大学物理第一章 质点运动学-20130903

1、1927年第五次索尔维会议 1.1 确定质点位置的方法确定质点位置的方法 1.2 质点的位移质点的位移 速度和加速度速度和加速度 1.3 用直角坐标表示位移用直角坐标表示位移 速度和加速度速度和加速度 1.4 用自然坐标表示平面曲线用自然坐标表示平面曲线 运动中的速度和加速度运动中的速度和加速度 1.5 圆周运动的角量表示圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系 1.6 不同坐标系中的速度不同坐标系中的速度 和加速度变换定理简介和加速度变换定理简介1.1 确定质点位置的方法一、一、 质点运动学的基本概念质点运动学的基本概念质点质点 ： 大小和形状可以忽略的物体大小和形状可以忽略的物

2、体参照物参照物 ：为了描述物体运动而被选作参考的物体或物体系为了描述物体运动而被选作参考的物体或物体系yzOx参照物参照物ryzOx参照物参照物二、确定质点位置的常用方法二、确定质点位置的常用方法1. 直角坐标法直角坐标法 P(x, y, z)2. 位矢法位矢法 （质点位置由（质点位置由位置矢量位置矢量描述）描述）大小大小222zyxr方向方向 cos cos cos rzryrxkzj yi xr位置矢量位置矢量3. 自然坐标自然坐标法法 （用于运动轨迹（用于运动轨迹已知的已知的质点）质点）OsP正方向4. 运动学方程运动学方程( (函数函数) )直角坐标直角坐标)(txx )(tyy )(

3、tzz ( )( ) ( ) ( ) rr tx t iy t jz t k自然坐标自然坐标)(tfs 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度意义意义:位矢法位矢法说明说明 自然坐标自然坐标 s 是代数量是代数量质点运动学方程质点运动学方程质点各时刻位置质点各时刻位置)(tr一质点作匀速圆周运动，半径为一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为，角速度为 。O 点为起始点，设点为起始点，设t 时刻质点位于时刻质点位于P（x , y）。 sin costrytrxtrs位矢表示为位矢表示为以以 O 为自然坐标原点，为自然坐标原点，运动学方程

4、运动学方程为为xyPt xyOrs例例解解),(yxO j tri trj yi xrsincos求求 用用直角坐标直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。直角坐标表示的运动学方程为直角坐标表示的运动学方程为求求解解hvx220) ()(htltxv坐标表示为坐标表示为例例如图所示，以速如图所示，以速度度v 用绳跨一定用绳跨一定滑轮拉湖面上的滑轮拉湖面上的船，已知绳初长船，已知绳初长 l 0 0，岸高，岸高 h取坐标系如图取坐标系如图依题意有依题意有tltl )(0v质点运动学的基本问题之一，是确定质点运动学方程。为质点运动学的基本问题之一，是确定质

5、点运动学方程。为正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。0l)(tl)(txO船的运动方程船的运动方程说明说明1.2 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度一一. 位移位移（反映物体位置的变化）（反映物体位置的变化）说明说明(1)(1) 是矢量，是矢量， S 是标量，且大小一般不等是标量，且大小一般不等)()(trttrrSr(2)与与r 的区别的区别rOPPr)(tr)(ttrs分清分清 r位移位移 位矢位矢 在在 t 时间内的

6、增量时间内的增量rrr二二. 速度速度1. 平均速度平均速度trv1 路程路程/位移大小不等位移大小不等3 r 和和 位移的区别位移的区别2 位移等于位矢增量位移等于位矢增量rtrvu 匀速直线运动匀速直线运动u 变速曲线运动变速曲线运动vAv=瞬时速度 = 平均速度2r1r111trv222trvABC接近匀速直线运动trt0limvtrdd瞬时速度瞬时速度速度是位矢的一阶速度是位矢的一阶导数导数2. 瞬时速度瞬时速度特点特点瞬时速度瞬时速度AC说明说明速度速度 与与 ( t 0时 ) 方向相同方向相同r瞬时速度和平均速度的关系瞬时速度和平均速度的关系1r两过程相比，两过程相比，AC接近于匀

7、速直线运动，平均速度更接近速度接近于匀速直线运动，平均速度更接近速度(2) 速度速度 与与 ( t 0时 ) 方向相同方向相同rrPvL ，沿轨迹切线方向沿轨迹切线方向Q趋向切线方向趋向切线方向(3) 根据运动方程根据运动方程 ，可确定任意时刻的速度，可确定任意时刻的速度)(trrv三三、 加速度加速度2 . 平均加速度平均加速度tav3. 瞬时加速度瞬时加速度tatv0limvAB)(tv)(ttv)(tr)(ttrO )()(tttvvv1.1.速度速度增量增量t ddv22ddtr质点运动学方程质点运动学方程质点各时刻位置质点各时刻位置质点的瞬时速度质点的瞬时速度速度变化的快慢速度变化的

8、快慢)(trv质点的瞬时加速度质点的瞬时加速度a(3) 根据根据 以及初始条件，可确定以及初始条件，可确定 和和)(trr)(taa)(tvv)(trr)(taa)(tvv积分积分)(trr)(taa)(tvv求导求导(1) 速度是位矢的二阶导数速度是位矢的二阶导数加速度是速度的一阶导数，是位矢的二阶导数加速度是速度的一阶导数，是位矢的二阶导数(2) 根据运动方程根据运动方程 或或 ，可确定任意时刻的加速度，可确定任意时刻的加速度)(trra)(tvv讨论讨论一一. 速度速度trddv dd dd dd tztytxzyxvvv速度的大小为速度的大小为速度的方向用方向余弦表示为速度的方向用方向

9、余弦表示为 cos , cos , cos vvvvvvzyxkjizyxvvv 1.3 用直角坐标表示速度和加速度用直角坐标表示速度和加速度)(ddkzj yi xtktzjtyitxdddddd 222zyxvvvv矢量运算转化为代数量的运算22ddtarktzjtyitx222222dddddd kajaiazyx dddd dddd dddd 222222ttzattyattxazzyyxxvvv 222zyxaaaa cos cos cos aaazyxaaa大小为大小为方向用方向余弦表示为方向用方向余弦表示为)(dd22kzj yi xt二二. 加速度加速度三三、 运动学的两类问题

10、运动学的两类问题1. 第一类问题第一类问题a , v已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1) t =1 s 到到 t =2 s 质点的位移质点的位移(3) 轨迹方程轨迹方程(2) t =2 s 时，时，a ，vjir 21jir242jirrr3212jtitr 22ddvji 4 22v222tytx4/22xy已知一质点运动方程已知一质点运动方程jti tr)2( 22求求例例解解 (1)(2)(3)t =2 s 时时ja 2 2jta2dd v由运动方程得由运动方程得轨迹方程为轨迹方程为解解jat16ddvt 0 0vvjt- 16 0vvkjti tr88 62已知已知ja16kri

11、8,600vv求求和运动方程和运动方程kr802. 第二类问题第二类问题jt d16 dvjti 166 vvtrddtjtir)d 166( d已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求r, v例例, t =0 时，时，trr 0 0由已知有由已知有1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度一、一、 速度速度)()(tsttssts dd)lim)(lim(00tssrtttrt0limv)(tr)(ttrrPsvQLO )(lim0tssrttssrtdd)lim(0tsdd 速度矢量在切线上的投影，是代数量速度矢量在切线上的投影，是代数量 运动轨迹切线方向的单位矢量运动轨迹

12、切线方向的单位矢量说明说明 t 0 时时， 沿切线沿切线方方向，且向，且rsr反映速度方反映速度方向变化快慢向变化快慢二二、 加速度加速度AB)(tv)(ttvOPQtatv0limRrvv| a|lim|0trRtvR2v1.1.匀速圆周运动匀速圆周运动a的大小的大小a的方向的方向 沿沿 ( t0 时时)方向方向vRvrtat|v|lim0)|(lim0Rtrtv nRan2v速度方向速度方向法向加速度法向加速度速速 度度 矢矢 量量变化的快慢变化的快慢速度大小速度大小加速度加速度反反 映映A)(tvv BO )(ttv讨论讨论OABAPQAB)(tv)(ttvO 2. .变速圆周运动变速圆

13、周运动nvvv第二项：第二项：切向加速度切向加速度nRan2v第一项：第一项：nvvvtatv0lim反映速度方向变化的快慢反映速度方向变化的快慢P nvv反映速度大小的变化反映速度大小的变化反映速度方向的变化反映速度方向的变化tatv0limttnttvv00limlimnaa，指向圆心，指向圆心. 法向加速度法向加速度反映速度大小变化的反映速度大小变化的快慢快慢tat|lim0vttv0limt ddv大小大小方向方向 t 0 时， 0，则 沿切线方向vvvvv)()(tttnRtaaan2ddvv3. 变速曲线运动变速曲线运动nta2ddvvnaaavP曲率圆曲率圆一汽车在半径一汽车在半

14、径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . .tts4 . 020ddv速度速度4 . 0ddtavRtRan22)4 . 020(v22naaam/s 6 .19(1) v2m/s 962. 1(1) a例例汽车在汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。时的速度和加速度大小。求求解解加速度加速度将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为 ，g 为重力加速度，为重力加

15、速度， 为切向与水平方向的夹角为切向与水平方向的夹角. y0处质点的速处质点的速度为度为v0gasin由题意可知由题意可知taddvdsin dv vgs sin ddsyygd dvv)(20202yygvvdsindysydsdPyxO 例例质点在钢丝上各处的运动速度质点在钢丝上各处的运动速度. .求求解解sinag tss ddddvsddvvyy00 vv已知质点运动方程为已知质点运动方程为(SI) jtitr22求求ss3121tt之间的路程之间的路程 。jtijti tttr 22)2(dddd2vm 01. 921103ln210312sss2121d12dd12dd22ttss

16、ttstttsv222221242ttyxvvvctttttt2221ln2112d1例例解解 速度速度速率速率路程路程已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为BtztAytAx , sin , cos在自然坐标系中任意时刻的速度在自然坐标系中任意时刻的速度解解tBAtBAssts222 0 222 0 ddtszyxdd222vvvBAts dd222vv例例求求tBtAtAd cossin222221.5 圆周运动的角量描述 角量与线量关系tPQo x一一、 角位置与角位移角位置与角位移平均角速度平均角速度角坐标角坐标 经过经过 t 时间，角位移时间，角位移 二二、 角速度角速度角速度角速

17、度tttddlim0t三三、角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度角加速度是角速度对时间的一阶导数角加速度是角速度对时间的一阶导数经过经过 t 时间，角速度由时间，角速度由 + 220ddddlimtttt角加速度角加速度说明说明s四四、 角量与线量的关系角量与线量的关系PQo xstst0limvtaddvrv2na速度速度加速度加速度rrtt0limtrd)(dr2)(rra ran2rv(2) 与与 an 成成 45o 角，即角，即(2) 当当 =? 时，质点的加速度与半径成时，质点的加速度与半径成45o角？角？(1) 当当t =2 s 时，质点运动的时，质点运动的2ran342t一质

18、点作半径为一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为的圆周运动，已知运动学方程为(1)求求a naa 解解例例的大小的大小)m/s(5 .230222naaa55. 0 trad)(67. 2423ta则则分析分析 22naaa(1)(2) 与与 成成 45o 角，即角，即a naa ra na 241444tt rttr42144)dd(trtr24dd22一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m 的圆形轨道运的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即=4t 2。t =0. 5s 时质点

19、时质点 (1) 路程路程 (2) 加速度加速度tradd25. 822aaan2nar6 .13)(arctanaaAn解解例例求求0.50dt路程路程0.33sr (2)(1) 角位移角位移分析分析 路程路程 s = r ，先求出角位移，先求出角位移 0.52014 d6tt0 . 2164rt0 . 88 rt与切向夹角与切向夹角A AB1.6 不同参考系中的速度和加速度变换定理简介车对地物对车物对地rrr 车对地r 物对车r物对地r 车对地物对车物对地vvv车对地物对车物对地aaatrtrtr车对地物对车物对地 同除以同除以 t000lim lim limttt若若a车对地车对地=0，即

20、两系作匀速直线运动，则测得同一物体的加速度相等即两系作匀速直线运动，则测得同一物体的加速度相等升降机以加速度升降机以加速度 1.22 m/s2 上升，有一螺母自升降机的天花上升，有一螺母自升降机的天花板松落，天花板与升降机的底板相距板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74 m 。ha以以升降机为参考系升降机为参考系221tah物对机例例解解螺母自天花板落到底板所需的时间螺母自天花板落到底板所需的时间. .求求分析分析 相对升降机，螺母作初速为相对升降机，螺母作初速为0的落体运动，运动距离的落体运动，运动距离2.74 m地对机地机aaa物对物对02.1122. 18 . 90.702.112h

21、t机对地机对地匀加速运动匀加速运动一个带篷子的卡车，篷高为一个带篷子的卡车，篷高为h=2m ，当它停在路边时，雨滴，当它停在路边时，雨滴可落入车内达可落入车内达 d=1 m ，而当它以，而当它以15 km/h 的速率运动时，的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。雨滴恰好不能落入车中。 求求雨滴的速度矢量。雨滴的速度矢量。4 .63arctandhhd雨对地v车对地v雨对车v根据速度变换关系根据速度变换关系m/s)(3 . 9cos地对车雨对地vv地对车v例例解解地对车雨对地雨对车vvv分析分析 相对车参照系，雨滴作落体运动相对车参照系，雨滴作落体运动矢量关系如图所示矢量关系如图所示船逆流而上，遇

22、一树时，箱子掉落水中顺水漂流，船逆流而上，遇一树时，箱子掉落水中顺水漂流，半小时半小时后发觉，返回追赶，在树后后发觉，返回追赶，在树后 5 公里处赶上箱子。公里处赶上箱子。水流速度水流速度例例解解求求地面参考系地面参考系5 km水流参考系水流参考系5 km1）相对地船速恒定）相对地船速恒定V0时，则有：时，则有：0.5*2+5/ V0 =5/VV=5 V0 /(V0 +5) km/h2）相对静水船速恒定）相对静水船速恒定V0时，如上图水流参考系时，如上图水流参考系(水流静止水流静止)，船来回路程一样，船来回路程一样，速率恒定速率恒定V0 ，则有：，则有： V=5 km/h设水速大小为设水速大小为V，箱子在水速中行，箱子在水速中行5km的时间与空船行驶和追赶时间相等的时间与空船行驶和追赶时间相等飞机水平匀速飞行，速率为飞机水平匀速飞行，速率为 v机对地机对地。当飞机在导弹正上方。当飞机在导弹正上方且距离为且距离为a 时，导弹发射，速率恒定，为时，导弹发射，速率恒定，为