电磁感应习题课

1、Harbin Engineering University孙秋华孙秋华 教学要求教学要求1.掌握电流密度矢量和电动势的概念掌握电流密度矢量和电动势的概念2.熟练掌握法拉第电磁感应定律，能根据定律解决实际问熟练掌握法拉第电磁感应定律，能根据定律解决实际问 题。题。3.能熟练掌握动生电动势的计算。能熟练掌握动生电动势的计算。4.正确理解自感和互感现象，会计算自感和互感及自感电正确理解自感和互感现象，会计算自感和互感及自感电 动势和互感电动势。动势和互感电动势。5.掌握磁场的能量和场能密度的计算。掌握磁场的能量和场能密度的计算。6.理解涡旋电场和位移电流的概念。理解变化磁场引起电理解涡旋电场和位移电

2、流的概念。理解变化磁场引起电 场和变化电场引起磁场的两个基本规律，是电磁感应定场和变化电场引起磁场的两个基本规律，是电磁感应定 律和安培环路定律相应的推广。掌握麦克斯韦方程组的律和安培环路定律相应的推广。掌握麦克斯韦方程组的 积分形式。掌握电磁波的性质及波印廷矢量积分形式。掌握电磁波的性质及波印廷矢量Harbin Engineering University孙秋华孙秋华一、基本概念一、基本概念1.电流密度矢量电流密度矢量 ：2.电源电动势：电源电动势：ndsdIjldEK3.涡旋电场：由变化磁场而激发的电场。涡旋电场：由变化磁场而激发的电场。4磁场的能量及能量密度磁场的能量及能量密度 a.能量

3、密度能量密度: b.磁场能量：磁场能量：BHwm21dVBHdVwWVVmm21Harbin Engineering University孙秋华孙秋华5.位移电流：位移电流：dsdID dsdt7.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：SdBtldEqsdDsLs0SdDtIl dHSdBsLs008. 玻印廷矢量：玻印廷矢量：HEStDjd6.位移电流密度：位移电流密度：Harbin Engineering University孙秋华孙秋华二、基本定律二、基本定律1.1.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律： 负号表明方向负号表明方向2 2楞次定律：（略）楞次定律：（略）dtdm三三.基本运算：

4、基本运算：1）动生电动势：）动生电动势： 即导体在磁场中切割磁力线时，才能产生动生电动势。该导即导体在磁场中切割磁力线时，才能产生动生电动势。该导体相当于一个电源，在其内部它由低电势指向高电势，此时体相当于一个电源，在其内部它由低电势指向高电势，此时的非静电力为：的非静电力为：BVEK则：则：baabldBv)(Harbin Engineering University孙秋华孙秋华2）感生电动势：闭合回路不动，由于穿过回路的磁通量发）感生电动势：闭合回路不动，由于穿过回路的磁通量发 生变化而产生的电动势。生变化而产生的电动势。 非静电力为非静电力为：涡涡旋旋EEKSdtBldEi涡所以：所以：

5、3) 自感与互感自感与互感a.自感电动势：自感电动势：b.互感电动势：互感电动势：ILdtdILL112212IMdtdIMHarbin Engineering University孙秋华孙秋华电电磁磁感感应应定律定律dtdmi 楞次定律楞次定律麦氏方程组麦氏方程组 sLsLssiisdtDIl dHsdBsdtBl dEqsdD000电动势电动势dtdmi BAABldBv)( dtdILL dtdIM121 其它计算其它计算IL 121212IIM 22121LIWdVWBHmVmmm tDjHESD Harbin Engineering University孙秋华孙秋华四、典型例题四、典

6、型例题：动生电动势的计算动生电动势的计算bal dB)(vbakabl dE1.规定导线的正方向规定导线的正方向ab2.选坐标选坐标3.找微元找微元dl4.确定微元处确定微元处v 和和B cos)sin()(dlvBl dBvd 5.积分求解积分求解若若 0 0表示其方向与表示其方向与a b方向相同，反之相反。方向相同，反之相反。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华 1. 求长度为求长度为L的金属杆在均匀磁场的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定中绕平行于磁场方向的定 轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B的

7、方位的方位 角为角为 ，杆的角速度为，杆的角速度为 ，转向如图所示。，转向如图所示。B L Harbin Engineering University孙秋华孙秋华22000sin21sinsinsin)(BLdllvBdlldBvLLbab解：解： 电动势的方向从电动势的方向从a b vB)(Bvab Harbin Engineering University孙秋华孙秋华例例2.一无限长竖直导线上通有稳定电流一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。电流方向向上。导线旁有一与导线共面、长为导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端的金属棒，绕其一端O在该在该平面内顺时针匀速转动，如图

8、。转动角速度为，平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，O点到导点到导线的垂直距离为线的垂直距离为r0 (r0L)。试求金属棒转到与水平面成试求金属棒转到与水平面成 角角时，棒内感应电动势的大小和方向。时，棒内感应电动势的大小和方向。r0Lo IBHarbin Engineering University孙秋华孙秋华coscos:0dldxlrx其中dlxIlldBvLrraocos0002)(解：解：020000cos0coslncos2cos2cos)cos(200rLrrILIdxrxxIoLrrr0dlo IBxHarbin Engineering University孙秋华孙秋华例

9、例3.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长的无限长直导线，其旁另有一边长为直导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈的等边三角形线圈ACD该线圈该线圈的的AC边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈ACD在纸在纸面内以匀速面内以匀速 远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当线圈当线圈AC边与长直导线相距边与长直导线相距a时，线圈时，线圈ACD内的动生电动势内的动生电动势 vaIACDvHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解： 1.

10、规定导线的正方向规定导线的正方向AC D AaIACDACDAl dBv)(CAl dBv)(1DCl dBv)(2ADl dBv)(3321Harbin Engineering University孙秋华孙秋华aIvlvlB2012.选坐标选坐标3.找微元找微元dl4.确定微元处确定微元处v 和和BaIACDvoxdlBvlvBlBvdcosd)(d602xIB 20 Harbin Engineering University孙秋华孙秋华6060202sindcosdxxIv300260602cossindcoslaaxxIv2/3lc 令令 acaIln6v302另外一边产生的动生电动势与

11、另外一边产生的动生电动势与 大小相等绕向相同大小相等绕向相同 Harbin Engineering University孙秋华孙秋华lnacaalI3322v2021aIACD其方向为顺时针其方向为顺时针Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业84无限长直导线载有电流无限长直导线载有电流I，其旁放置一段长度为，其旁放置一段长度为l与与载流导线在同一平面内且成的导线。计算当该导线在平面上载流导线在同一平面内且成的导线。计算当该导线在平面上以垂直于载流导线的速度以垂直于载流导线的速度v平移到该导线的中点距载流导线平移到该导线的中点距载流导线为为a时，其上的动生

12、电动势，并说明其方向。时，其上的动生电动势，并说明其方向。a60lIHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 B的分布的分布b. 选坐标选坐标c. 选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量 感生电动势的计算感生电动势的计算利用法拉第电磁感应定律利用法拉第电磁感应定律f. . 求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量dtdNi 3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势Harbin Engin

13、eering University孙秋华孙秋华例例4.均匀磁场均匀磁场B被限制在半径被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以场以dB/dt=1T/s的匀速率增加，已知的匀速率增加，已知 = /3，Oa=Ob=6cm. 求求: 等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。abcdR Bo Harbin Engineering Univer

14、sity孙秋华孙秋华dtd解：选解：选 abcd 回路的绕行方向顺时针为正，则有回路的绕行方向顺时针为正，则有abmnBSSdBmVdtdBSabmn68. 3方向：逆时针方向：逆时针abndR Bo omabcHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上 B的分布的分布b. 选坐标选坐标c. 选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量 动生、感生并存电动势的计算动生、感生并存电动势的计算利用法拉第电磁感应定律利用法拉第电磁感

15、应定律f. . 求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量dtdNi 3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势Harbin Engineering University孙秋华孙秋华例例5.如图所示，长直导线中电流为如图所示，长直导线中电流为I，矩形线圈矩形线圈abcd与长直与长直导线共面，且导线共面，且ab/dc，dc边固定，边固定，ab边沿边沿da及及cb以速度以速度v无无摩擦地匀速平动。摩擦地匀速平动。t=0时，时，ab边与边与cd边重合。设线圈自感忽边重合。设线圈自感忽略不计。（略不计。（1）如）如I=I0，求求ab中的感应电动势。（中的感应电动势。（2）如

16、）如I=I0cos t，求，求ab边运动到图示位置线圈中的总感应电动势。边运动到图示位置线圈中的总感应电动势。Iabcdl0lvl2Iabcdl0lvl2Harbin Engineering University孙秋华孙秋华000000ln22)(100lllvIdxxIvl dBvlllbaab ）（解：解：Iabcdl0lvl2Iabcdl0lvl2xo(2)a、规定正方向规定正方向abcdab、计算计算 t 时刻的磁通量时刻的磁通量0000ln2)(2)()00lllvttIvtdxxtItlll（0000ln2cos)lllvttIt（Harbin Engineering Univer

17、sity孙秋华孙秋华dtdNi 3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势00000000ln2cosln2sin)llltvIlllvttIt（Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业79一半径一半径r=10cm的圆形闭合导线回路置于均匀磁的圆形闭合导线回路置于均匀磁场场B ( B=0.80T)中，中，B与回路平面正交。若圆形回路的半径与回路平面正交。若圆形回路的半径从从t=0开始以恒定的速率开始以恒定的速率(dr/dt=-80cm/s)收缩，则在收缩，则在t=0时时刻闭合回路的感应电动势的大小是多少？如要求感应电动刻闭合回路的感应电动势的大小是多少？

18、如要求感应电动势保持这一数值，则闭合回路面积应以怎样的恒定速率收势保持这一数值，则闭合回路面积应以怎样的恒定速率收缩？缩？Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业80一导线弯成如图形状，放在均匀磁场一导线弯成如图形状，放在均匀磁场B中，中，B的的方向垂直图面向里。方向垂直图面向里。 使导线绕轴使导线绕轴oo 旋转，如图转速为每分钟旋转，如图转速为每分钟n转。计算转。计算 oo.,600acdbcbcdb bc cd doo BHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业81电量电量Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为a、长为

19、、长为L (La) 的绝缘的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转。一半薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转。一半径为径为2a、电阻为、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上（如图所示）。的单匝圆形线圈套在圆筒上（如图所示）。若圆筒转速按照若圆筒转速按照 = 0(1t/t0)的规律（的规律（ 0和和t0是已知常数）是已知常数）随时间线性地减少，求圆形线圈中感应电流的大小和方向。随时间线性地减少，求圆形线圈中感应电流的大小和方向。 2a z a Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业82两根平行放置相距为两根平行放置相距为2a的无限长载流直导线

20、，其的无限长载流直导线，其中一根通以稳恒电流中一根通以稳恒电流I0，另一根通以交变电流，另一根通以交变电流i =I0coswt两两导线间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为导线间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为l和和2b，l边与长直导线平行，且线圈以速度边与长直导线平行，且线圈以速度 垂直直导线向右运垂直直导线向右运动动(如图如图)当线圈运动到两导线的中心位置当线圈运动到两导线的中心位置(即线圈中心线即线圈中心线与距两导线均为与距两导线均为a的中心线重合的中心线重合)时，两导线中的电流方向恰时，两导线中的电流方向恰好相反，且好相反，且i =I0，求此时线圈中的感应电动势，求此时线圈

21、中的感应电动势 vHarbin Engineering University孙秋华孙秋华 互感系数与互感电动势的计算互感系数与互感电动势的计算例例6.一个半径为一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作匀速转动，角速度为匀速转动，角速度为 。另有一个半径为。另有一个半径为b的大圆环的大圆环 (ba) ，固定不动，其中通有不变的电流固定不动，其中通有不变的电流I.小环与大环有共同的圆心。小环与大环有共同的圆心。t=0时二环共面。小圆环的电阻为时二环共面。小圆环的电阻为R，自感可以不计。试求自感可以不计。试求:大圆环中的感生电动势。大圆环中的感生电动势。

22、IbaHarbin Engineering University孙秋华孙秋华bIB2021解：解：tabIcos222012tbaIMcos220212tbRaIdtdRIsin21220121tRbIaMI2sin8)(2220121tRbIadtd2cos4)(222021 IbaHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业85一无限长直导线通有电流一无限长直导线通有电流 ，一，一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，如图所示。求：（如图所示。求：（1）矩形线圈中感应电动势的大小及）矩形线圈中感应电动势

23、的大小及方向；（方向；（2）导线与线圈的互感系数。）导线与线圈的互感系数。teII30IablHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业86一矩形截面的螺绕环（一矩形截面的螺绕环（ r=1），由细导线均匀），由细导线均匀密绕而成，内半径为密绕而成，内半径为R1，外半径为，外半径为R2，高为，高为b，共，共N匝。匝。在螺绕环的轴线上，另有一无限长直导线在螺绕环的轴线上，另有一无限长直导线oo ，如图所示。，如图所示。在螺绕环内通以交变电流在螺绕环内通以交变电流i=I0cost（时电流方向如图），（时电流方向如图），求当求当 t= /4时，在无限长直导线中的感应

24、电动势的大小时，在无限长直导线中的感应电动势的大小和方向。和方向。1000,106,104 . 2,10821221NmbmRmR匝匝100,50 AI0986. 13ln rad/sHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业87如图所示，一面积为如图所示，一面积为4.0m共共50匝的小圆形线匝的小圆形线圈圈A，放在半径为，放在半径为20cm共共100匝的大线圈匝的大线圈B的正中央，的正中央，两线圈同心且共面。设线圈两线圈同心且共面。设线圈A内各点的磁感应强度可看内各点的磁感应强度可看作是相同的。求：（作是相同的。求：（1）两线圈的互感；（）两线圈的互感；（

25、2）当线圈）当线圈B中电流的变化率为中电流的变化率为-50As-1时，线圈时，线圈A中感应电动势的大中感应电动势的大小和方向。小和方向。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华例例7 .半径为半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀磁的均匀磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属直线放在金属环上，当直导线以属直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到在圆环上向右运动到离环心离环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应处时。求：此时感应电流在环心处产生

26、的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为强度。（设金属单位长度的电阻为r0） vbcaO 综合性习题综合性习题Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：由由 得得baldBv)(vBaldBvcbbc3)(方向：方向：c b vbcaOII1I2r1r2利用几何关系利用几何关系0201032343arrarrarrHarbin Engineering University孙秋华孙秋华02121)943(arrrrrrR0)943(3rvBRIbc2:1:212211IIrIrIaIRIBaIRIB623132321010210101二者大小相等，方向相反，二者

27、大小相等，方向相反，互相抵消互相抵消aIrIB23)cos(cos402100Harbin Engineering University孙秋华孙秋华cclIIcab例例8.如图在真空中两条无限长载流均为如图在真空中两条无限长载流均为I的直导线中间放的直导线中间放置一门框形支架置一门框形支架(支架固定支架固定)，该支架由导线和电阻联接而，该支架由导线和电阻联接而成载流导线和门框形支架在同一竖直平面内另一质量成载流导线和门框形支架在同一竖直平面内另一质量为为m的长为的长为l的金属杆的金属杆ab可以在支架上无摩擦地滑动将可以在支架上无摩擦地滑动将ab从静止释放（几何尺寸如图，回路中的电阻为从静止释放

28、（几何尺寸如图，回路中的电阻为R） 求求 某一速度某一速度 (1) ab上的感应电动势上的感应电动势 (2) ab上的电流上的电流 (3) ab所能达到的最大速度所能达到的最大速度 vRHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：)211(20rlcrIBlccabrBvd)ln(ln20clcclcIvclcIln0vclcRIvRIabiln0Harbin Engineering University孙秋华孙秋华lccirBImgFdRclcImgv20)ln(tmRclcImgdd)ln(20vvvvv020)ln(dmRclcIgtt0d2020)ln

29、()ln(exp1clcImRmRclcIgtvvmax 202)ln(clcImgRHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业 83.有一很长的长方的有一很长的长方的U形导轨，与水平面成形导轨，与水平面成 角，裸角，裸导线导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为B竖直向上的均匀磁场中，如图所示设导线竖直向上的均匀磁场中，如图所示设导线ab的质量为的质量为m，电阻为，电阻为R，长度为，长度为l，导轨的电阻略去不计，导轨的电阻略去不计，abcd形成形成电路，电路，t =0时，时，v =0. 试求：导线试求

30、：导线ab下滑的速度下滑的速度v与时间与时间t的的函数关系函数关系 abcdlBHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解解:cosBlivcosRBlRIiivBlRcosBlBlIFivtdvdmcosBlRcosvBlsinmgmRcosvlBsingvdtd222Harbin Engineering University孙秋华孙秋华singA )/(cos222mRlBc)/(ddvvcAtvvvvvv000)d(1dcAcAccAdttAcActvln1)e1 (cossin)e1 (222ctctlBmgRcAvHarbin Engineering U

31、niversity孙秋华孙秋华 电磁场其他物理量的计算电磁场其他物理量的计算作业作业88一个半径为一个半径为0.01m，长为，长为0.10m的长直密绕螺线的长直密绕螺线管，共管，共1000匝线圈，总电阻为匝线圈，总电阻为7.76 。求：（。求：（1）如把线）如把线圈接到电动势为圈接到电动势为2.0V的电池上，电流稳定后，线圈中所的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）从接通电）从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？需经过多少时间？作业作业89充了电的由半径为充了电的由半径为r的两块圆板组成的平板电的两块圆板组成的平板电容器，在放电时容