理论力学第十三章

1、2 本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法动静法。 131 惯性力惯性力 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理 132 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 133 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 134 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用达朗伯原理的应用 第十三章第十三章 达朗伯原理达朗伯原理413-1惯性力惯性力 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理人用手推车amFF力 是由于小车具有

2、惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力惯性力。F 定义：质点惯性力定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。性反抗的总和。amQ一、惯性力的概念惯性力的概念 5222222dtzdmmaQdtydmmaQdtxdmmaQzzyyxx0222bbnnmaQvmmaQdtsdmmaQ注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。6 非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，

3、合力FNamNFR0amNF0QNF质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理7 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。8例例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a9 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 ) ( maQamQ0cossin , 0QmgXtgga 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式

4、加速计的原理。aaa解：解：由动静法, 有 解得 1013-2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：0)()()(0iOiOiOiiiQmNmFmQNF 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 ) ,1,2,. ( 0niQNFiii注意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 则 0)( , 0)()(iiOiiFmF 0)()( 0)()(iOeiOieiQmFmQF11 表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力

5、无关。dtKdvmdtdaMamQiiCiii)(dtLdvmmdtdammQmOiiOiiOiO)()()(12对平面任意力系：对平面任意力系： 0)()( 0 0)()()(iOeiOiyeiixeiQmFmQYQX对于空间任意力系：对于空间任意力系：0)()( , 00)()( , 00)()( , 0)()()()()()(izeizizeiiyeiyiyeiixeixixeiQmFmQZQmFmQYQmFmQX 实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，13 13-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简

6、化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。QRQOM )( 与简化中心有关与简化中心无关QmMaMamQROQOCQ 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。14一、刚体作平动一、刚体作平动向质心C简化：CQaMR0)()(CiiCiiiCQCarmamrQmMcQaMR刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻翻页页请请看看动动画画1516空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：iiiamQ主矢：主矩：CQaMR)( 0 )()(2反向负号表示与Oiii

7、iiniOiOQOIrmrmrQmQmM二、定轴转动刚体二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。O直线 i : 平动， 过Mi点，17向O点简化：CQaMROQOIM向质点C点简化：CQaMRCQCIM作用在C点作用在O点18讨论：讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。2meRQ19讨论：讨论：转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）CQIM20讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0 , 0QCQMR（主矢、主矩均为零）21 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（

8、质点C）的平动：绕通过质心轴的转动： 作用于质心CQaMRCQCIM CQaMRCQCIM三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动2223 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：0)( , 0)(0 , 00 , 0)()()(QCeCCQyeQxeMFmFmRYYRXX实质上： )( , , )(22)(22)(22eCCeCeCFmdtdIYdtydMXdtxdM24例例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 选杆AB为研究对象 虚加惯性力系： 2mlRQ3 , 02mlIMmaRAQAnnQ解解：根据动静

9、法，有25(3) 02/cos , 0)(2) 0sin , 0(1) 0cos , 0000QAAnQnAnQAMlmgFmRmgRFRmgRF。得代入得由得由 cos4 :(1) ; cos23 :) 3( ; sin :)2( 000mgRlgmgRAnA26cos2331cos22lgmllmg0 , cos23g , , 此时时000lt用动量矩定理用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解解：选AB为研究对象2coslmgIA由得：由质心运动定理：nAnARmgmaglamgRma000sin0cos432 cos00cos4 , sin mgRmgRAnA2

10、7 例例2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。TS、 取轮为研究对象 虚加惯性力系： 2mIMmRmaRCQCCQ解：解：由动静法，得：O28(3) 0 , 0)(2) 0 , 0(1) 0 , 0QCCQMFRMFmSPNYRTFX由(1)得TFmRRQ得代入所以(3) mRTF (4) )()( 2222RTRRFTFRFRMmRTFmFRMFRMQC由(2)得 N= P +S，

11、要保证车轮不滑动，必须 Ff N =f (P+S) (5)RTRRSPfM22)( 可见，可见，f 越越大越不易滑动。大越不易滑动。 Mmax的值的值为上式右端的为上式右端的值。值。把(5)代入(4)得：O2913-4 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 一、刚体的轴承动反力一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩RQROMQOM )()()( )(kQmjQmiQmkMjMiMQmQrMaMRiziyixQzQyQxiOiiQOCQ30iiiiiii

12、iiiiiiniiiixnixixQxRzmRzmamzamzQmQmQmMcossin cossin )()()( 2ziiiiiizQzyzzxQyIRmRamQmMIIM22)( 同理可得)()( /co /sin 2iiiiiiQxiiiiiizymxzmMRxsRy故而2 , yzzxQxiiiyziiizxIIMzymIxzmI惯性积令31根据动静法：. 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 QzzBAQyyABQxxzBQyyBAQxxBAMMOBXOAXMMOAYOBYMMRZRRYYRRXX其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得32/

13、)()( /)()(/)()( /)()(11112222xBQxQyxyBQyQxyxBQyQxyxAQxQyxyARZllRMlRMXllRMlRMYllRMlRMYllRMlRMX 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动附加动反力反力，它可以通过调整加以消除。 使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力330QyQxMM0QyQxRR当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。0022yzzxyzzxIIII)0(04222yzzxxzI

14、II00CyCxMaMa0CCyx对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心34 静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念二、静平衡与动平衡的概念35例例1 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a)36 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动

15、平衡的。不一定是动平衡的。GrrgGmrGrrRMbGrmrGrMaQQQ2222212121 , 0 : )(21 , 0 : )(对对2121 ,例例2 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OO37 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解

16、它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用达朗伯原理的应用38 选取研究对象选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。 39 列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。求解求知量。 注注 的方向及转向已在受力图中

17、标出，建立方程时，只需按 代入即可。QOQMR , OQOCQIMmaR , 40 例例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象解：解：方法1 用达朗伯原理求解41虚加惯性力和惯性力偶：IIMamRamROQOQQ , , 222111由动静法：00 , 0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列补充方程： 代入上式得：2211 , raragIrmrmrmrm222211

18、221142方法2 用动量矩定理求解 2211)(222211222111)( grmgrmMIrmrmIrvmrvmLeOOgIrmrmrmrm2222112211 根据动量矩定理：2211222211)( grmgrmIrmrmdtd取系统为研究对象43gIrmrmrmrm2222112211 )(2 21212122221122222211IrmrmIvmvmTgdrmrmIrmrmdWdTF)()(2 22112222112得由取系统为研究对象，任一瞬时系统的 )gdr-mr(m dgrmdgrmgdsmgdsmWF221122112211 元功两边除以dt，并求导数，得方法3 用动能

19、定理求解44例例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？45解：解：方法方法1 用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶OOOQRgQIM221列出动静方程：(3) 0 sin0(2) 0cos0(1) 0 , 0)(TQ , YYT , XXMMTRFmOOQOAAQRgPagPR2QA21M , 取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性

20、力偶MQC如图示。QR46列出动静方程：(5) 0sin , 0(4) 0sin , 0)(PFRTXMRTRRRPFmQQAQC运动学关系： ，OAOAARRa 将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：。 )3()sin3( , )3()sin(22RPQQRMPTgRPQRPMO47代入(2)、(3)、(5)式，得：。 )3()sin(, sin)3()sin3( , cos)3()sin3(RPQPRMP FQRPQQRMPYRPQQRMPXOO48方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象)sin

21、( sinPRMPRMWF)sin()3(4 , 2212PRMCRPQgWTTOF得由 )( AORRv222222221)3(4 22121221)( RPQgRgPvgPRgQTCTOAO常量gRPQPRMO2)3()sin(2 两边对t求导数： )sin(2)3(412OOOPRMRPQg49(2) 用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程） 取轮O为研究对象，由动量矩定理得TRMRgQO22RPQQRMPT)3()sin3(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：sin0 , cos0 , TQYYMaTXXMaOCyOCxQRPQQRMPYRP

22、QQRMPXOO sin)3()sin3( , cos)3()sin3(50(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程)( OAAAFRIRPQPRMPgRPQPRMRgPRRIFAA)3()sin()3()sin(22122方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。TOXOYF51例例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计

23、。解解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：P52222224322121CCvgPRgPvgPT 主动力的功：sinPSWF由动能定理 得FWTT12sin34 sin04322gSvPSvgPCC对 t 求导数，则：sin32 , sin32RggaC(2) 用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQCQRP53sin3sin3221, sin322PRRgRgPMPagPRQCCQ 0sincossin32sin3 , 0)(0sinsin32 , 00cossin32 , 0RPP