分式不等式的解法讲义

1、不等式的解法1) 一元二次不等式的解法(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式.2) ) 一元二次不等式的解法(如下表所示)设a>0, x1, x2是一元二次方程 ax2+bx + c=0的两实根，且 x1vx2(3)对于一元二次不等式的解法需注意：x ax a>0(a< b)的解集为：x|x&a 或 x>b;<0(a< b)的解集为：x|a&xx bx bv b.从函数观点来看，一元二次不等式ax2+ bx+ c> 0(a> 0)的解集是一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在x轴上方的点的横坐标

2、的集合.三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三 者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点.处理其中某类问 题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析.具 体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系.2 .解一元二次不等式的方法：(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集.(2)公式法步骤：先化成标准型：ax2+bx+c>0(或v 0),且a>0；计算对应方程的判别式;求对应方程的根；利用口诀“

3、大于零在两边，小于零在中间”写出解集.3 .解绝对值不等式的基本思想1)解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式 等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：(1)若 a> 0,贝U I x I < a?a<x<a?x2< a2;(2)若 a> 0,则 I x | >a?xv a,或 x>a?x2>a2；(3) |f(x)|< g(x)?g(x)<f(x)<g(x);(4)|f (x)|> g( x) ?f (x)> g( x)或 f (x)< g( x

4、)(无论 g( x)是否为正).常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方.2)常见绝对值不等式及解法：(1)|f(x)| >a(a>0)?f (x) >2或 f(x) v a；(2)|f (x)| va(a>0)?av f (x) <a；(3)|x-a1| +| x-a2| >(<)b,用零点分区间法.4 . 一般分式不等式的解法：f：x：、f：x：(1)整理成标准型 在>0(或v 0)或正)0(或0 0).(2)化成整式不等式来解：0?f(x) g(x)>0Vg :x :f ：x：g :x :0?f(x

5、) g(x)v00?4g：x ：0?fx? g ?x?>0、g?x'片 0fx? g ?x?< 0g?x'# 0（3）再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集.热点考点题型探析考点1 一元二次不等式的解法题型1.解一元二次不等式例1不等式x2 A x的解集是（）C. 1,二D. -二,0 |J 1,二A. （一0 ）B. （0,1）【解题思路】严格按解题步骤进行解析由x2 >x得x（x-1） >0,所以解集为（-g,0 ）U（1,+g ）,故选D;别解：抓住选择题的特点，显然 当x =史时满足不等式，故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应

6、的一元二次方程的根题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.211,2例2已知关于x的不等式ax +2x+c>0的解集为（，一），求* +2x-a>0的解集.3 2【解题思路】由韦达定理求系数,2,、,1 八 11、-2，一解析由ax +2x+c a0的解集为（一一，一）知a <0, -一，一为万程ax +2x+ c = 0的两个根，由韦3 23 211211cOO达 te 理得 一一 十 = 一一，一一 m = 一，解得 a = -12, c = 2,一 cx +2x-a>0 即 2x 一 2x-12<0,其3 2 a 3 2 a解集为（-2,3）.【名师指引】已

7、知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是，由不等式的解集求出根，再由韦达定理求系数【新题导练】1.不等式（a -2） x2+2（a 2）-4v0,对一切xcr恒成立，则a的取值范围是（？?？）A. (-8 ,2? B(-2,2? C.( -2,2) ? D.( -8 ,2)解析：2<°,可推知-2<2< 2,另a=2时，原式化为-4V0,恒成立，丁 -2vaW2.选B A<0,2.关于x的不等式（m x-1）（ x-2）>0,若此不等式的解集为 x工<xv2,则m的取值范围是 mA. m >0 ?B.0 m <2? C.m > ?

8、 ? D. m <0hl解析：由不等式的解集形式知与m<0.答案：D考点2含参数不等式的解法 题型1:解含参数有理不等式 例1 ：解关于x的一元二次不等式 x2-(3 + a)x+3a > 0【解题思路】比较根的大小确定解集解析：x2 一(3 +a)x+3a >0 ,7(x-3Kx-a 0当a <3时,xVa或x >3 ,不等式解集为 k x <当a =3时，不等式为(x 3 i >0,解集为x x w RJLx #3；当a >3寸,x <3或x>a,不等式解集为 "x <3或x>a 【名师指引】解含参数的

9、有理不等式时分以下几种情况讨论:根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);根据根的判别式讨论(>0,A=0,A <0).根据根的大小讨论(Xi Ax2? =X2,x ex?).题型2:解简单的指数不等式和对数不等式例 2.解不等式 log a(1 - - ) >1 (a >0,a1) x【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a>1时，原不等式等价于不等式组1 x 1-1 、x由此得1a>1.因为1av0,所以x<0,1<x<0.1 - a(2)当0vav1时，原不等式等价于不等式组:1 0 x1一:a x由 得x>1或xv0

10、,由得0 vxvL1 - avxv0,当0vav1时，不等式综上，当a>1时，不等式的解集是x|，1 一 a的解集为x|1 vxv .1 - a【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性 转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论【新题导练】3.关于x的不等式63x2 2mx -m2 <0的解集为()a .mm、m m一 mm、 一 ”一 ,A. (,)B.(一,) C.(-°°, )U(,y)D.以上答案都不对9 77997解析：原不等式可化为(x+m)(x-m) <0,需对m分三种情况讨论，即不等式的解集与

11、 m有关.974.解关于x的不等式：ax2 -2(a +1)x +4 <0解析：(ax -2)(x -2) ：；：0、“2 r .2当 aAl=2>-二/x|-<x<2；a k a .一2 一 2当 0<a<1=2<一二x|2<x<一;>,.2-当 a <0 = (qx +2)( x -2)>0= Jx|x<或 x>2 a5 .考点3分式不等式及高次不等式的解法例 5解不等式：(x2 1)(x2 6x+8)之0【解题思路】先分解因式，再标根求解解析原不等式仁(x-1)(x+1)(x-2)(x-4) >0,

12、各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下所以不等式的解认4 一 ，x ，、4 ，要注意不等式的解集与不等式对应的方-1【名师指引】求解高次不等分式不等式一般用程的根白关系.5.若关于x的不等式>0的解集是(3,1)U(2,+%),则a的值为【新题导练】(x 3)( x 1)解析：原不等式。(x+a)(x+3)(x+1) A0 ,结合题意画出图可知a = 2.6 .解关于x的不等式(a+1)x 1>x(a>0) ax 1解：若0<a<上5二口，则原不等式的解集为(-解析：设f (x) =x2+ax+1,则对称轴为x= a，若?；，即a?- 1时，则f (x)

13、在0,1zL2L5-)U(l-55+=o)； 2a 225 1 一，.15若a=3_，则原不等式的解集为(L3,+8)； 22若a>五上，则原不等式的解集为(上*51)11(匕画，+笛)22 a 27.(广东省深圳中学2008 2009学年度高三第一学段考试)解不等式xx七'(-)4x ><2.2解析：2x,2 (1)4"' .22一 K5 5即23X2 > 22得x A 所以原不等式的解集为x|x >66考点4简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于x的不等式ax2 +2x+2>0在R上恒成立，求实数a

14、的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解解析当a=0时，不等式2x+2>0解集不为R,故a = 0不满足题意；当a # 0时，要使原不等式解集为 R,只需a 01,，解得a22 - 4 2a :二 02综上，所求实数a的取值范围为(K m)2，a =0【名师指引】不等式 ax2 +bx +c > 0对一切xw R恒成立u-a>0/=0或4 2=b - 4ac ： 0a : 0:=b2 - 4ac ： 0c ： 0若 a +2 =0,a + 2 > 0A <02不等式ax +bx+c<0对任意xuR恒成立ub=0或题型2.转化为二次函数的最值求参数的取

15、值范围【解题思路】先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.22解析设 f (x) =ax +bx+c(a *0) .由 f (0) =1 得 c = 1,故 f(x)=ax +bx+1.f(x+1) - f (x) =2xa(x + 1)2+b(x+1) + 1 _(ax2+bx + 1) = 2x即 2ax+a+b=2x,所以 2a =2,a+b =0 ,解得 a=1,b = 1 f (x) = x2 x+1.2一一 一.2 一一 一.(2)由知x -x +1 >2x +m在一1,1恒成立，即m < x 3x + 1在-1,1恒成立.人23 25 .令g(x)=x 3x+1=(

16、x),则g(x)在1,1上单调递减.所以g(x)在1,1上的最大值 24为g (1) =-1.所以m的取值范围是(-°°, 一1).【名师指引】m<f (x)对一切xw R恒成立，则m Mf (x)min ； m之f(x)对一切x R恒成立，则m f (x)max;【新题导练】.228 .不等式ax +4x+a>1-2x对一切x= R恒成立，则实数 a的取值范围是 解析:不等式ax2+4x+a >1 -2x2对一切xe R恒成立，一 _ .2-, .一即(a+2)x +4x+a-1>0 对一切 xc R 恒成立 若a+2=0，显然不成立9 .若不等式

17、x2+ ax+ 1 0对于一切x? (0,1)成立，则a的取值范围是()2A. 0B.2C. -5D. -32 *上是减函数，应有 f ( 2 ) 0 9- 5仪9- 12' , 2 1'. a1右一一0,即a，0时，则f (x)在0,一上是增函数，应有f (0) =1为恒成立，故a90222 22若0? a ?，即一1%N,则应有f( 一a) = a_a_ 4T a 0 恒成立，故一1%卬.综2 224 24,-5,上，有然故选C .2抢分频道基础巩固训练1 .不等式-x2 +5x +6 >0的解集是解析：将不等式转化成x25x6<0,即(x+1 X x6 )&l

18、t;0.2 .若不等式x2axb <0的解集为x|2 ex <3,则不等式bx2ax-1 >0的解集为 .2211.解析：先由万程x2 axb =0的两根为2和3求得a,b后再解不等式bx2 ax1 >0.得.，,233 .(广东省五校2008年高三上期末联考)若关于x的不等式g(x)>a2+a+1(xR) 的解集为空集，则实数 a的取值范围是 .22解析：g(x)之a +a+1(x u R)的解集为空集，就是1= g(x)maxa +a+1所以 a (_CJ, -1) - (0,'二)4(08梅州)设命题P：函数f(x) = lg(ax2 x+1a)的定

19、义域为R；命题q：不等式J1 + 2x<1 + ax16对一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题 p且q为假命题，求实数 a的取值范围。21、解：命题P为真命题已 函数f(x)=lg(ax - x十一a)定义域为ru 1621ax - x+a >0对任息实数 x均成立 二 16a 0a = 0时x > 0解集为R,或3 1 2I a ：: 04命题P为真命题u a > 25.解关于 x 的不等式 k(1 -x) +1 <0(k>0, kw1).x -2原不等式即(1 -k)x +k -2 o0 ,x 21 。若k=0,原不等式的解集为空集；2 - k

20、2若1 k>0,即0<k<1时，原不等式等价于(x)(x-2) <0,1 - k2 -'k2 -'k此时-2=>0,1 -k 1 - k2 - k1 -k.若0<k<1,由原不等式的解集为x|2<x< ;2 _k3若1-k<0,即k>1时，原不等式等价于(x_)(x_2)>0,1 - k2 k2 _k此时恒有2>幺生，所以原不等式的解集为 xx< 幺上，或x>2.3 -k1 -k综合拔高训练6.已知a > 0 ,且a才1 ,解关于x的不等式：解：原不等式等价于'ax-1>

21、;0(1)原不等式同解于<4-ax>0(2)7分2(ax -1)2 <4-ax(3)由得IV a'<4,由得 2(ax)2 -3ax -2 <0,-1 < ax <22从而1 V a x 0 21 0分当a > 1时，原不等式解为 x|0<x<loga2 当0 V a V 1时，原不等式解为 x|loga2<x<0 6 .(广东省深圳外国语学校 2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收 入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，

22、同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x>0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元(a>0)。(I)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年 总收入，试求x的取值范围；(II)在(I)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：(I)由题意得(100-x) 3000 (1+2x%) >100X3000即 x2 50xWQ 解得 0WxW50又x>0.-.0<x<50(II)设这100万农民的人均年收入为 y元，nrt (100 x) >3000 *1+2x%)+3000 ax 60x2+3000(a+1)x+300000贝 U y=y100100=-3x- 25(a+1) 2+3000+475( a+1)2(0<x< 50)5(i)当 0<25(a+1)W50 即 0vaW,当 x=25(a+1)时，y 最大；(ii)当25(a+1)>50,即a >1,函数y在(0,50单调递增，当 x=50时，y取最大值答：在0vawi时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在 a>1时安排50万人进入企业工作，才能使 这