华南师范大学电磁学习题课-磁场的源

1、 磁磁 场场 的的 源源 习题、例题分析习题、例题分析+28.1 求下面各图中求下面各图中P点处的磁感应强度点处的磁感应强度B的大小和方向的大小和方向.IIPa(a)(b)IIIrrP(c)PIa解解:(1) (a)图中水平段电流在图中水平段电流在P点处不产生磁场，即点处不产生磁场，即B1=0. 对于竖直段电流在对于竖直段电流在P点处产生的磁感应强度可点处产生的磁感应强度可用课本用课本P246公式公式(8.3)计算计算.)cos2(cos402aIBaI40方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外.据磁场叠加原理可得据磁场叠加原理可得aIBBBP4021方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外.3(b)III

2、rrP(2) 图图(b)中各段电流在中各段电流在P点处产生的磁点处产生的磁场的场的方向方向都是都是垂直屏幕向内垂直屏幕向内. 上面水平段电流在上面水平段电流在P点处产生的磁点处产生的磁感应强度可用课本感应强度可用课本P246公式公式(8.3)计算计算)2cos0(cos401rIBrI40 下面水平段电流在下面水平段电流在P点处产生的磁感应强度同样可点处产生的磁感应强度同样可用课本用课本P246公式公式(8.3)计算计算)cos2(cos402rIBrI40 半圆形电流在半圆形电流在P点处产生的磁感应强度可用课本点处产生的磁感应强度可用课本P248公式公式(8.8)按比例计算按比例计算2120

3、3rIBrI404(b)IIIrrP 由于由于 、 、 方向相同，都是垂方向相同，都是垂直屏幕向内，故据磁场叠加原理可得直屏幕向内，故据磁场叠加原理可得P点处的磁感应强度为点处的磁感应强度为2B1B3B321BBBBprIrI44200) 12(40rI(c)PIa(3) 由于对称性，由于对称性，(c)图中各段电流在图中各段电流在P点处产点处产生的磁场的大小、方向都相同生的磁场的大小、方向都相同. 因为因为P点到各点到各边的距离都是边的距离都是方向垂直屏幕向内方向垂直屏幕向内ar63故故)65cos6(cos430rIBPaI290方向垂直屏幕向内方向垂直屏幕向内5dr1r2r3I1I2l8.

4、5 两平行直导线相距两平行直导线相距d=40cm，每根导线载有电流，每根导线载有电流I1 = I2 = 20A,如图所示如图所示. 求：求：(1) 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度；感应强度；(2) 通过图中斜线所示面积的磁通量通过图中斜线所示面积的磁通量. (设设r1=r3=10cm，l=25cm)解解:(1)如图所示，设如图所示，设P点点与该两导线与该两导线等距离等距离. P2/220dIBP)(100 . 45T方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外 由于两载流导线在由于两载流导线在P点处产生的磁点处产生的磁场大小、方向都相同，故

5、场大小、方向都相同，故P点处的磁点处的磁感应强度大小为感应强度大小为6dr1r2r3I1I2lrdr(2) 由于对称性，两载流导线在图中由于对称性，两载流导线在图中斜线所示面积产生的磁通量相同斜线所示面积产生的磁通量相同. I1在图中斜线所示面积产生的磁在图中斜线所示面积产生的磁通量，可作如下计算通量，可作如下计算. 在图中斜线所示面积中取一面积元，在图中斜线所示面积中取一面积元，该面积元到该面积元到I1的距离为的距离为r，宽度为，宽度为dr,取取这面积元的正方向为向外这面积元的正方向为向外. 那么，那么， I1 在这面积元产生的磁通量大小为在这面积元产生的磁通量大小为BdSSdBd1ldrr

6、I210积分可得积分可得I1在图中斜线所示面积产生的磁通量在图中斜线所示面积产生的磁通量2112101rrrldrrI12110ln2rrrI)(101 . 16Wb7)(101 . 161Wbdr1r2r3I1I2lrdr 所以通过图中斜线所示面积的磁所以通过图中斜线所示面积的磁通量为通量为)(102 . 2261Wb2112210rrrldrrI12110ln22rrrI)(102 . 26Wb有人作如下计算，是否正确？有人作如下计算，是否正确？讨论讨论88.15 无限长导体圆柱沿轴向通以电流无限长导体圆柱沿轴向通以电流I，截面上各处，截面上各处电流密度均匀分布，柱半径为电流密度均匀分布，

7、柱半径为R. 求柱内外磁场分布求柱内外磁场分布.在长为在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？解：由于电流具有轴对称性，所以磁场分解：由于电流具有轴对称性，所以磁场分布也具有轴对称性布也具有轴对称性.如图所示，选一环路如图所示，选一环路L环绕圆柱环绕圆柱.那么有那么有LrBrdB2Lr据安培环路定理得据安培环路定理得LrBrdB2所以所以)()(0220RrIRrIRr=)(2)(2020RrrIRrRrI=BI9 在长为在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量为的磁通量为SSdBIlrdrRldrRIr0202lI40)

8、(2)(2020RrrIRrRrI=B8.19 如图所示，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共如图所示，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线. 线圈长度线圈长度为为l，宽为，宽为b，近边距长直导线距离为，近边距长直导线距离为a，长直导线中通，长直导线中通有电流有电流I. 当矩形线圈中通有电流当矩形线圈中通有电流I1时，它受的磁力的时，它受的磁力的大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？解解:(1)矩形线圈各边受力情况如图所示矩形线圈各边受力情况如图所示.F1F2F3F4据安培力公式可得据安培

9、力公式可得lIBF111labI I1lIaI102lIBF122lIbaI10)(2方向向左方向向左方向向右方向向右由对称性可知，由对称性可知，F3、F4大小相等、方向相反大小相等、方向相反,叠加为零叠加为零.故矩形线圈受的磁力大小为故矩形线圈受的磁力大小为)(21021baalbIIFFF11labI I1F1F2F3F4)(21021baalbIIFFFF的方向向左的方向向左 由于各力与线圈共面，所以对线圈由于各力与线圈共面，所以对线圈无力矩作用无力矩作用. 128.23 如图所示，一半径为如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的导体，

10、其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向，电流电流等值反向，电流I在半圆柱面上均匀分布在半圆柱面上均匀分布.II解解: (1)如图如图1所示，建立所示，建立xoy坐标系，并在在坐标系，并在在半圆柱面上取一弧长为半圆柱面上取一弧长为dl=Rd的无限长电流的无限长电流元元.这一电流元的电流为这一电流元的电流为IddI (1) 试求轴线上导线单位长度所受的力；试求轴线上导线单位长度所受的力；(2) 若将另一无限长直导线若将另一无限长直导线(通有大小、方向通有大小、方向与半圆柱面相同的电流与半圆柱面相同的电流I)代替圆柱面，产生代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应放在何处？同样的作用力，该导线

11、应放在何处？图图1yxIRddl130yydBB所以所以020sin2dRIddBBxx又又sin2sin20RIddBdBxRI20于是于是iRIjBiBByx20 由对称性可知，无限长半圆柱面上由对称性可知，无限长半圆柱面上电流在其轴线上的磁场必沿电流在其轴线上的磁场必沿y轴轴,即有即有RdIdB20RId202它在半圆柱面轴线上产生的磁感应强度为它在半圆柱面轴线上产生的磁感应强度为IddI 方向如图方向如图2所示所示dB图图2yxIRddl14iRIjBiBByx20 由安培力公式可得轴线上导线由安培力公式可得轴线上导线单位单位长度长度所受的力为所受的力为jIBBl IfjRI220f(

12、2) 如图如图4所示，将另一无限长直导线所示，将另一无限长直导线(通有通有大小、方向与半圆柱面相同的电流大小、方向与半圆柱面相同的电流I)代替代替圆柱面，产生同样的作用力圆柱面，产生同样的作用力. 设该导线位设该导线位于于y轴上，并与轴线上的导线相距为轴上，并与轴线上的导线相距为d.B图图3令令RIdI220202解得解得2RdyxIRddldII图图4xy158.29 在一对平行圆形极板组成的电容器在一对平行圆形极板组成的电容器(电容为电容为C=11012F)上，加上频率为上，加上频率为50Hz，峰值为，峰值为1.74 105V的交变电压，计算极板间的位移电流的最大值的交变电压，计算极板间的

13、位移电流的最大值.解：设极板的面积为解：设极板的面积为S，面电荷密度，面电荷密度为为,极板间的电场强度为极板间的电场强度为E.SE则极板间的位移电流为则极板间的位移电流为dtdIed0而而0ESq0SCU0于是于是dtdUCId设设tUUmcosSSdEdtd0dtdES0所以极板间的位移电流的最大值所以极板间的位移电流的最大值为为mdCUImax2mCU)(105 . 55A168.4 两根导线沿半径方向被引到铁环上两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流两点，电流方向如图所示方向如图所示. 求环中心求环中心O处的磁感应强度是多少？处的磁感应强度是多少？解：这是一个并联电路解：这是一个

14、并联电路. 设两支路的设两支路的弧长分别为弧长分别为l1和和l2，通过的电流分别，通过的电流分别为为I1和和I2，又设环的半径为，又设环的半径为r.l1l2I1I2ACO12II 两根长直导线在环中心两根长直导线在环中心O处的磁场都处的磁场都为零为零. I1在环中心在环中心O处的产生的磁感应强度大小为处的产生的磁感应强度大小为21101101422rlIrlrIB方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外 I2在环中心在环中心O处的产生的磁感应强度大小为处的产生的磁感应强度大小为22202202422rlIrlrIB方向垂直屏幕向内方向垂直屏幕向内17ACO12IIl1l2I1I2211014 rlIB

15、方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外222024 rlIB方向垂直屏幕向内方向垂直屏幕向内又据并联电路的特点有又据并联电路的特点有2211RIRI而而SlRSlR2211，由以上各式得由以上各式得2211lIlI因此因此21BB 由于由于 和和 方向相反，所以环中心方向相反，所以环中心O处的磁感应处的磁感应强度为零强度为零.21BB188.14 两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密度都是度都是j，但方向相反，但方向相反. 求板间和板外的磁场分布求板间和板外的磁场分布.解：本题可解：本题可利用已知场强公式和磁利用已知场强公式和磁场叠加原理场叠加原理

16、来解来解. 据课本据课本p262公式公式(8.26)可得每块板的可得每块板的电流在其两侧产生的磁感应强度大小电流在其两侧产生的磁感应强度大小都是都是2021jBBj2j1B1B1B1B2B2B2因此据磁场叠加原理可得因此据磁场叠加原理可得两板间的磁感应强度大小为两板间的磁感应强度大小为jBBB021B方向如图所示方向如图所示两板外的磁感应强度大小为两板外的磁感应强度大小为021BBB198.18 一塑料圆盘，半径为一塑料圆盘，半径为R，表面均匀分布电量，表面均匀分布电量 q. 试试证明：当它绕通过盘心而垂直于盘面的轴以角速度证明：当它绕通过盘心而垂直于盘面的轴以角速度转动时，盘心处的磁感应强度

17、为转动时，盘心处的磁感应强度为RqB20RqOdrr证明证明:在圆盘中取一半径为在圆盘中取一半径为r，宽度，宽度为为dr的细圆环的细圆环. 当这细圆环以当这细圆环以的角速度绕通过盘心的角速度绕通过盘心且垂直于盘面的轴旋转时，其在盘心处且垂直于盘面的轴旋转时，其在盘心处产生的磁感应强度大小为产生的磁感应强度大小为rdIdB20Trdrr220202 Rqdr20202 RqdrdBRqOdrr积分可得积分可得RRqdrB0202Rq20RdrdlddIdldLRdrId 8.20 一无限长薄壁金属筒，沿轴线有均匀电流流通，一无限长薄壁金属筒，沿轴线有均匀电流流通，面电流密度为面电流密度为j(A/

18、m). 求单位面积筒壁受的磁力的大小求单位面积筒壁受的磁力的大小和方向和方向.解：在筒壁上取一宽为解：在筒壁上取一宽为dl，长为，长为dL的的电流元电流元dI，在与其相距为，在与其相距为r的筒壁上的筒壁上取另一宽为取另一宽为Rd的无限长的电流元的无限长的电流元dI .jdBdF 这一宽为这一宽为Rd的无限长的电流元的无限长的电流元dI 在宽为在宽为dl，长为，长为dL的电流元的电流元dI处产生的处产生的磁感应强度为磁感应强度为dB，且产生的磁力为，且产生的磁力为dF， dB， dF的方向如图所示的方向如图所示.则有则有rIddB20jRdr20dBdLdIdFjRdrdLjdl20dldLdr

19、Rj22022dldLdrRjdF220 那么，电流元那么，电流元dI 使单位面积筒壁受使单位面积筒壁受的磁力大小为的磁力大小为drRjdldLdFdf220 由对称性可知，单位面积筒壁受的磁力的垂直半径由对称性可知，单位面积筒壁受的磁力的垂直半径方向的分量为零，只有沿半径方向的分量方向的分量为零，只有沿半径方向的分量.djdfdf42sin20/RdrdlddBdF方向指向方向指向dI 单位面积筒壁受到的磁力单位面积筒壁受到的磁力2020/4djdfffdRRj2sin2220dj2sin420220j方向沿半径方向沿半径指向筒轴线指向筒轴线23解：设原来均匀磁场的磁感应强解：设原来均匀磁场

20、的磁感应强度为度为B0，方向如图所示，方向如图所示.B0B0 这无限大载流平面在其两侧产生的磁感应强度大小这无限大载流平面在其两侧产生的磁感应强度大小分别为分别为B左左和和B右右，B左左=B右右Bj，方向如图所示，方向如图所示. 由于将一均匀分布着电流的无限大由于将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场后，使得平面载流平面放入均匀磁场后，使得平面右边的磁场比左边的磁场强，故无限右边的磁场比左边的磁场强，故无限大载流平面的电流方向应如图所示大载流平面的电流方向应如图所示.B左左B右右20jBj8.21 将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场

21、中，电流方向与此磁场垂直磁场中，电流方向与此磁场垂直. 已知平面两侧的磁感已知平面两侧的磁感应强度分别为应强度分别为B1和和B2(如图所示如图所示)，求该载流平面单位面，求该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向积所受的磁场力的大小和方向.B1B2j2420jBj因此有因此有20001jBBBBj20002jBBBBj由以上两式可解得由以上两式可解得2210BBB012BBjB1B2B左左B右右B0B0j25B1B2B左左B右右B0B0j2210BBB012BBj 在载流平面上取一宽为在载流平面上取一宽为dx，长为，长为dz的面元的面元dS，则这面元在均匀磁场，则这面元在均匀磁场B0中受力为中受力为dF，方向如图所示，方向如图所示.dF0BdzdIdF大小为大小为dzdxjB0载流平面单位面积所受的磁场力的大小为载流平面单位面积所受的磁场力的大小为0jBdzdxdFf021222BB 方向垂直载流平面指向方向垂直载流平面指向B1一侧一侧.268.28 一平行板电容器的两极板都是半径为一平行板电容器的两极板