复变函数第5章.

1、1第五章 留数第一节第一节 孤立奇点孤立奇点第二节第二节 留数留数第三节第三节 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用2一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系第一节第一节 孤立奇点孤立奇点3一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心邻域的某一去心邻域 00zz内处处解析内处处解析, 则称则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.例例10 z是函数是函数zzezezz12,sin的孤立奇点的孤立奇点.孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00

2、zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:41可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 0zz 0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1) 定义定义例例2 42! 51! 311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 . 判断极限判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.52. 极点极点 1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(

3、0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, 6 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz例例3 中含有有限个负幂项中含有有限个负幂项,0 z是是2zez的二级极点的二级极点 . 2）说明）说明:的极点的极点 , 则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz7本性奇点本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷

4、多个含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例例4,!1! 211211 nzznzze)0( z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为. 为为本本性性奇奇点点，所所以以0 z同时同时zze10lim不存在不存在.8综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个

5、负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)( zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为9例例5 5 判定下列函数的孤立奇点的类型。判定下列函数的孤立奇点的类型。zez11 )(为孤立奇点0 z)()(limlimzezezzzz1100 10 zzelim为可去奇点。1 z42zzsin)(为孤立奇点0 z)()(sinlimsinlim4040zzzzzz 303zzzcoslim为极点。1 z10二、函数的零点与极点的关系二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其

6、中其中在在, 0)(0 z 解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点.例例6的一级零点，的一级零点，是函数是函数3)1()(0 zzzfz注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.)1()(13的三级零点的三级零点是函数是函数 zzzfz112.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是0zm0z如果如果在在解析解析, 那末那末为为的的级级)(zf)(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm3.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如

7、果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.12说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法. .例例6 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是. )2,1,0( kkz是孤立奇点是孤立奇点. kzkzzzcos)(sin因因为为的一级零点，的一级零点，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一级极点的一级极点.即

8、即13第二节第二节 留留 数数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题14一、留数的引入一、留数的引入01010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域的某去心邻域0zRzz 00邻域内包含邻域内包含0z的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线1512 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(积分积分0(高阶导数公式高阶导数公式)0 (柯西

9、柯西-古萨基本定理古萨基本定理)i 2的的系系数数洛洛朗朗级级数数中中负负幂幂项项101)( zzc16zzficCd )(211 即即),(Res0zzf 的的留留数数在在0)(zzf定义定义 记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的的系系数数幂幂项项 zzc为为中中心心的的圆圆环环在在即即0)(zzf)(0zfz 为为函函数数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称为.)

10、(0的的留留数数在在zzf以以如果如果17二、利用留数求积分二、利用留数求积分说明说明:内内部部处处处处解解析析；上上及及在在CCzf)(. 12. 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数定理)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤nzzz,21外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末. ),(Res2d )(1 nkkCzzfizzf立奇点立奇点函数函数182.留数的计算方法留数的计算方法(1) 如果如果0

11、z为为)(zf的可去奇点的可去奇点, . 0),(Res0 zzf则则).()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末0z)(zf规则规则1 1成洛朗级数求成洛朗级数求.1 c(2) 如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, )(zf(3) 如果如果0z为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf)(zf展开展开则需将则需将19如果如果 为为 的的 级极点级极点, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz 规则规则2 2那末那末规则规则3 3 如果如果,0)(,0)(,

12、0)(000 zQzQzP设设,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，那末那末0z为为的一级极点的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有且有20三、在无穷远点的留数三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向1 c1),(Res czf说明说明 Czzfid)(21记作记作 Czzfizfd)(21),(Res1.1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 zR内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，的值与无关，的值与无关，那末积分那末积分

13、1d)(21Czzfi则称此定值则称此定值点的留数，点的留数，在在为为 )(zf21.1z.2z.kz .证证 nkkzzfzf1),(Res),(Res CCzzfizzfid)(21d)(211. 0 由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)C包含在包含在 2.定理二定理二如果函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点) 的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf证毕证毕22说明说明: 由定理得由定理得,),(Res),(Res1

14、 zfzzfnkk nkkCzzfizzf1),(Res2d )(留数定理留数定理).),(Res2 zfi计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.zzfCd )( 优点优点: 使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)23四、典型例题四、典型例题例例1 求求nzzezf )(在在0 z的留数的留数.解解阶极点，阶极点，的的是是因为因为nzfz)(0 0 ,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(124例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留数

15、的留数.分析分析,0)0()0()0( PPP.0)0( P0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点由规则由规则3得得.sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的三级极点，的三级极点，是是所以所以)(0zfz 计算较麻烦计算较麻烦.25如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求1 c较方便较方便: ! 5! 31sin5366zzzzzzzz.! 510 ,sinRes16 czzz,!5!353 zz解解26说明说明: 0z如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求1 c来计

16、算留数来计算留数 . 66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.! 51 2. 在应用规则在应用规则2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便. :6 m 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取27例例3 求求51)(zezfz 在在0 z的留数的留数.解解 0 z是是)(zf的四级极点的四级极点. 1! 6! 5! 4! 3! 21116543255zzzzzzzzez,! 6! 51

17、! 41! 31! 211234 zzzzz10),(Res czf所以所以.241! 41 在在 z0内将内将展成洛朗级数展成洛朗级数:)(zf28例例4 计算积分计算积分,d)1(2zzzeCz C为正向圆周为正向圆周:. 2 z解解zzzezzfzzd)1(lim0),(Res20 ,)1(lim20 zezz 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfzz0 z为一级极点为一级极点,1 z为二级极点为二级极点,29 zezzzddlim121)1(limzzezz , 0 zzzeCzd)1(2 所以所以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi

18、 .2 i 30例例5 计算积分计算积分 Czzz,d14C为正向圆周为正向圆周:.2 z函数函数14 zz在在2 z的外部的外部, 除除 点外没有点外没有其他奇点其他奇点. Czzzd14 0 ,11Res22zzfi ),(Res2zfi 0 ,1Res24zzi. 0 解解 根据定理根据定理 2与规则与规则4: 31与以下解法作比较与以下解法作比较 :被积函数被积函数14 zz有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都在圆周在圆周2 z的内部的内部 , 所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3 ,414)()

19、(23zzzzQzP 32 Czzzd14.0414141412 i可见可见, 利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分计算积分 Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周为正向圆周 :.2 z解解 除除 )3)(1()(1)(10 zzizzf被积函数被积函数点外点外, 其他奇点为其他奇点为.3,1, i 33由于由于i 与与 1在在C的内部的内部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi ),(Res3),(Res2 zfzfi 0)3(21210ii则则),(Resizf ),(Res zf所以所以1),(Reszf 3

20、),(Reszf .0 .)3(10ii 34 一、形如 的积分 20d)sin,(cos R 二、形如 的积分xxR d)(三、形如 的积分)0(d)( axexRaix第三节第三节 留数在定积分计算上的应留数在定积分计算上的应用用 20d)sin,(cos RxxR d)()0(d)( axexRaix35 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee ,212zz 当当 历经变程历经变程2,0时时, 20d)sin,(cos R1 z的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周一一、形如、形如 的积分的积分3

21、6 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd )(1 z的有理函数的有理函数 , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点. .),(Res21 nkkzzfi37例例1 计算积分计算积分)0(dcossin202 baba 解解, iez 令令则则,21sin2ziz ,21cos2zz ,dd iiez izzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222202 12222d)2(2)1(zzbazbzizz38222222bba

22、ba ).(2222baab 122222222d)1(zbbaazbbaazbizzz bbaazfzfi)(),(Res0),(Res22239xxR d)(2,)(1111 nmbzbzazazzRmmmnnn二、形如二、形如 的积分的积分 ),(Res2d)(kzzRizzR所以所以 RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d )(;0d)(: RCzzRR,d)( zzR RRzzRd)(xy0R .R.RC40例例2 计算积分计算积分), 0, 0()()(d22222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR aizbzaiz )()(1222解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点,aiz .biz 一级极点一级极点,)(21222babi ),(ResaizR41bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),(Res2aizRbizRi .)(2 )2(23bababa