导数与微分复习

1、导数与微分导数与微分第二章第二章习题课习题课一、导数和微分的基本概念一、导数和微分的基本概念二、极限、连续、可导与可微的关系二、极限、连续、可导与可微的关系三、导数求法三、导数求法一、用导数定义求导一、用导数定义求导1.导数定义的等价形式导数定义的等价形式xxfxxfxfx )()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx 点导数点导数xxfxxfxfx )()(lim)(0导函数导函数)(0 xf )(xf xyxx 0lim用于解题！用于解题！【例【例1】 ).1 (),45() 1()(fxxxxf求设【解【解】用导数定义用导数定义1)1()(lim)1(1 xfxffx

2、)45()2( lim1xxxx!44【解【解】用求导法则用求导法则先求导函数先求导函数 )45() 1()(xxxxf )45()2()1()45()2() 1(xxxxxxxx )45()2()1()45()2(xxxxxxx故故!44)44()2)(1(1) 1 (f同理可求同理可求 f (0)(自己练习自己练习)二、用求导法则求导二、用求导法则求导1.四则运算的求导法则四则运算的求导法则2.反函数的求导法则（了解）反函数的求导法则（了解）3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则4.隐函数求导法则隐函数求导法则5 5. 对数求导法（注意适用类型）对数求导法（注意适用类型）6.参数方程确定

3、的函数求导法参数方程确定的函数求导法16组求导公式组求导公式 书书 P.41 加上四则运算公式，复合函数求导法则。加上四则运算公式，复合函数求导法则。以及计算技巧。以及计算技巧。二、二、 复合函数的导数复合函数的导数上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8/21BDDB上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9/21CCCD【例【例2 2】求导数：求导数：【解】【解】)(ln2xeyx xuuyy则则【分析】【分析】复合函数链式法则复合函数链式法则)(2xex)2(xex【关键】【关键】搞清每一部分的复合结构搞清每一部分的复合结构用相应的导数公式用相应的导数公式,),(2xeuufyx令21xe

4、x21xex.,)(sincosyxxyx 求求设设【例【例3 3】【解】【解】等等式式两两边边取取对对数数有有)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxyx 即即【分析】【分析】含有幂指函数含有幂指函数对数求导法对数求导法有有取取导导数数两两边边对对xxxxxxyxsinlncosln)(sinlnlncos xxxxxxyycossin1cossinlnsin1 三、高阶导数求法三、高阶导数求法直接法；直接法；归纳法；归纳法；四则运算法；四则运算法；间接法；间接法；【常用【常用 n 阶导数公式】阶导数公式】nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()

5、1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( )1(1)(!)1()1( )6( nnnxnx【例【例13】)0( , 0, 220,)( 2fxxexxxxfx 求求设设【分析】【分析】 分界点的二阶导数要用二阶导数定义求分界点的二阶导数要用二阶导数定义求xfxffx)0()(lim)0(0 为此，须先求为此，须先求f (x)及及f () ，再用定义计算，再用定义计算f ().【解】【解】 010, 120, 12)(xxexxxfxf ()=1 也

6、用导数定义求得也用导数定义求得xfxffx)0()(lim)0(0 xfxffx)0()(lim)0(0 21)12(lim0 xxx21)12(lim0 xexx2)0( f四、微分公式与微分法则四、微分公式与微分法则dxxfdy)( 【求法】【求法】计算函数的导数计算函数的导数, ,再乘以自变量的微分再乘以自变量的微分. .1. .【基本初等函数的微分公式】【基本初等函数的微分公式】xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxx

7、xddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 【函数和、差、积、商的微分法则】【函数和、差、积、商的微分法则】2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc【教材教材例例2】【解】【解】.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 【例【例3】【解】【解】.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyx

8、x .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 【例【例5】【解】【解】.,sindybxeyax求求设设 .)sincos(dxbxabxbeax 【例【例4】【解】【解】.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx )(cos)(sinbxbxdeaxdebxdyaxax bdxbxedxaebxaxax cos)(sin?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很很小小时时