全等三角形培优竞赛讲义(一)

1、精选文档可编辑全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的

2、元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角

3、的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知 ABC中，A 60°, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】BE CD BC,理由是：在 BC上截取BF BE ,连结OF ,禾1J用SAS证彳导 BEOBFO,，12,o 1oo A 60 , BOC 90- A 120 ,，DOE 120 ,2ADOE 180°, AEOADO 1800, 13 1800,24 180°,12,3 4,利用 AAS证彳# CDOCFO,，CD CF ,

4、. BC BF CF BE CD .【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60 ,射线MN与/DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 数量关系？【解析】 猜测DM MN .过点M作MG / BD交AD于点G , AG AM , .GD MB 又/ADM DMA 120°, /DMA / NMB 1200 ，/ADM /NMB,而 /DGM / MBN 120°, DGM © MBN , DM MN .【变式拓展训练】 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ABC 外角的平分

5、线交于点 N , MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM MN .在AD上截取AG AM , . DG MB , AGM 45° ，/DGM /MBN 135 , .ZADM / NMB , DGM © MBN , DM MN .【例3】 已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD= ZFAE,求证：BE+DF=AE.【解析】 延长CB至M ,使得BM= DF,连接AM .AB=AD, AD LCD, AB ± BM , BM= DF.ZABM ADF. JAFD= ZAMB , ZDAF= /BAM. AB /CDZAFD= ZBAF= ZEAF+ ZBA

6、E= ZBAE+ /BAM = /EAM.ZAMB= /EAM. AE= EM = BE+ BM = BE+ DF.【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、 ACE ,连结 CD、BE 相交于点O .求证：OA平分 DOE .【解析】因为 ABD、 ACE是等边三角形，所以AB AD , AE AC , CAE BAD 600,贝U BAE DAC ,所以 BAE © DAC , 则有 ABE ADC , AEB ACD , BE DC .在DC上截取DF BO,连结 AF ,容易证得 ADF © ABO , ACF © AEO . 进而由AF

7、 AO.得 AFO AOF ;由 AOE AFO 可得 AOF AOE ,即 OA平分 DOE .【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示， ABC是边长为1的正三角形， BDC是 顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在 AB、AC上，求 AMN的周长.【解析】【例6】【解析】如图所示，延长AC至11 E使CE BM .在 BDM与 CDE中，因为BD CD , 所以 BDM色 CDE ,故MD ED.因为 BDC 120°, MDN 600,所以 又因为 BDM CDE ,所以 MDN在MND与END中，DN 所以 MND © E

8、ND,贝U NE 五边形 ABCDE中，AB = AE, 求证：AD平分/CDEEECDMBDBDMEDNNDC60o.90°, BM60o.DN , MDN EDN 60°, DM DEMN ,所以 AMN的周长为2.BC+DE=CD, ZABC+ ZAED= 180C延长DE至F,使得EF=BC,连接AC. ZABC+ ZAED=180AEF+ ZAED=180. AB=AE, BC= EF . EF=BC, AC= AF . BC+ DE=CD. ZABCzAEF. CD=DE+ EF= DF. ZADCzADF. zADC= ZADF即AD平分ZCDE.zBCr /

9、AEF A板块二、全等与角度【例7】如图，在 ABC中, 求 ABC的度数.ABAC 60 , AD 是 BAC 的平分线;.且 AC AB BD ,【解析】如图所示，延长 AB至E使BE BD ,连接ED、EC.由 AC AB BD 知 AE AC ,故 AED© ACD .从而有DE DC , DEC 故 BED BDE DCE 所以 DEC DCE 200 ,而BAC 60°,则AEC为等边三角形注意到 EAD CAD , AD AD , AE AC ,DCE , DEC 2 DEC.ABC BEC BCE 600 20° 80° .【另解】在AC

10、上取点E ,使得AEAB,则由题意可知CEBD.在 ABD 和 AED 中，AB AE , BAD EAD, AD AD, 则 ABD© AED,从而 BD DE , 进而有 DE CE , ECD EDC ,AED ECD EDC 2 ECD.注意到 ABD AED,则： 130°ABC ACB ABC ABC ABC 180 BAC 120 , 22故 ABC 80 .【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE,利用角平分线 AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分 自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都

11、体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8】在等月ABC中，AB AC,顶角 求 BDC.A 20 ,在边 AB上取点D ,使 AD BC ,【解析】以AC为边向 ABC外作正 ACE ,连接DE.在 ABC 和 EAD 中，AD BC , AB EA, EAD BAC CAE 20° 60° 80°ABC ,则 ABC© EAD.由此可得ED EA EC,所以 EDC是等腰三角形由于 AED BAC 20°,40°,ACE 70° 60

12、6; 10° , 30°.贝 U CED AEC 从而 DCE 70° , 贝 U BDC DACAED 60° 20°DCA DCEDCA 20° 10°【另解1】以AD为边在 ABC外作等边三角形 ADE ,连接EC .在 ACB 和 CAE 中，CAE 6020 ACB , AE ADAB因止匕 ACB© CAE ,从而 CABCE AB AC.在CAD和CED中,AD ED , CE CA, CD CD ,故 CAD© CED,从而 ACD ECD ,CAB ACE 2 ACD ,故 ACD 10

13、 ,因此 BDC 30【另解2如图所示，以BC为边向 ABC内部作等边 BCN，连接NA、ND. 在 CDA和 ANC 中，CN BC AD, CAD 200,ACN ACB BCN 80o 60o 20°,故CADACN,而 AC CA,进而有 CDA© ANC .贝UACDCAN100,故BDCDACDCA300.角度之间的C 20 ,【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、关系.【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 ）如图所示，在 ABC中，AC BC, 又M在AC上，N在BC上，且满足 BAN 50 , ABM 60 ,求 NMB .【解

14、析】过M作AB的平行线交BC于K ,连接KA交MB于P .连接PN ,易知 APB、 MKP均为正三角形.因为 BAN 50 , AC BC, C 20 ,所以 ANB 50 , BN AB BP, BPNBNP 80 ,贝U PKN 40 , KPN 180 60 8040 ,故 PN KN .从而 MPN © MKN .1进而有 PMN KMN , NMB KMP 30 .2【另解】如图所示，在 AC上取点D ,使得 ABD 20 ,由 C 20、AC BC 可知 BAC 80 .而 ABD 20 ,故 ADB 80 , BA BD .在 ABN 中， BAN 50 , ABN

15、80 ,故 ANB 50 ,从而BA BN ,进而可得 BN BD.而 DBN ABC ABD 8020 60 ,所以BDN为等边三角形.在 ABM 中， AMB 180 ABM BAM 180 80 6040 ,DBM ADB AMB 80 40 40 ,故 DMB DBM ,从而 DM DB.我们已经得到 DM DN DB ,故D是 BMN的外心，1 从而 NMB NDB 30 .2【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例10】在四边形ABCD

16、中，已知AB AC, ABD 60 , 求 DBC的度数.【解析】如图所示，延长BD至E,使DE DC,由已知可得: ADE 180 ADB 18076104 ,ADC ADB BDC 7628104 ,故 ADE ADC .又因为 AD AD , DE DC , 故 ADE© ADC， 因此 AE AC , E ACD , EAD CAD . 又因为AB AC , 故 AE AB , ABC ACB.而已知 ABD 60 ,所以ABE为等边三角形.于是 ACD E EAB 60 , 故 CAD 180 ADC ACD 16 , 贝U CAB EAB CAD EAD 28 ,1从而

17、ABC -(180CAB) 76 ,ADB 76 , BDC 28 ,E【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中DAC 12 ,CAB 36 , ABD 48 ,【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是 用正三角形.在四边形ABCD外取一点P,使PAD12 且 AP在ADP和ADC 中,PADCAD12 , APAAC ,连接 PB、PD.P12的倍数，这使我们想到构造DBC 24 ,求 ACD的度数.故 ADP©从而 APDADC .ACD .在ABC中，故 ACB 72CABABC 72AB,所以 DBC ABC ABD 16 .精选文档从而AP AB .而 PAB PAD DAC CAB 12 12 3660 ,故PAB是正三角形，APB 60 , PA PB .在 DAB 中， DAB DAC CAB 123648 DBA ,故 DA DB.在 PDA和 PDB 中，PA PB , PD PD , DA DB,故 PDA© PDB ,1从而 APD BPD APB 30 , 2AD BD, AC BC, CD则 ACD 30 .【例12（河南省数学竞赛试题AB BC, BD BD ,BED BCD 30o.在ABC外取一点E ,使 DBE【解析】如图所示，连接DC.因为 则 ADC© BDC , 故 BCD 30o.