正、余弦定理应用.

1、课堂小结课堂小结1.1.余弦定理及变形余弦定理及变形CabbacBaccabAbccbacoscoscos222222222222 abcbaCacbcaBbcacbA222222222222 coscoscos2.2.余弦定理可解决的问题余弦定理可解决的问题（1 1）已知两边和它们的夹角，求第三边已知两边和它们的夹角，求第三边（2 2）已知三边，求三个角已知三边，求三个角中，中，在在 ABC 2220900acbAA cos2220cos90acbAA 222018090acbAA cos3.3.余弦定理得出的推论余弦定理得出的推论解斜三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：

2、三角形边与角的关系：三角形边与角的关系：RCcBbAa2sinsinsin Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 1801CBA、2、 大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边 。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然后用正弦定理求出第三边。后用正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦

3、定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出两边。用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA) 三.判断三角形的形状已知三边能判断三角形形状吗？已知三边能判断三角形形状吗？bcacbA2cos222推论：推论：B BA Ab ba ac

4、 c设设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形222cba ABC是锐角三角形222cba ABC是直角三角形222cba C C 例例1、在ABC中，已知a =1 , c = 2 ，B =150。，求b. 变式变式1、已知、已知ABC的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角求它的最大内角.7 变式变式2、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形判定三角形ABC的形状的形状222b(,)90180acB 巩固提高巩固提高.,1413cos, 8,7,. 3的的余余弦弦值值求求最最大大角角已已知知中中在在 CbaABC., 7:5:3:,. 2的的

5、最最大大内内角角求求这这个个三三角角形形已已知知中中在在 cbaABC323.32.6.3.,. 1222 或或为为（）则则角角已已知知中中在在DCBAAbccbaABC 思考：已知三角形三边长为思考：已知三角形三边长为a a, ,b b, ,c c, ,怎样判断怎样判断ABCABC是锐角三角形是锐角三角形, ,直角三角形还是钝角三角直角三角形还是钝角三角形？形？归纳：设归纳：设a是最长边是最长边,则则ABC是直角三角形是直角三角形 a2=b2+c2 ABC是锐角三角形是锐角三角形 a2b2+c2 ABC是钝角三角形是钝角三角形 a2b2+c2千岛湖 3.4km3.4km6km6km12012

6、0）情景问题岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C? ?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km3.4km6km6km120120）岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C? ?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）ABC 因为某种实际需要，因为某种实际需要，需测量左图中需测量左图中A A、B B两点间两点间的距离，如何测量？的距离，如何测量？800 实际测量中，测量人实际测量中，测量人员在如图所示位置取点员在如图所

7、示位置取点C C，用皮尺测得用皮尺测得ACAC=8=8米，米，BCBC=5=5米，米，ACBACB= =问：怎么样算问：怎么样算ABAB的长度？的长度？CBAcab探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为CC， 求边求边c.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bacCBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Ca

8、bbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设CBAcabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探探 究究： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， BC=a,C

9、ABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.cABbCAaCB,设设bac复习回顾：复习回顾：1.1.正弦定理的内容正弦定理的内容在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。CcBbAaABCsinsinsin 中中，即即在在 2.2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？（1 1）已知三角形的两角和一边）已知三角形的两角和一边（2 2）已知两边和其中一边的对角。）已知两边和其中一边的对角。若已知三角形的三边，或者是两边及其若已知三角形的三边，或者是两边及其夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？夹角，能

10、否用正弦定理来解三角形呢？R2 新课讲授：新课讲授：?,.cCABC如如何何求求边边中中在在三三角角形形901 ABCcba222bac 勾股定理：勾股定理：呢呢？来来求求如如何何由由边边中中在在非非直直角角三三角角形形cbaABC,. 2新课讲授：新课讲授：.,cbaCABC求求边边及及边边中中，已已知知角角在在三三角角形形222BDADcABD 有有中中在直角三角形在直角三角形,CbaCDaBDCbADcossin 而而222)cos()sin(CbaCbc CabCbaCbcoscossin222222 ABCabcDDBCBCADA于于交交作作过点过点, Cabbacos222 Bac

11、cabAbccbacoscos22222222 我们已经学过向量我们已经学过向量, ,下面试着用向量的方法给予证明下面试着用向量的方法给予证明新课讲授：新课讲授：ABCabcCBACAB 22CBACAB CBACCBAC 222CCBACCBACcos222 )cos(CCBACCBAC 222CCBACCBACcos222 Cabbaccos2222 即即你能用文字说明吗你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方等于三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍它们夹角的余弦的积的两倍. . a2=b2+c2-2bccos

12、A b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC 想一想：想一想： 余弦定理能够解决什么问题？余弦定理能够解决什么问题？ a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC方程思想：方程思想：四个量，知三求一四个量，知三求一1.1.已知两边已知两边b,cb,c和它们的夹角和它们的夹角A A 求另一边求另一边a a（直接用）；（直接用）；2.2.已知三边求角（变形）已知三边求角（变形）. .变形变形b2+c2 - a22bc cosA=c2+a2 - b22ca cosB=a2+b2 - c22ab cosC=CBAabc利

13、用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30, 32, 3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322C CA AB Ba ab bc c60,Bcb90180CBA_,60, 1, 31aAcb则、若_AC,43cos1BC2ABABC2则，中，、在C72变式：C

14、 CB BA Ab ba ac c3.,解解三三角角形形中中，在在12011 CbaABC 33120112112222222 ccCabbaccoscos解解：301203018018030150302131201 CABAACacAcCaACcAa因因此此，所所以以但但是是由由于于或或又又,sinsinsinsinsin例例2 2、在、在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,c= , a= ,b=2,c= , 解三角形解三角形( (依次求解依次求解A A、B B、C).C).解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223161222 231()()cos()bcaAbc 60A45

15、B180180604575CAB 631二、已知三角函数的三边解三角形22) 13(622) 13()6(2cos222222acbcaB_, 2, 1, 3. 1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60._,. 2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：C CB BA Ab ba ac c（1）若）若A为直角，则为直角，则a=b+c（2）若）若A为锐角，则为锐角，则ab+c由由a2=b2+c22bccosA可得可得AaBCbcAcbAbc例3、在ABC中，若， 则ABC

16、的形状为（）222cba、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定那 呢?222cba例例.,三三角角形形的的形形状状试试判判断断这这个个中中在在721 cbaABC 18090 C0 Ccos222cba 结论：结论：中，中，在在 ABC 2220900acbAA cos222090acbAA cos222018090acbAA cos一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6练习：练习：1、在ABC中,若a=4、

17、b=5、c=6，判断ABC的 形状.A AD DC CB B) )30300 0) )45450 02、如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300， ADC=450，求AC的长。3.4km3.4km6km6km120120）A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km， B=120B=120o o，求，求 ACAC解决实际问题解决实际问题解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：岛屿答：岛屿A A与岛屿与岛屿C C的距离为的距离为8.24 km.8.24 km.BBCABBCABACcos222296.67120cos4 . 362

18、4 . 3622o24. 8AC为（）为（）则则且且若若中中在在ABCbaccbaABC ,.2224 巩固提高巩固提高不存在不存在钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形.DCBA取取值值范范围围是是的的则则边边长长分分别别为为已已知知一一个个锐锐角角三三角角形形的的xx,.325则则三三角角形形的的三三边边长长为为等等于于且且最最大大角角的的正正弦弦值值中中在在,23226 cbbaABC 例例2 在在ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值求最大角的余弦值.分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角

19、是最大角个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求由大边对大角，已知两边可求出第三边出第三边,找到最大角找到最大角.2222c o sa bCbca221 31 4278987，解：解：3.c 则则b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角.222222.73822 3 71cos7acbacB 1314 例例3 在在ABC中，已知中，已知BC=a, AC=b, cosC= - 0.5, (1)求角求角C的度数的度数 （2）求）求AB的长的长 变式：变式：ABC中中，B=60，b2=ac,求角求角A 练：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长练：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三

20、边长 A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：分析： 要看哪一组符合要看哪一组符合 要求，只需检验哪一个选项要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：中： ， 所以所以C是钝角是钝角.2220132442 2 3cosC D中：中： ，所以，所以C是锐角是锐角. 因此以因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形.222156482 4 5cosC 解：解：A、C显然不满足显然不满足.例3：在ABC中，已知a=2,b= ，解三角形。231c 例3：在ABC中，已知a=2,b

21、= ，解三角形。231c 例3：在ABC中，已知a=2,b= ，解三角形。231c 解：由例解：由例2可知可知 A=45由正弦定理得由正弦定理得 思考思考在解三角形的过程中，求某一个角有时在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理用余弦定理推论，解唯一用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。可以免去判断舍取。用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行

22、判断舍取判断舍取1.在ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。2.在ABC中，已知 , , B=45， 求b和A。2 3a 62c 3.在ABC中，已知 , , A=45， 求边长c，角B，角C。2a 2b 解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=34cos600, AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(34 cos600)2 =42+32234cos600 AB=13已知已知C=600,AC=4,BC=3,求求AB.ABCD猜想：猜想：AB=AC+BC2ACBCcosC对任意三角形是否成立？对任意三角形是否成立？证明：在三角形AB

23、C中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.CabbacaCabbCBCCBACACCBCBACACCBACCBACABABCBACABcos2cos2)180cos(22)()(2222220222即ABCC点的坐标为点的坐标为( )AbAbsin,cosxyB(c,0)Cbc如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系A)sin,cos(AbAba(0,0)由两点距离公式知：AcbbcaaBCAbAbcBCcos2)sin0 ()cos(22222例.已知b=8,c=3,A=600求a. a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 解：a=7变式练习：1

24、.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.例例3：在：在ABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1cm）.解：根据余弦定理，解：根据余弦定理，a=b+c2bccosA=60+3426034 cos411676.82所以所以 a41(cm)由正弦定理得，由正弦定理得，.5440. 041656. 0344141sin34sinsinaAcC因为因为c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得是锐角，利用计算器得C33B=180（A+C）=180（4133）106例例4，在，在ABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三解三角形（角度精确到角形（角度精确到1）。）。解：由余弦定理的推论得：解：由余弦定理的推论得：,5543. 07 .1618 .8726 .1347 .1618 .872cos222222bcacbAA5620;,8398. 07 .1616 .13428 .877 .1616 .1342cos222222cabacBB3253C= 180（A+B） 180（ 56