第二次课：定积分的应用

1、定积分的应用定积分的应用三。定积分的应用三。定积分的应用 1.定积分的元素法（参多媒体定积分的元素法（参多媒体） 平面图形面积；直角坐标，极坐标，例平面图形面积；直角坐标，极坐标，例1,7 体积旋转体体积，例体积旋转体体积，例1,4,5；平行截面面积；平行截面面积已知体积，例已知体积，例7；考研题：；考研题：1,3,5,6 物理应用：（物理应用：（1）功例）功例15；（；（2）水压力）水压力例例67（3）引力例引力例89 考研题考研题4,8 定积分的微元法定积分的微元法 定积分的应用定积分的应用 定积分是求某种总量的数学模型，它在定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学

2、等方几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善积分学的不断发展和完善. 因此，在学习因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和会用定积分解决实际问题的基本思想和方法方法微元法，不断积累和提高数学微元法，不断积累和提高数学的应用能力的应用能力.Ux,ba,ba,dxxxUUdxxfdU)( 内容要点内容要点在应

3、用学科中广泛采用的将所求量在应用学科中广泛采用的将所求量（总量总量）表示为定积分的方法）表示为定积分的方法微元法微元法，这个方法的主要步骤如下：这个方法的主要步骤如下： 一、一、由分割写出微元由分割写出微元 根据具体问题，选根据具体问题，选取一个积分变量，例如取一个积分变量，例如 为积分变量，并确为积分变量，并确定它的变化区间定它的变化区间，任取任取的一个区间的一个区间，求出相应于这个区间微元上部分量，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的近似值，即求出所求总量的区间的区间微元，微元，；，并将其表示为，并将其表示为： 微元微元dxxfdU)(UbabadxxfdUU)(二、二

4、、由微元写出积分由微元写出积分 根据根据写出表示总量写出表示总量的定积分的定积分应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：U,ba,baUUU1） 所求总量所求总量关于区间关于区间应具有可加性，即如果把区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间分成许多部分区间, 则则分成许多部分量分成许多部分量, 而而等于所有部分量等于所有部分量之和之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的这一要求是由定积分概念本身所决定的;相应地相应地Udxxf)(UdUdxxf)(dxxfU)(dxdxxfdU)(（2）使用微元法的关键是正确给出部分量）使用微元法的关键是正确

5、给出部分量的近似表达式的近似表达式，即使得，即使得. 在通常情况下，要检验在通常情况下，要检验是否为是否为的高阶无穷小并非易事，因此，的高阶无穷小并非易事，因此，的合理性的合理性.在实际应用要注意在实际应用要注意积分的意义积分的意义1.定积分定积分 可看作一个可看作一个“高级高级”的的加加法法即求和与取极限；即将即求和与取极限；即将“微元微元”在区间在区间a,b上进行上进行“累积累积”这就是这就是“元元素法素法”的思想，因此在用元素法计算定的思想，因此在用元素法计算定积分时关键在于找准积分时关键在于找准“元素元素”及及“累积累积”的区间的区间a,b( )baf x dx( )f x dx2.这

6、种加法是建立在这种加法是建立在“平行平行”意义意义上的，如果是非平行意义，例如非上的，如果是非平行意义，例如非平行力，则要进行平行力，则要进行“平行化平行化”处理。处理。3.要注意定积分的应用是有范围的：要注意定积分的应用是有范围的：其总量必须与某直线段（区间）有其总量必须与某直线段（区间）有关，否则便不能用定积分处理。关，否则便不能用定积分处理。dxxfdV2)(.)(2badxxfV2 ( )dVydy 2 ( ).dcVydy一、一、旋转体的体积旋转体的体积 1.绕绕x轴旋转轴旋转体积微元体积微元, 旋转体的体积旋转体的体积 2.绕绕y轴旋转轴旋转旋转体的体积旋转体的体积 （2） （1）

7、,)(dxxAdV .)(badxxAV 二、二、平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积体积微元体积微元 所求立体的体积所求立体的体积 2( )xf x dx2( )byaVxf x dx注：绕注：绕y轴旋转还可用所谓的轴旋转还可用所谓的“柱壳法柱壳法”：设由函数设由函数y=f(x)，【x，x+dx】 直线：直线：x=a，x=b，x轴围成的曲边梯形绕轴围成的曲边梯形绕y轴旋转：取区间轴旋转：取区间微元：【微元：【x，x+dx】其对应的以】其对应的以dx为底，为底，f(x)为高的矩形绕为高的矩形绕y周旋转的体积微元为周旋转的体积微元为dv=，故绕，故绕y轴旋转的体积为：轴旋

8、转的体积为： （3）sin, (0)yxx12VV2002( )2sin2yVxf x dxxxdx例例1.求求x周所围曲边梯形绕周所围曲边梯形绕y轴轴1的旋转体体积的旋转体体积解解1.如应用公式（如应用公式（2）则化成两个曲边梯形）则化成两个曲边梯形绕绕y轴旋转体积之差轴旋转体积之差（运算麻烦）（运算麻烦）2.应用公式（应用公式（3）(sin ),(1cos )xa ttyat02t 202333022(sin )(1 cos ) (sin )6ayVxydxa ttt d tta例例2.计算摆线计算摆线相应于相应于的图形绕的图形绕x，y轴旋转所得旋转体体积。轴旋转所得旋转体体积。解：方法解

9、：方法1.绕绕y轴旋转：轴旋转： 的一拱，直线的一拱，直线y=0所围成所围成（运算麻烦）（运算麻烦）方法方法2.应用公式（应用公式（3）得：）得：2222332100( )( )6aayVxy dyxy dya 物理应用物理应用例例1 设设40牛的力使弹簧从自然长度牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长厘米拉长成成15厘米厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢问需要作多大的功才能克服弹性恢复力复力, 将伸长的弹簧从将伸长的弹簧从15厘米处再拉长厘米处再拉长3厘米厘米?SSab例例2 在底面积为在底面积为的圆柱形容器中盛有一的圆柱形容器中盛有一)从点从点处推移到处推移到处处. 计算在移动过程中计算在

10、移动过程中, 气体气体在等温条件下在等温条件下, 由于气体的膨胀由于气体的膨胀定量的气体定量的气体. , 把容器中的一个活塞把容器中的一个活塞(面积为面积为压力所作的功压力所作的功.功功例例3 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米米, 底半径为底半径为3米米, 池内盛满了水池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出问要把池内的水全部吸出, 需需作多少功作多少功?例例4 设有一直径为设有一直径为20m的半球形水池的半球形水池, 池内池内贮满水贮满水, 若要把水抽尽若要把水抽尽, 问至少作多少功问至少作多少功.R例例5 一个横放着的圆柱形水桶一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶内盛有半桶水桶水,

11、 设桶的底半径为设桶的底半径为, 水的比重为水的比重为, 计算桶的一端面上所受的压力计算桶的一端面上所受的压力.水压力水压力aa2例例6 将直角边各为将直角边各为及及垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力边的边长，求薄板所受的侧压力.的直角三角形薄板的直角三角形薄板引力引力lamM例例7假设有一长度为假设有一长度为 线密度为线密度为的均匀细棒的均匀细棒单位处有一质量为单位处有一质量为的引力的引力.上距棒上距棒，在其中垂线，在其中垂线试计算该棒对质点试计算

12、该棒对质点的质点的质点课堂练习课堂练习1.有一圆台形的桶有一圆台形的桶, 盛满了汽油盛满了汽油, 桶高为桶高为3米米, 上、下底半径分别为上、下底半径分别为1米及米及2米米, 试求将桶内试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度汽油密度3/800米千克2.一矩形水闸门一矩形水闸门, 宽宽20米米, 高高16米米, 水面与闸水面与闸门顶齐门顶齐, 求闸门上所受的总压力求闸门上所受的总压力. 定积分的应用题解答定积分的应用题解答变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功例例1 设设40牛的力使弹簧从自然长度牛的力使弹簧从自然长度10厘米厘米拉长成拉长成15厘米厘米, 问需要作多大的

13、功才能克问需要作多大的功才能克服弹性恢复力服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从将伸长的弹簧从15厘米处厘米处再拉长再拉长3厘米厘米?.)(kxxF解解 如图如图(见系统演示见系统演示)，根据胡克定律，有，根据胡克定律，有分析：应用虎克定理；先求分析：应用虎克定理；先求k，再求功，再求功,40)05. 0(F,4005. 0k.800k.800)(xxF56. 1)025. 0064. 0(40040080008. 005. 0208. 005. 0 xxdxW当弹簧从当弹簧从1010厘米拉长到厘米拉长到1515厘米时，它伸长量厘米时，它伸长量完为完为 5 5厘米厘米0.050.05米米. .因有因有

14、即即故得故得于是可写出于是可写出这样，弹簧从这样，弹簧从1515厘米拉长到厘米拉长到1818厘米，所作的厘米，所作的功为功为( (焦焦).).注意：积分区间不要写成【注意：积分区间不要写成【15,18】，】，F对应对应的是弹簧的是弹簧“拉伸拉伸”的长度的长度qrr2().qFkkr是常数例例2 把一个带把一个带电量的点电荷放在电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知由物理学知道道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为距离原点为的地方的地方, 那么

15、电场对它的作用力的大小为那么电场对它的作用力的大小为 ar rbr F 如图如图6-5-2所示，当这个单位正电荷所示，当这个单位正电荷 在电场中从在电场中从 处沿处沿轴移动到轴移动到处时处时, 计算电场力计算电场力对它所作的功对它所作的功.分析：用元素法分析：用元素法r,bar ,drrr,2drrkqdW .1112bakqrkqdrrkqWbabaa.12akqrkqdrrkqWaa解解 取取为积分变量，为积分变量，任取一小区间任取一小区间功微元功微元: :所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷从点如果要考虑将单位电荷从点移到无穷远处移到无穷远处SSab例例3 在底面积为在底面积为的圆柱形容

16、器中盛有一的圆柱形容器中盛有一)从点从点处推移到处推移到处处. 计算在移动过程中计算在移动过程中, 气体气体在等温条件下在等温条件下, 由于气体的膨胀由于气体的膨胀定量的气体定量的气体. , 把容器中的一个活塞把容器中的一个活塞(面积为面积为压力所作的功压力所作的功.xpV, k.解解 如图，活塞的位置可用坐标如图，活塞的位置可用坐标表示表示. . 由物理学知道，一定量的气体在等温由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强条件下，压强与体积与体积的乘积是常数的乘积是常数即即.Vkp 因为因为,xSV 所以所以.xSkp 故作用在活塞上的力故作用在活塞上的力.xkSxSkSpF在气体膨胀过程中

17、，体积在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的变的.取取为积分变量，它的变化区间为为积分变量，它的变化区间为x,dxxx,baxdxxF,dxxk.dxxkdW .lnlnabkxkdxxkWbaba 设设为为上任一小区间上任一小区间. 当活塞从当活塞从移动到移动到时，变力时，变力所作的功近似于所作的功近似于即功微元为即功微元为于是所求的功为于是所求的功为 x,5 , 0 x,dxxx,38 . 92dx,2 .88dxxdW346222 .882 .8850250 xdxxW例例4 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄

18、水池高为5米米, 底半径为底半径为3米米, 池内盛满了水池内盛满了水. 问要把池内的水全问要把池内的水全部吸出部吸出, 需作多少功需作多少功?解解 建立如下坐标系，取建立如下坐标系，取为积分变量，为积分变量，取任一小区间取任一小区间 这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功微元功微元 所求功所求功 (千焦千焦).,dxxxxxxyV)100(223m例例5 设有一直径为设有一直径为20m的半球形水池的半球形水池, 池内贮池内贮满水满水, 若要把水抽尽若要把水抽尽, 问至少作多少功问至少作多少功.解解 如图，选取区间微元如图，选取区间微元相应该微元上的一层水的体积相应该微元上的一层水的体积(),)

19、,抽出这层水需作的功为抽出这层水需作的功为xxxgxxxgW)100()100(22.)100(2dxxxgdW410021002104)100()100(gdxxxgdxxxgW 水压力水压力例例6 一个横放着的圆柱形水桶一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶内盛有半桶水桶水, 设桶的底半径为设桶的底半径为R, 水的比重为水的比重为, 计算桶的一端面上所受的压力计算桶的一端面上所受的压力.解解 在桶一端面建立如图坐标系，取在桶一端面建立如图坐标系，取222,dFx Rx dx222222002()RRFx Rx dxRx d Rx 小矩形片的压力微元为小矩形片的压力微元为 aa2,dxxx,

20、)(2dxxa 例例7 将直角边各为及及的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.解解 建立如图坐标系，取任一小区间建立如图坐标系，取任一小区间面积微元面积微元,)(2)2(dxxaaxdP.37)(2)2(30adxxaaxPa压力微元压力微元 所求压力所求压力 lamMy,2,2lly,dyyy引力引力例例8 假设有一长度为、线密度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒的均匀细棒，在其中垂线

21、上距棒单位处有一质量为单位处有一质量为的质点的质点M，试计算该棒对质点，试计算该棒对质点的引力的引力.解解 建立如下坐标系，取建立如下坐标系，取为积分变量为积分变量任取一微元任取一微元小段与质小段与质 ,22yar,22yadymkF,)(2322yadyamkdFx,)4(2)(2122222322laalkmyadyamkFllx. 0yF点的距离为点的距离为小段对质点的引力小段对质点的引力水平方向的分力微元水平方向的分力微元由对称性，在铅直方向分力为由对称性，在铅直方向分力为 ,P例例9 计算半径为计算半径为a, 密度为密度为均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为均质的圆形薄板以怎样的引力

22、吸引质量为m的质点的质点P. 此质点位于通过薄板中心此质点位于通过薄板中心Q且垂直且垂直于薄板平面的垂直直线上于薄板平面的垂直直线上, 最短距离最短距离PQ等于等于b.解解 建立如图坐标系建立如图坐标系. .由于薄板均质且关由于薄板均质且关于两坐标轴对称，于两坐标轴对称，在圆心的中垂线上，显然引力在水平方向的在圆心的中垂线上，显然引力在水平方向的分力为分力为0 0，在垂直方向的分力指向，在垂直方向的分力指向yF, 0a,dxxxx轴的正向，所求的引力轴的正向，所求的引力看成分布在区间看成分布在区间上上. .选取区间微元选取区间微元对于以对于以为内半径的圆环，为内半径的圆环，对质点对质点P的引力

23、的引力.(2cos2232222dxxbbxkmdxxbxkmFy）其质量其质量 ,2 xdxm在在y轴方向上的分力为：轴方向上的分力为：,dxxx.(22322dxxbbxkmdFy）.12(22202322babkmdxxbbxkmFay）F,|yyFFFy即相应于微元即相应于微元的引力微元的引力微元从而从而 即所求引力即所求引力的大小的大小方向指向方向指向轴的轴的 正向正向.课堂练习课堂练习1.有一圆台形的桶有一圆台形的桶, 盛满了汽油盛满了汽油, 桶高为桶高为3米米, 上、下底半径分别为上、下底半径分别为1米及米及2米米, 试求将桶内试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度汽油密度3/800米千克2.一矩形水闸门一矩形水闸门, 宽宽20米米, 高高16米米, 水面与闸水面与闸门顶齐门顶齐, 求闸门上所受的总压力求闸门上所受的总压力.2(0,0)yaxax21yx 考研题考研题1.设曲线设曲线，与，与交与点交与点A，过坐标原点，过坐标原点O与与A的直线与曲线的直线与曲线围成一平面图形，问围成一平面图形，问a为何值时该图形绕为何值时该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最大？最大体轴旋转一周所得旋转体体积最大？最大体积是多少？积是多少？0 x 221,111yaxaxyaayx 1+aaxy 解：当解：当时，由时