数字滤波器理论与设计

1、数字滤波器理论与设计数字滤波器理论与设计|H( ejw w)|10通带通带过渡带过渡带阻带阻带cw wrw w2d d1d d- -1w w主要内容主要内容数字滤波器的基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计主要内容主要内容数字滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计1、滤波器的基本概念（1） 滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a a） 时域说明时域说明b b） 频域说明频域说明（2） 四种基本的滤波器四种基本的滤波器 四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（

2、BP）和带阻滤波器（BRF）：（3） 四种基本滤波器的数字表示四种基本滤波器的数字表示低通高通带通带阻)(wjeH)(wjeH)(wjeH)(wjeH22-22-22-22-2、 滤波器的性能指标滤波器的性能指标带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（3dB带宽）通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度3、数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤q 数字滤波器的设计三个步骤: (1) 按要

3、求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。4、数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：()()()jjjjH eH eewww 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况()jH ew 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()jw低通滤波器低通滤波器的技术指标：的技术指标：2010lg20| )(| )(|lg20)()1lg(20| )(| )(|lg20)(2/2:0ddwwwwwwwwwwww-dBe

4、HeHdBeHeHspjjsjjpcspspsp：阻带容限阻带内允许的最小衰减：通带容限通带内允许的最大衰减时当幅度为过渡带：阻带范围：通带范围：阻带截止频率：通带截止频率主要内容主要内容数字滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计Z变换Z Z变换的提出背景变换的提出背景正交变换视序列为多维空间中一点视序列为多维空间中一点不同坐标系产生不同的坐标值不同坐标系产生不同的坐标值(正交变换系数正交变换系数)不同的坐标系可突出不同的特性不同的坐标系可突出不同的特性坐标变换坐标变换正交变换正交变换Fourier变换变换直角坐标 方用cos和sin函数作为正交基，

5、来描述振动信号，如语音等极坐标 圆正交变换相当于不同正交坐标系之间的变换三角函数，Harr , Walsh等正交函数 设连续的函数x(t)可以进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为X(s)，连续时间x(t)经采样周期为T的采样器后，变成离散信号 nTtnTxnxn-d序列的序列的Z Z变换变换snTnstnstnenTxdtenTtnTxdtenTtnTxnx- -)()()()()()(dd拉普拉斯变换:L L令 , 其中 z 为一个复变量则广义上讲T=1sTez -nnznTxzX)()(-nnznxzX)()(离散信号的Z变换实际中常用的LTI离散时间系统所涉及的z变换都为z的 ， 可以表示为

6、NNNNMMMMMNNNMMdzdzdzdpzpzpzpzzdzdzddzpzpzppzDzPzG-22110221102211022110有理有理Z Z变换变换有理函数有理函数多项式相除的形式多项式相除的形式也可以写成 -NllMllMNNllMllzzdpzzzdpzG110011110011.0;0个极点处有额外时，在当个零点处有额外时，在当）称为极点（），称为零点（NMzMNMNzMNpolelzzerolz-有理有理Z Z变换变换零极点形式零极点形式有理有理Z Z变换的收敛域变换的收敛域 使序列使序列x(n)的的z变换变换x(z)收敛的所有收敛的所有z值的值的集合称作集合称作x(z)

7、的收敛域的收敛域 ( )nnx n zM- 即：x(z)收敛的充要条件是收敛的充要条件是收敛域的定义收敛条件绝对可和绝对可和阿贝尔定理阿贝尔定理 如果级数如果级数 收敛收敛,那么那么,满足满足0|z|=0 的Z变换 -0nnznnnznunzX注意1. Z变换需在指定其收敛域才能唯一对应一个序列例1 nunxn 111-zzX同时得z收敛域为RezImzjZ 收敛时，当zXz11-解： -zzzzzXznmzmzmmzmnnznzX收敛域为时，当 1111111101 11注意1. Z变换需在指定其收敛域才能唯一对应一个序列重要特性：不同的原始序列，可得到相同的Z变换 必须确定收敛域，才能唯一

8、对应一个序列例2求左边序列 , n0的Z变换 1-nunxn解：RezImzjZZ变换基本性质变换基本性质线性和位移性序列线性加权（ Z 域微分）序列指数加权（ Z 域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和 Z 域卷积定理帕斯瓦尔定理请同学们课后学习拉普拉斯变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换变换时域：时域：复频域：复频域： Laplace 变换变换)(tx-dtetxsXst)()(jsf2j s 平面j0S平面0所以：Fourier 变换 频域：所以，傅里叶变换是S 仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为：js0-dtetxjXtj)()( jsS平面0j得到：得到： 拉普拉斯变

9、换 对应连续信号 Z变换 对应离散信号 TjTTjjeeerezw)(TjTjeerewTerTwsz与离散时间序列的傅里叶变换， DTFT平面0z平面0-nnjjsjrjenxeXffTerezwwwww)()(/21zzImzRezRezImz1rLaplace 变换Fourier 变换 连续时间信号连续时间信号-dtetxsXst)()(-dtetxjXtj)()(S平面0jS平面0jz 变换Fourier 变换离散时间信号离散时间信号-nnznTxzX)()(-nnjenTxjXww)()(平面0zImzRezz平面0zRezImz1r-NiNiiiinybinxany01)()()(

10、数字滤波器的数学描述：1)差分方程NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii-一般111110)1 ()1 (1)(2)系统函数系统函数系统函数系统函数定义为：系统函数定义为：系统零状态响应的系统零状态响应的Z Z变换变换与输入的与输入的Z Z变换变换之比之比NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii-一般111110)1 ()1 (1)(系统系统函数和差分方程的关系函数和差分方程的关系常系数线性差分方程的一般形式：常系数线性差分方程的一般形式：若系统的起始状态为零，直接对上式求若系统的起始状态为零，直接对上式求z z变换：变换：-MmmNkkmnxbknya00)()

11、(-MmmmNkkkzXzbzYza00)()(41所以有：所以有：00MmmmNkkkbzYzHzXzaz-将上式进行因式分解得：将上式进行因式分解得：使分子多项式使分子多项式 = 0 的的 的的 Zeros (零点零点)使分子多项式使分子多项式 = 0 的的 的的 Poles (极极点）点）-NiiiMiiizbzazH101)(0id0ic)(zH)(zH-NiiMiizdzcAZH1111)1 ()1 ()(系统系统频率响应的意义频率响应的意义 为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的，有必要研究线性

12、移不变系统对复指数或正弦的稳态响应，这就是系统的频域表示法。稳态响应，这就是系统的频域表示法。 jn mj nj mmmy nh m eeh m ewww-设输入为：设输入为：则：则：-nenxnj,)(w 当系统输入为复指数序列，则输出为同频的复指当系统输入为复指数序列，则输出为同频的复指数序列，其幅度受频率响应幅度数序列，其幅度受频率响应幅度 加权，而输加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。系统的频系统的频率响应率响应-nnjjjnjenheHeHenywwww)()()()()(wjeH任意序列都可表示成复指数的叠加任意序列都可表示成复

13、指数的叠加，即即微分增量微分增量 的的叠加叠加，利用利用这一叠加特性，以及系统对复指数的响应是完全这一叠加特性，以及系统对复指数的响应是完全由确定由确定的这一性质，可以得出对于任意输入，系统的的这一性质，可以得出对于任意输入，系统的输出响应输出响应为：为：wwwdeeXnjj)(21-wwwdeeXnynjj)(21)(表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的。H(z)的极点：单位圆内wwwwwwjezjjjjjzHzHeHeHeHeHeH-| )()( )()()()(| )(|1*2Re zIm jz01a-a*a*1/aRe

14、zIm jz01a-a*a*1/a相位响应：wwwwwwwwwwwwwwwwwwjjjjezjjjejjjejjjjjjjjejjjzHzHjeHeHjeeeHeHeeHeHeHeHeeHjeHeeHeH-)()(ln21)(ln21)()(| )(|)()(Re)(Imarctan)()(Im)(Re| )(|)(1*)(2*)(*)(相位响应：群延时响应：相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内 ，则为线性相位滤波器。 wwwwjezjjzHdzzdHzdede-)(1)(Re)()(常数)(wje主要内容主要内容数字滤波器简介数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器

15、设计数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法IIR滤波器：1.1.零极点位置累试法零极点位置累试法。2.2.用模拟滤波器理论来设计数字滤波器用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。3.直接在频域或时域中进行，需要计算机辅助FIR滤波器：1.窗函数法2.频率采样法3.切比雪夫等波纹逼近法IIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法IIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法-NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为系统函数的设计就是要确定系数 ， 或者零、极点 ， 以使滤波器满足给定的性能要求。ibiaicid这种设

16、计一般有3种方法。1. 1. 零极点位置累试法零极点位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点位置来达到要求。此法只适用于简单滤波器。2.2. 用模拟滤波器理论来设计数字滤波器用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。 脉冲（冲激）响应不变法 双线性变换法3.3.用用计算机辅助设计计算机辅助设计，优化技术设计。冲激响应冲激响应不变法不变法变换原理数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应h h( (n n) ) 模仿模仿模拟滤波器的单位冲激响应模拟滤波器的单位冲激响应h ha a( (t t) )()(nThnhaT抽抽样周期样周期)(

17、)(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha)(txa)(tya)(tha设)()(sHthaa)()(zHnh则：-masTezTjmsHTzH)2(1| )(从频率响应来看：从频率响应来看：-kakajTkjHTkTjjHTeH)2(1)2(1)(ww数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为的周期延拓，周期为2p/T2p/T只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即限于折叠频率以内时，即2, 0)(saTjH才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现才能使数字滤波

18、器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真模拟滤波器的频响而不产生混迭失真)(),(1)(wwjHTeHajn n实际系统不可能严格限带，都会混迭实际系统不可能严格限带，都会混迭失真失真n当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率wwc c给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象2ssfTT混迭,sfTTT T -ccTTw n优点：优点：n缺点：缺点：n保持线性关系：保持线性关系：w w= T线性线性相位模拟滤波器转变为相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位数字滤波器n频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的

19、低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器nh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时时域逼近良好域逼近良好脉冲响应脉冲响应不变法的优缺点不变法的优缺点q冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混迭失真q为了克服这一缺点，采用双线性变换法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似双线性变换法双线性变换法变换变换原理及特点原理及特点q脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。q改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。Z平面单位圆Z平面单位圆TjTjTjTjTjTjeeeeeeTjj11111

20、111)2tan(22221-:,- 1:,T T -12Ttg 11s TzeTw 1111-zzsssz-11TjTjeeTjj1111)2tan(1-TsTsees1111-n为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zscz-cszcs-js 11js 1s Tze2 2）某一特定频率严格相对应：）某一特定频率严格相对应：1 1）低频处有较确切的对应关系：）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位

21、置地控制截止频率位置变换变换常数常数c c的选择的选择12Tc tg 2cTccw 122cccTc tgc tgw 2cccctgw 1 1 12Tc逼近逼近情况情况1）s平面虚轴平面虚轴z平面单位圆平面单位圆2）01z左半平面左半平面单位圆内单位圆内s平面平面z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上2222()()czc-01z1111112jjzesccjc tgjzewww- cscjzcscj - 01z优缺点优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换w 2c tgw 00w 00w w q

22、 缺点：除了零频率附近，缺点：除了零频率附近， 与与w w之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界型数字滤波器，但临界频率点产生畸变频率点产生畸变11/Tw 11112 tgcww-常用模拟低通滤波器常用模拟低通滤波器n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth Butterworth 滤波器滤波器n切比雪夫切

23、比雪夫 Chebyshev Chebyshev 滤波器滤波器n椭圆椭圆 Ellipse Ellipse 滤波器滤波器n贝塞尔贝塞尔 Bessel Bessel 滤波器滤波器巴特沃尔斯滤波器设计巴特沃尔斯滤波器设计幅度平方函数：幅度平方函数：当当称称W Wc c为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽NN为滤波器的阶数为滤波器的阶数WcWc为通带截止频率为通带截止频率221()1aNcHj2()1/2acHj时1( 0)20lg3()aacHjdBHjd1）幅度函数特点：）幅度函数特点：n n 当当 st（阻带截止频率）时，衰减的（阻带截止频

24、率）时，衰减的d d1为阻带最小衰减为阻带最小衰减012300.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10221()1aNcHjc c 21()1/23caHjdBd 20()1aHj 3dB不变性不变性通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小过渡带及阻带内快速单调减小过渡带及阻带内快速单调减小ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 2 2）幅度平方特性的极点分布：）幅度平方特性的极点分布：22/1()( )()1aaaNs

25、 jcHjHs Hssj-1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN- - 3 3）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：为归一化系统的系统函数为归一化系统的系统函数去归一化，得去归一化，得1( )()NcaNkkHsss-121221,2,.,kjNkcsekN- 1 /ccrrad s ( )anHs( )( )crcaanssHsHscrancsH4)4)滤波器滤波器的设计步骤：的设计步骤：n根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：n确定技术指标：确定技术指标：由由得：得：同理：同理：令令则：则：221()1apNpcHj120.10.1101101sp

26、kdd-12psdd120lg()apHjd -120.1110Npcd220.1110NscdsspplglgspspkN -120.10.1101101Npsdd-n求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：或者由或者由N，直接查表得，直接查表得其中技术指标其中技术指标 c给出或由下式求出：给出或由下式求出：其中极点：其中极点：n去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕或或通带指标有富裕通带指标有富裕 11( )()anNkkHsss-( )anHs( )aancsHsH110.12101Ncpd- -121221,2,.,kjNkcsekN- 210.12101Ncsd- -n例：设计

27、例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频数字低通滤波器，要求在频率低于率低于0.2 rad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率在频率0.3 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。别用冲激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法设计、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s/0.2 /ppTrad sw /0.3 /ssTrad sw 0.2 pradw0.3 sradw11dBd21

28、5dBd11dBd215dBda）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器/1.5spsp 120.10.11010.092101spkdd-lg/lg5.8846spspNkN - 取110.121010.7032/Ncprad sd- -b) 求出极点（左半平面）c) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化121221,2,.,6kjNkcsek- 661( )()cakkHsss-234561( )1

29、 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssss4）将）将Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式:变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：1( )NkakkAHsss-11( )1kNks TkTAH zez-1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz-1121.85580.63041 0.99720.2570zzz-2、用双线性变

30、换法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：20.65 /2pptgrad sTw 21.019 /2sstgrad sTw 0.2 pradw0.3 sradw11dBd215dBd11dBd215dBd1Ts选a）确定参数）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器/1.568spsp 120.10.11010.092101spkdd-lg/lg5.3066spspNkN- 取2

31、10.121010.7662/Ncsrad sd- -b) 求出极点（左半平面）c) 构造系统函数构造系统函数121221,2,.,6kjNkcsek- 661( )()cakkHsss-或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss( )aancsHsH4）将）将Ha(s)变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：112 11( )( )azsTzH z

32、Hs-121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz-121(1 0.90440.2155)zz-FIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法q 单位冲激响应只有有限多项单位冲激响应只有有限多项q 可以设计成线性相位系统可以设计成线性相位系统q 只在零点处有极点，因此系统总是稳定的只在零点处有极点，因此系统总是稳定的q 便于便于DSPDSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）约存储器）FIR滤波器的主要特点：滤波器的主要特点：FIR与与IIR相比较：相比较：q 首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点

33、；q 其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；q 最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。85FIR-h(n) 有限长度有限长度IIR-h(n) 无限长度无限长度01( )()()NNiiiiy na x nib y ni- - - - - 10Ni)in(x)i (h)n( y NnnH zh n z-10 - - - - - NkkiMkkizbza)z(H101 H z aHs h njH ew wjdHew w线性线性相位设计的重要性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时间时间 t幅幅度度原始信号原始信号时间时间 t幅幅

34、度度相移相移90o时间时间 t幅幅度度相移相移 180o2、系统非线性相移造成输出信号失真wwwdd)()(f1 f2f时时延延f1 f2f时时延延f1 f2f (w w)f1 f2f (w w) 系统相位特性决定了信号不同频率的时延系统相位特性决定了信号不同频率的时延3、忽略相位信息的后果输入波形输入波形DFT变换变换忽略相位忽略相位信息信息IDFT变换变换输出波形输出波形线性线性相位相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 ww-)(1 线性相位的条件线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时

35、延为 ww-ddg)(FIR滤波器的DTFT为 -NnnjjjenheHeHwwww式中 H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等: -NnNnnnhnnhwwwwcossincossin将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系 -Nnnnhwsin满足上式的条件是 -10 ,121NnnNhnhN另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即 ww-)( -nNhnhN1221利用类似的关系，可以得出新的解答为 分四种情况2线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性11cos(1)co

36、s22ww- -NNNnn11cos22w-关于n对呈偶对称NNn101( )( )cos2ww-NnNHh nn幅度函数：幅度函数：1cos2w-Nn1）h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数-32011( )2 ( )cos22ww-NnNNHhh nn121112cos()22w-NmNNhhmm12-令Nnm120( )( )cos()ww-NnHa nn1(0)2-Nah其中：其中：11,.,2-Nn1( )22-Na nhn( )0, , 2 ww对呈偶对称Hcos()0, 2 ww对，呈偶对称n120( )( )cos()ww-NnHa nn12012 ( )cos2w-NnNh

37、 nn101( )( )cos2ww-NnNHh nn幅度函数：幅度函数：2）h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数2112cos22w-NmNhmm2-令Nnm/211( )( )cos2ww-NnHb nn( )22-Nb nhn1,.,2Nn其中：其中：1201( )2 ( )cos2ww-NnNHh nn/211( )( )cos2ww-NnHb nn( )22-Nb nhn1,.,2Nn其中：其中：( )ww对呈奇对称H( )01 -则是零点Hz1 cos02ww-时n1 - 为零点z故不能设计成高通、带阻滤波器故不能设计成高通、带阻滤波器 ( )0, 2ww对呈偶对称H/211(

38、)( )cos2ww-NnHb nn11sin(1)sin22ww- -NNNnn11sin22w-对呈奇对称NNn101( )( )sin2ww-NnNHh nns幅度函数：幅度函数：1sin2w- -Nn3）h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数-3201( )2 ( )sin2ww-NnNHh nn12112sin()2w-NmNhmm12-令Nnm121( )( )sin()ww-NnHc nn1( )22-Nc nhn11,.,2-Nn其中：其中：1( )02-奇对称且 为奇数Nh nNh121( )( )sin()ww-NnHc nn1( )22-Nc nhn11,.,2-Nn其中

39、：其中：()0, 2ww故对，呈奇对称H( )01w 则是零点Hz0, , 2 sin()0ww时n121( )( )sin()ww-NnHc nnsin()0, 2 ww因对，呈奇对称n101( )( )sin2ww-NnNHh nn幅度函数：幅度函数：12012 ( )sin2w-NnNh nn4）h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数1201( )2 ( )sin2ww-NnNHh nn2112sin22w-NmNhmm2-令Nnm/211( )( )sin2ww-NnHd nn( )22-Nd nhn1,.,2Nn其中：其中：/211( )( )sin2ww-NnHd nn( )22-

40、Nd nhn1,.,2Nn其中：其中：( )01w 则是零点Hz10, 2 sin02ww-时n( )0, 2ww对呈奇对称H( )ww对呈偶对称H/211( )( )sin2ww-NnHd nn四种线性相位FIR滤波器四种线性相位四种线性相位FIR DF特性特性第一种情况第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高高通和带阻。通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都滤波器都不能设计。不能设计。第四

41、种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计设计低通和带阻。低通和带阻。例例 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H ()。解： 为奇数并且h(n)满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 小结： 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FI

42、R数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H()用H()表示时，当H()为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移。10()( )()www-Njj njdnH eh n eHew(n)：窗函数序列窗函数序列要选择合适的形状和长度要选择合适的形状和长度FIR窗函数窗函数设计法设计法1、设计方法、设计方法1( )2www-jj nddhnHeed( )( )( )dh nw n h n()0,wwwwwww ww- -jjccdcceHe1sin()( )2()wwwwwwww-ccjj nccdcnh needn其理想单位抽样响应：其理想单位抽样响应：中心

43、点为中心点为 的偶对称无限长非因果序列的偶对称无限长非因果序列以低通滤波器为例讨论：以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：线性相位理想低通滤波器的频率响应：( )( )Nw nRn 1sin201 120www-其它cccNnnNh nNnn( )01( )( ) ( )0-其它ddh nnNh nh n w nn则则FIR滤波器的单位抽样响应：滤波器的单位抽样响应：12-N按第一类线性相位条件，得按第一类线性相位条件，得sin()( )()www-ccdcnh nn取矩形窗：取矩形窗：1()2w w-jjjdH eHeW ed1120sin2()( )sin2wwwww-N

44、Njjj nRnNW ew n ee而矩形窗的频率响应：而矩形窗的频率响应：( )( ) ( )dh nh n w nsin2 ( )sin2www其幅度函数： RNW加窗处理后对频率响应的影响：加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积时域乘积相当于频域卷积12()( )www-NjjddHeHe11()221()( )()2w ww-NNjjjdRH eHeWed121( )()2ww-NjdReHWd1( )0wwwwwcdcH其幅度函数：其幅度函数：则则FIR滤波器的频率响应：滤波器的频率响应： 1( )()2ww-其幅度函数：dRHHWd理想滤波器的频率响应：理想滤波器的频率

45、响应：(0)( )近似于的全部积分面积RHW()0.5(0)wcHH2w-为最大值，正肩峰cHN2w为最小值，负肩峰cHN( )ww随，绕零值波动H( )(0)ww随，绕波动HH0wwwc2ww-cN2wwcN2wwcN2ww-cN1( )( )()2ww-dRHHWd幅度函数：幅度函数：n在在 处处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡 的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少2wwcNn改变改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状

46、决定，称为对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应效应加窗函数的影响：加窗函数的影响：n 不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的 宽度）近似等于窗函数频率响应的主瓣宽度。宽度）近似等于窗函数频率响应的主瓣宽度。1) 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带2) 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小 肩峰和波纹肩峰和波纹2 2、各种窗函数、各种窗函数窗函数的要求：窗函数的要求：n求出理想的单位抽样响应求出理想的单位抽样响应( )dh nn根据阻带衰减选择窗函数根据阻带衰

47、减选择窗函数( )w nn计算频率响应计算频率响应 ，验算指标是否满足要求，验算指标是否满足要求()wjH e/wNAn根据过渡带宽度确定根据过渡带宽度确定N值值( )( )( )dh nh nw nn求所设计的求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应滤波器的单位抽样响应3、窗函数法的设计步骤、窗函数法的设计步骤n给定理想的频率响应函数给定理想的频率响应函数及技术指标及技术指标()jdHeww和s公式法：公式法：()wjdH e( )dh n, ()()当时dMM N hn h nIFFT法：法：1( )2www-jj nddh nHeed( )()-Mdrhnh nrM计算其计算其IFFT，得：

48、得：对对 M点等间隔抽样：点等间隔抽样：()wjdHe2()jkMdHe当当MN时：时：通带截止频率为通带截止频率为 ，例：设计一个线性相位例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，低通滤波器，给定抽样频率为给定抽样频率为 ，421.5 10 (/sec) srad321.5 10 (/sec) prad323 10 (/sec) strad阻带起始频率为阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示，幅度特性如图所示/2/0.2w ppspsf/2/0.4w ststsstsf解解：1）求数字频率）求数字频率4、线性相位、线性相位FIR低通滤波器的设计低通滤波器的设计dBs50()0,wwwwwww ww- -jjccdcceHewccsf()11( )22wwwwwww-ccjj njndh needed1sin()()ww-ccnnnn12-N1/220.3 psts2）求）求hd(n)2( )0.540.46cos( )1-Nnw nRnN20.2w -stps6.6330.2wAN1162-N4）确定）确定N 值值6.6w汉明窗带宽：N3）选择窗函数：由）选择窗函数：由 确定汉明窗（确定汉明窗（-53dB）dBs50( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616-nnRnn6）求）求