第一节

6、动态微分方程的编写动态微分方程的编写冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二编写动态微分方程（2）根据基尔霍夫定律，可以列出第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写（3）消去中间变量i( t)及其导数项可得冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二编写动态微分方程例2图示为质量弹簧阻尼系统，质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y,求该系统以外力F为输入，y为输出的微分方程。第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二编写动态微分方

7、程解：（1）外力F为输入量，位移y为输出量。（2） 根据牛顿定律，第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写 maF22dtydmdtdyfkyFa物体的加速度； K弹簧系数； f 阻尼器的阻尼系数； Fs弹簧阻力； Ff阻尼器的粘性摩擦阻力。冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二编写动态微分方程解：第一节第一节 动态微分方程的编写动态微分方程的编写 由上面两个例子可以看出，两个系统是一对相两个系统是一对相似系统，似系统，F与与ur(t)为相似量为相似量。研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型的各种各样系统的特点，从而用一个易于实现的

8、系统来研究与其相似的复杂系统。Fkydtdyfdtydm2222dtydmdtdyfkyF冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18 严格意义上讲，不存在绝对的线性系统，实际物理系统都是非线性的，只不过每个系统的非线性程度不同而已。在经典控制领域，主要研究线性定常控制系统。线性定常系统：描述该系统的数学模型是线性常系 数微分方程。可应用线性叠加原理。非线性系统：描述该系统的数学模型是非线性（微分）方程，这种系统不能用线性叠加原理。 在经典控制领域，对非线性环节的处理能力很小第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化冶金与能源学院 于凤荣自 动 控

9、 制 原 理第二章第二章2015-9-18 但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，大部分非线性系统可以在近似的当作线性系统。一非线性数学模型的线性化 就是指有条件的将非线性数学模型转化为线性数学模型的方法。通过线性化得到的线性微分方程，将有条件的、近似的描述控制系统的运动过程，即只有当近似条件成立时，基于该线性化微分方程来讨论控制系统的运动状态才有实际意义。第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二非线性方程线性化的假设 将非线性方程线性化的一个基本假设：变量偏离其预期工作

10、点的偏差非常小。由数学级数理论可知：若非线性函数在工作点区域内有各阶导数存在，则在工作点的邻域内可将非线性函数展开成泰勒级数。 当偏差很小时，可略去二阶以上的高阶项，从而得到只包含偏差一次项的线性化方程，这种线性化方法称为小范围线性化。第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18 例1：设具有一个自变量的连续变化的非线性函数为y=f(x)，x为输入量，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A点（x0，y0 ）。A点附近有点B（ x0+x , y0+y ），则当增量 很小时，AB段可近似看成是线性的。第二节第二

11、节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化AByx00 xxx00y)(xfy yy0冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18解：设f(x)在A（x0，y0 ）点连续可微，则将函数在该点展开成泰勒级数，得第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 20220000! 21)(xxdxxfdxxdxxdfxfyxxxx若x很小，则，xKxdxdyyxxdxdyyyxxxx00,00即冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18 在上式中，K为与工作点有关的常数，是工作点A处的切线的斜率。显然，上式为一线性方程，

12、是原非线性方程的线性表示。它的几何含义是，在工作点A的邻域内用通过该点的切线近似代替原来的曲线。为保证近似的精度，只能在工作点附近将非线性函数展开成泰勒级数。第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化xKxdxdyyxxdxdyyyxxxx00,00即冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18例2：对于具有两个自变量的非线性系统，x1、x2为输入量，y=f(x1,x2)为输出量，系统的静态工作点为 y0=f(x10,x20) 。在静态工作点的邻域内将输出展成泰勒级数，即第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2101212202

13、210112010)(! 21)()(),(xxxfxxxfxxxfxxfy.)()(2202222202101212xxxfxxxxxxf冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18 上式中各阶偏导数均为x1=x10、x2=x20处的偏导数，当偏差x1=x1 - x10 、 x2=x2 x20 很小时，略去二阶以上的高阶项，得第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化)()(),(202210112010 xxxfxxxfxxfy)()(202210110 xxkxxkyy2211xkxky即即上式即具有两个自变量的非线性系统的线性化数学模型冶金

14、与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三线性化处理的注意事项1. 在进行线性化之前，必须明确该方程在预期工作点处有关于自变量的各阶导数或偏导数存在。本质非线性：由于不存在关于自变量的各阶导数，而不能进行线性化的非线性；非本质非线性：能进行线性化的非线性特性。2. 进行线性化时，先确定系统的静态工作点，因为工作点不同，线性化方程中的参数也不同。第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三线性化处理的注意事项3. 当输入量的变化范围较大时，不适于采用上述方法进行建模，因为误差大

15、。4. 线性化后的方程是增量方程。第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18 求解系统微分方程式，得到输出量的时间函数曲线，并对其进行分析，是研究自动控制系统在一定输入作用下系统的输出和性能情况的最直接的方法。对于复杂的系统，直接求解微分方程是非常困难的，于是引入了拉普拉斯积分变换。 在数学上，为了把较复杂的运算转化为相对简单的运算，常常采取一种变换手段。通过拉普拉斯变化，微分方程的求解问题就转化为代数方程求解和查表的问题，使计算变得简单。第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用冶金与能源学院 于凤

16、荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18一、积分变换 通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量的积分第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用dt), t (K) t (f)(baF实质就是把某函数类A中的函数f(t)通过上述积分的运算变成另一函数类B中的函数F()，其中K(t,) 积分变换的核，是确定的二元函数，不同的积分域和积分核对应不同名称的积分变换；f(t)象原函数； F() f(t)的象函数冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二、拉普拉斯积分变换 设函数f(t)当t 0时有定义，且积分第三节第三节 拉氏变换

17、及其应用拉氏变换及其应用在s的某一域内收敛，则下式0stdtetf)(（s是一个复参量）是一个复参量）dtetfst0)(sF）（称为函数f(t)的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换）。记为F(s)=L f(t)F(s)称为称为f(t)的拉氏变换（象函数）的拉氏变换（象函数）;f(t) 称为称为F(s)的拉氏逆变换（象原函数）。的拉氏逆变换（象原函数）。冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二、拉普拉斯积分变换 例1：设f(t)=c(c是常数)，则第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用例2：设f(t)=eat(是常数)，那么 scscecdtecL0st0

18、stas1asedteeeL0tas0atstat)(冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18二、拉普拉斯积分变换 例3：设f(t)=t2，则 第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用由分部积分可得 02st2dttetL 0st0st222tdtsesettL 因为当t 0时，t2e-st 0,所以有 30st0st2s2dtses2tses2tL冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质1. 线性性质：第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用其中，（a,b为任意常数）。 表明函数线性组合的拉氏变

19、换等于各函数拉氏变换的线性组合。)()()()(tgbLtfaLtbgtafL冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质2. 微分性质：若Lf(t)=F(s),则有第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用 表明一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以复参数s，再减去函数的初值。 )()()(0fssFtfL冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质2. 微分性质：第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用推论推论：若Lf(t)=F(s),则有n1k1kknn(n)0fssFs

20、tfL)()()()(当初始条件为零时，即函数及其各阶导数的初值全为当初始条件为零时，即函数及其各阶导数的初值全为零时，有零时，有)()(sFstfLn(n)冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质3. 积分性质：若Lf(t)=F(s),则有第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用 表明一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s，再加上函数在零点的积分除以s。sdttfsFs1dttfL0tt0)()()(冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质3. 积分性质：第三节

21、第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用推论：若Lf(t)=F(s),并且初始条件为零时，则有nnnssFdt)tfL)()()(冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质4. 初值定理：若Lf(t)=F(s),且第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用存在，则有)(ssFlims)(ssFlimf(t)lims0t)()(ssFlim0fs 表明函数f(t)在 t=0时的函数值可以通过f(t)的拉氏变换F(S)乘以s取s 时的极限值得到，它建立了函数f(t)在坐标原点的值与函数s F(S)的无限远点的值之间的关系。冶金与能源学院 于凤荣

22、自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质5. 终值定理：若Lf(t)=F(s),且sF(s)的所有奇点全在s平面的左半部，则第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用 表明函数表明函数f(t)在在 t 时的数值（即稳定时的数值（即稳定值），可以通过值），可以通过f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(S)乘以乘以s 取取s 0时时的极限值得到，它建立了函数的极限值得到，它建立了函数f(t)在无限远的值与函在无限远的值与函数数s F(S)在原点的值之间的关系。在原点的值之间的关系。)()(ssFlimtflim0st)()(ssFlimf0s冶金与能源学院 于凤荣自 动

23、 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质5. 终值定理：应用终值定理要注意定理条件是否满足应用终值定理要注意定理条件是否满足第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用例如：函数例如：函数f(t)的拉氏变的拉氏变换换1s1sF2)(则其奇点为s= j，位于虚轴上，条件不满足，虽然01sslimssFlim20s0s)(sint1s1Ltf21-)(sintlimtflimtt)( 极限不存在极限不存在冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质5. 终值定理：第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用 有时我们不关心

24、函数f(t)的表达式，而是需要知道它在t 0或t 时的性态，而初值定理与终值定理给我们提供了方便。可由F(s)来直接求两个特殊值f(0)或f(+)。冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18三、拉氏变换的性质6. 相似定理：若Lf(t)=F(s),则有第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用（c为大于零的常数）。7.延迟性质：若Lf(t)=F(s),又t 0时f(t)=0,则对于任一非负实数,有)()(csFc1ctfL)()(sFetfL-s8.位移性质：若Lf(t)=F(s),则有)()(asFtfeLat表明一个象原函数乘以指数函数eat的拉氏变换等

25、于其象函数作位移a。冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18四、常用函数的拉氏变换1. 单位阶跃函数：第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用2.单位脉冲函数：3.单位斜坡函数：)()(t1tfs1sF)()()(ttf1sF)(ttf)(2s1sF)(冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18四、常用函数的拉氏变换4. 正弦函数：第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用5.指数函数：例4.求单位阶跃函数 的拉氏变换。tsintf)(22ssF)(atetf)(as1sF)(0t10t0tu,)(s1es1dtetu

26、L0st0st-)(解：解：冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18五、拉氏变换的应用 拉氏变换可以用来解线性微分方程及求线性系统的传递函数。1.解线性微分方程 先对微分方程取拉氏变换，化为象函数的代数方程，再根据这个代数方程求出象函数，然后取拉氏逆变换就得到了原微分方程的解。示意图如下。第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18五、拉氏变换的应用1.解线性微分方程 第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用象原函数象原函数 （微（微分方程的解）分方程的解）象函数象函数微微 分分

27、 方方 程程象函数的象函数的代数方程代数方程取拉氏变换取拉氏变换解代数方解代数方程程取拉氏逆变换取拉氏逆变换冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18五、拉氏变换的应用2. 求解传递函数（后续讲解）。第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18六、拉氏逆变换 在前面讨论了由已知函数f(t)求其象函数F(s),在实际应用中也常会碰到与此相反的问题，即已知象函数F(s),求其象原函数f(t)。 从象函数F(s)求其象原函数f(t)的一般公式如下第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用0

28、tdsesFj21tfjjst,)()(js右端的积分称拉氏反演积分。冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18六、拉氏逆变换第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用0tdsesFj21tfjjst,)()(拉氏反演积分0stdtetfsF)()(拉氏变换式一对互逆的积分变换公式一对互逆的积分变换公式冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18七、拉氏逆变换的求解方法1. 留数的方法（当F(s)满足一定的条件时）第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用0tesFRestfn1kst,)()(若F(s)是有理函数：)()()(sBsAsF 其中A(s)、B(s)是不可约的多项式， B(s)的次数是n, A(s)的次数小于B(s)的次数。冶金与能源学院 于凤荣自 动 控 制 原 理第二章第二章2015-9-18七、拉氏逆变换的求解方法1. 留数的方法（当F(s)满足一定的条件时） 若B(s)有n个单零点s1,s2,sn ，即这些点都是 的单极点，根据留数的计算方法，有第三节第三节 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用)()(sBsAn1ktskk0tesBsAt