如何用梅逊公式求传递函数

1、Friday, June 17, 20221第四节 控制系统的信号流图Friday, June 17, 20222 信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成。见下图： 信号流图的概念信号流图的概念)(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sN-+)(sC)(sERE1GPN2GQCH111Friday, June 17, 20223xyGxyG上图中， 两者都具有关系: 。支路对节点 来说是输出支路，对节点y来说是输入支路。 )()()(sxsGsyx 节点：节点表

2、示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。 支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。信号流图的概念信号流图的概念Friday, June 17, 20224信号流图的术语信号流图的术语几个术语： 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。 通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起

3、点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路。 输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9XFriday, June 17, 20225 回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。 互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。信号流图的术语信号流图的术语 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为

4、回路传输或回路增益。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9XFriday, June 17, 20226信号流图的等效变换信号流图的等效变换 串联支路合并：abab1x2x3x3x1x 并联支路的合并：ab1x2xba2x1x 回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb1Friday, June 17, 20227 混合支路的清除：ab1x2x3x4xcdadbdacbc1x4x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2x 自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11信号流图的等效变换信号流图的等效变换Friday

5、, June 17, 20228n节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。n支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。n信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。n对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。信号流图的性质Friday, June 17, 20229信号流图的绘制信号流图的绘制信号流图的绘制： 根据结构图 列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制 先在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所

6、示。)(sue)(sug)(suf)(1su)(2su)(sua1G2G3GfG)(s)(sMcuGmG例1：速度控制系统的结构图为：gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1fFriday, June 17, 202210例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。1bdelk1gfhmRCV1V2V3bdemghk)(SClf)(SR1V2V3VFriday, June 17, 202211信号流图的绘制信号流图的绘制1bdelk1gfhmRCV1V2V3例2: 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系

7、绘制。如前例所对应的代数方程为:bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV按方程可绘制信号流图。Friday, June 17, 202212梅逊公式梅逊公式 用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：nkkkPP11式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：PnkP二、梅逊增益公式Friday, June 17, 202213.1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）式中： 流图中所有不同回路的回路传输之和； 所有互不接触回路中，每

8、次取其中两个回 路传输乘积之和； aLcbLL 所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；fedLLL 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分。k梅逊公式梅逊公式nkkkPP11Friday, June 17, 202214梅逊公式梅逊公式|例例2-13a解：前向通道有一条； 有一个回路； ugGGGGPu3211,fuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGLfuukkkgGGGGGGGGGPPsusP321321111111)()()()(susg例2-13a：求速度控制系统的总传输 。（不计扰动）nkkkPP1gue1u2u

9、aucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1fFriday, June 17, 202215梅逊公式梅逊公式|例例2-13解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：例2-13：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC21Friday, June 17, 202216图中，有一个前向通道；2221111sCRCRP 有三个回路；s

10、CRsCRsCRLa122211111有两个互不接触回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb2212112221111111sCCRRsCRsCRsCR11（因为三个回路都与前向通道接触。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk总传输为：梅逊公式梅逊公式|例例2-13nkkkPP11111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC21Friday, June 17, 202217梅逊公式梅逊公式|例例2-13讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得

11、将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。111iueuu2IouI1Iab11R21RsC11sC21上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC21Friday, June 17, 202218梅逊公式梅逊公式|例例2-14例2-14：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数)()(,)()(sRsEsRsC解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3

12、G1H2H21HH4GFriday, June 17, 202219回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk梅逊公式梅逊公式|例例2-14求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4GnkkkPP1Friday, June 17, 202220梅逊公式梅逊公式|例例2-14求 ：)()(sRsE

13、RCE1G2G3G1H2H21HH4G（兰线表示）23111, 1HGP 不变。1,221432HHGGP（红线表示）2143231HHGGHGP注意：上面讲 不变，为什么？ 是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。nkkkPP1Friday, June 17, 202221梅逊公式注意事项梅逊公式注意事项注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、

14、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。Friday, June 17, 202222梅逊公式梅逊公式|例例2-15例2-15：数数有几个回路和前向通道。RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H148211472114321221HGGGGHGGGGHGGGGHG 有四个回路，分别是：14821147211432122,HGGGGHGGGGHGGGGHG它们都是互相接触的。43211GGGGP 47212GGGGP 48213GGGGP 43254GGG

15、GP 47255GGGGP 48256GGGGP 4367GGGP 4868GGGP 472269GGGHGP 有九条前向通道，分别是：Friday, June 17, 202223梅逊公式梅逊公式|例例2-15 对应的结构图为：-+RC5G6G1G2G3G8G4G7G2H1H为节点RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H注意：信号流图与结构图的对应关系；仔细确定前向通道和回路的个数。作业：2-12，2-13Friday, June 17, 202224小结小结 信号流图的组成；术语； 信号流图的绘制和等效变换； 梅逊公式极其应用； 信号流图和结构图之间的关系。小结Friday,

16、 June 17, 202225梅逊公式的推导梅逊公式的推导附录：梅逊公式的推导1bdelk1gfhmRCV1V2V3如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程RfbVVVkdehglm01101321bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVVFriday, June 17, 202226于是可求得该方程组的系数行列式mkedlhmhgklhkedlmmkekedlhdlgklmhhmkemhdlgklhmkdehglm)(11)1 ()1 ()1)(1 (1101和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRgl

17、bRm)1 ()1 (1012梅逊公式的推导梅逊公式的推导Friday, June 17, 202227根据克莱姆法则得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是传递函数为mkedlhmhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。 梅逊公式的推导梅逊公式的推导Friday, June 1

18、7, 202228图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 dlhmhmkeLLkjkj,而值恰好为 mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。 梅逊公式的推导梅逊公式的推导Friday, June 17, 202229 如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=