二次函数在给定区间的最值

1、导航：导航： 能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值O-2xy2-1练习、分别在下列各范围上求函数练习、分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值的最值22 x(2)31 x(3)(1) Rax 2(4)31ymin=-4，无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0O-2xy2-1练习：练习：分别在下列各范围上求函数分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值的最值22 x(2)(3)(1) R31 x(3)ax 2(4)当当-2 a-1时时aymax=-3,ymin=a2+2a-3O-2xy2-1练习：练习：分别在下列各范围上求函数分别在下列各范围上求函数

2、y=x2+2x3的最值的最值22 x(2)31 x(3)(1)Rax 2(4)当当-1 a 0时时a当当-2 a0时时a当当-1 a 0时时当当-2 a-1时时31 x(3)ymax=a2+2a-3， ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax =-3, ymin=-4例例1、求函数、求函数y=-x2-2x+3在区间在区间-2,3上的上的最值最值oxyX=-1-313-24-12解：解： y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4函数的对称轴为直线函数的对称轴为直线x=-1 -2 -1 3 当当x=-1=-1时，时，y的最大值为的最大值为f(-1) =4当当x=3时，时，y的

3、最小值为的最小值为f(3) =-12一、定函数定区间一、定函数定区间例例2、已知函数、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值yx10-1a0解：当解：当a=0时，时，f(x)=1（不合题意）当a0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1(1)当a0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a= a= 21二、定区间定轴动函数二、定区间定轴动函数例例2、已知函数、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值yx10-1a0(2)当a0时，时，f(x)max=f(0)=

4、1-a=2， a=-1a=-1例例2、已知函数、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值解：当解：当a=0时，时，f(x)=1（不合题意）当a0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1(1)当a0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a= a= (2)当a-1, - ,对称轴在x= - 的右边.2a2121(1)当 -1 a时,即a0时,由二次函数图象2a可知: ymax =f ( )= 2a4a24a22axyo-1a(2)当a 时,即-1a0时, 2a五、动轴动区间五、动轴动区间 f(x) 在区间在区间 0, 2

5、上的最小上的最小值为值为 3, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下:2.已知函数已知函数 f(x)=4x2- -4ax+a2- -2a+2 在区间在区间 0, 2 上有最小值上有最小值 3, 求实数求实数 a 的值的值.解解: 由已知由已知 f(x)=4(x - - )2 - - 2a+2. a2a2(1)当当 0, 即即 a0 时时, 函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是增函数上是增函数. f(x)min=f(0)=a2- -2a+2. a2(2)当当 0 2, 即即 0a4 时时, a2f(x)min=f( )=- -2a+2. 由由 - -2a+2=3 得得: a=- - 12 (0,

6、 4), 舍去舍去. a2(3)当当 2, 即即 a4 时时, 函数函数 f(x) 在在 0, 2 上是减函数上是减函数. f(x)min=f(2)=a2- -10a+18. 由由 a2- -2a+2=3 得得: a=1 2 . a0, a=1- - 2. 由由 a2- -10a+18=3 得得: a=5 10. a4, a=5+ 10. 综上所述综上所述, a=1- - 2 或或 a=5+ 10. 回顾小结：回顾小结：1、数学结合数学结合在求闭区间上二闭区间上二次函数的最值中的应用次函数的最值中的应用2、分类讨论分类讨论在求闭区间上二次闭区间上二次函数的最值中的应用（含参数）函数的最值中的应用（含参数）巩固练习：巩固练习：1、已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值g(a),求g(a)的函数表达式，并求