线性系统理论件C7ppt课件

1、7.1 多项式矩阵7.9 互质性7.2 奇异和非奇异 7.10 列次数和行次数7.3 线性相关和无关 7.11 既约性7.4 秩7.12 史密斯形7.5 单模矩阵7.13 波波夫形7.6 初等变换7.14 矩阵束和克罗内克尔形7.7 埃尔米特形7.15 小结和评述7.8 公因子和最大公因子多项式：d(s) = dmsm + dm-1sm-1 + + d1s + d0 di(i = 0，1， ，m)R，sC；若dm0，则称d(s)的次数为m，记为deg d(s) = m；dm称首系数，若dm=1，称d(s)为首1多项式。多项式矩阵：元为多项式的矩阵。Q(s)行列式 = detQ(s) = 多项式

2、有理分式域：包括所有有理分式的集合，常记成R(s)。行数等于列数的方多项式矩阵Q(s)，如果其行列式为有理分式域上的零元，即detQ(s) 0，称Q(s)是奇异的，反之，是非奇异的。 例：452331)(221sssssssQ652331)(222sssssssQ22)23)(3()45)(1()(det221ssssssssQ0)23)(3()65)(1()(det222sssssssQ所以，Q1(s)非奇异， Q2(s)奇异有理分式域上，当且仅当存在一组不全为零的多项式a1(s)，a2(s)， ，am(s)，使成立 a1(s)q1(s) + a2(s)q2(s) + + am(s)qm(s

3、) = 0 则称p个多项式向量q1(s)，q2(s)， ，qm(s)为线性相关的；若仅当a1(s)=0，a2(s)=0， ，am(s)=0时上式才成立，则称q1(s)，q2(s)，qm(s)为线性无关的。向量表示：称多项式向量组q1(s)，q2(s)， ，qm(s)为线性相关，当且仅当存在p维多项式向量a(s) 0，使成立 q1(s) q2(s) qm(s)a(s) = 0 反之，如果仅当a(s) = 0时上式才成立，称多项式向量组q1(s)，q2(s)， ，qm(s)为线性无关。与奇异非奇异的关系：一个方多项式Q(s)，Q(s)为奇异当且仅当其列(行)多项式向量为线性相关，而Q(s)为非奇异

4、当且仅当其列(行)多项式向量为线性无关。反之，亦成立。多项式向量组的线性相关或线性无关，不仅依赖于这组向量本身，而且通常还依赖于引入的标量a1(s)，a2(s)， ，am(s) 所取值的域。秩的定义 称mn多项式矩阵Q(s)的秩为r，r min(m，n)，如果至少存在一个rr的子式不恒等于零，而所有等于和大于(r+1)(r+1)的子式均恒等于零。常记成rankQ(s) = r。几点推论 1 rankQ(s) min(m，n)； rankQ(s)=r等价于Q(s)有且仅有r个列(行)向量为线性无关； Q(s)为满秩，当且仅当rankQ(s) = min(m，n)； Q(s)为降秩，当且仅当ran

5、kQ(s) min(m，n)；方多项式Q(s)维数为n，则Q(s)非奇异等同于rankQ(s) = n， Q(s)为奇异等同于rankQ(s) n；mm的P(s)和nn的R(s)为任意非奇异多项式，则必成立： rankQ(s) = rank P(s)Q(s) = rankQ(s)R(s)；Q(s)和R(s)分别为mn和np任意多项式矩阵，则一般有： rankQ(s)R(s) min(rankQ(s)，rankR(s)。单模阵定义方多项式矩阵Q(s)称之为单模阵，当且仅当其行列式det Q(s)是独立于s的一个非零常数。例：结论7.1 给定方多项式矩阵Q(s)为单模阵，当且仅当其逆Q-1(s)也

6、是一个多项式矩阵。一个重要性质4321)(sssssQ2)3)(2()4)(1()(detsssssQQ(s)为单模阵若Q(s)为单模阵，则Q(s)必是非奇异的。但是，反命题一般不成立；任意两个同维的单模阵的乘积阵也必为单模阵；单模阵Q(s)的逆矩阵Q-1(s)也一定是单模阵；方多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性之间，存在如下对应关系 Q(s)为奇异不存在一个sC，使成立det Q(s)0； Q(s)为非奇异对几乎所有sC，使成立det Q(s)0； Q(s)为单模阵对所有sC，使成立det Q(s)0。初等矩阵：三种初等变换对应三种初等矩阵多项式矩阵的三种初等变换：(1)交换任意两行和两列

7、；(2)用一个非零的实或复数乘于某个行或列；(3)将某个行或列与一个多项式的乘积加于另一行或列。1000001000001000001000001I00010010000010010000000011E1000000000010000010000012cE10000010)(00010000010000013sdE(1)(3)(2)基本特性：E1-1= E1；E2-1= E2中c-1代替c；E3-1= E3中-d(s)代替d(s)定义7.8 mn多项式矩阵Q(s)，mm多项式矩阵R(s)和nn多项式矩阵T(s)为任意单模阵，称R(s)Q(s)，Q(s)T(s)，和R(s)Q(s)T(s)为Q(

8、s)的单模变换推论7.9 矩阵Q(s)的单模变换和初等变换存在关系： R(s)Q(s) 对Q(s)作等价一系列行初等变换 Q(s)T(s) 对Q(s)作等价一系列列初等变换R(s)Q(s)T(s)对Q(s)作等价一系列行和列初等变换0000)(00)()()()()()(00)(, 3, 2, 2, 1, 1, 1221sasasasasasasasQrrrrkrkkkkkkHr埃尔米特形：设Q(s)的秩为r，则其埃尔米特形行埃尔米特形：(1)前r行为非零行；(2)最左的非零元ai,ki(s)为首1多项式；(3)k1k2 kr，非零元排列呈阶梯形；(4)ai,ki(s)是所处列中次数最高的；(

9、5)列埃尔米特形对偶于行埃尔米特形。设Q(s)中，第k1列是首非零列行埃尔米特形QHr(s) = V(s)Q(s)和列埃尔米特形QHc(s) = Q(s)U(s)行埃尔米特形算法7.1通过行变换，把(1，k1)处的元换成为列k1中次数最低的元，记为 ，利用多项式除法和行初等运算，使列k1其他各元只剩下次数低于 的余式。循环上述过程直到除了(1，k1)元外，列k1中其余各个元均为零。并对第k1+1， ， k2-1等列做相同变换。)(1, 1sqk)(1, 1sqk对所得矩阵，暂冻结第1行，对余下部分先找首非零列k2列，重复上步过程。对列k3， ，列kr重复上述过程。可得QH(s)，并可方便定出V

10、(s)例结论7.8 D(s)为n维非奇异多项式矩阵，R(s)为任一n维单模阵，则D(s)和 具有相同的列埃尔米特形。)(sD)()()(sRsDsD结论7.9 A(s)为n维非奇异多项式矩阵，T(s)为任一n维单模阵，则A(s)和 具有相同的行埃尔米特形。)(sA)()()(sAsTsA公因子和最大公因子定义方多项式矩阵R(s)为具有相同列数的两个多项式矩阵N(s)和D(s)的一个右公因子，如果存在 和 ，使)(sN)(sD)()()(),()()(sRsDsDsRsNsN)(sA)(sB方多项式矩阵Q(s)为具有相同行数的两个多项式矩阵B(s)和A(s)的一个左公因子，如果存在 和 ，使)(

11、)()(),()()(sAsQsAsBsQsB方多项式矩阵R(s)为具有相同列数的N(s)和D(s)的最大右公因子，简记为gcrd。假如(1) R(s)是N(s)和D(s)的右公因子；(2) N(s)和D(s)的任一其它右公因子R1(s)均为R(s)的右乘因子，即存在R(s)=W(s)R1(s)方多项式矩阵Q(s)为具有相同行数的B(s)和A(s)的一个最大左公因子，简记为gcld。假如(1) Q(s)是B(s)和A(s)的左公因子；(2)B(s)和A(s)的任一其它左公因子Q1(s)均为Q(s)的左乘因子，即存在Q(s)=Q1(s)V(s)最大公因子的构造定理结论7.11 给定的pp和qp的

12、多项式矩阵D(s)和N(s)，如果可找到(p+q)(p+q)的单模阵U(s)，使成立则pp的多项式矩阵R(s)即为D(s)和N(s)的一个gcrd。0)()()()()()()()()()(22211211sRsNsDsUsUsUsUsNsDsU证明：I. 证明R(s)是D(s)和N(s)的一个右公因子。令)()()()()()(222112111sVsVsVsVsUsV)()()()(0)()()()()()()(211122211211sRsVsRsVsRsVsVsVsVsNsD)()()(),()()(2111sRsVsNsRsVsD即所以R(s)是D(s)和N(s)的一个右公因子。II

13、. 证明D(s)和N(s)的任一其它右公因子R1(s)均为R(s)的右乘因子。因为R1(s)为右乘因子，有D(s) = D1(s)R1(s)，N(s) = N1(s)R1(s)又因为 R(s) = U11(s)D(s) +U12(s)N(s)推出 R(s) = U11(s)D1(s) +U12(s)N1(s)R1(s) = W(s)R1(s)表明R1(s)为R(s)的右乘因子。所以原题得证。综上，多项式矩阵D(s)和N(s)的一个gcrd R(s)可通过对矩阵DT(s)，NT(s)T行初等变换得到，而相应于各初等运算的初等矩阵按逆顺序的乘积阵则为所找的单模阵U(s)。结论7.12 给定qq和q

14、p多项式矩阵DL(s)和NL(s)，如果可找到(q+p)(q+p)的单模阵 ，使成立则qq多项式矩阵RL(s)即为DL(s)和NL(s)的一个gcld。0)()()()()()()()()()(22211211sRsUsUsUsUsNsDsUsNsDLLLLL)(sU结论7.13 gcrd不唯一性：设R(s)为具有相同列数p的两个多项式矩阵D(s)和N(s)的一个gcrd，W(s)为任一p维单模阵，则W(s)R(s)也必是D(s)和N(s)的一个gcrd。结论7.14 gcrd的广义唯一性：设R1(s)和R2(s)是多项式矩阵D(s)和N(s)的任意两个gcrd，则当R1(s)为非奇异(单模)

15、时，R2(s)也为非奇异(单模) 。结论7.15 gcrd为非奇异的条件：给定pp和qp的多项式矩阵D(s)和N(s)，当 时，D(s)和N(s)的所有gcrd都必是非奇异的。psNsDsNsD)()(rank)()(为列满秩即结论7.16 设R(s)是pp和qp的多项式矩阵D(s)和N(s)的一个gcrd，则R(s) 必可表为 R(s) = X(s)D(s) + Y(s)N(s) 其中，X(s)和Y(s)分别是pp和pq的多项式矩阵。结论7.17 和标量多项式时的情况不同，多项式矩阵D(s)和N(s)的gcrd的多项式元的次数可以高于D(s)和N(s)的多项式元的次数。 gcrd gcld对

16、偶关系右互质和左互质 称两个具有相同列数的多项式矩阵D(s)和N(s)是右互质的，如果它们的gcrd为单模阵。称两个具有相同行数的多项式矩阵A(s)和B(s)是左互质的，如果它们的gcld为单模阵。互质性的常用判据结论7.18贝佐特等式判据 pp和qp的多项式矩阵D(s)和N(s)是右互质的，当且仅当存在pp和pq的多项式矩阵X(s)和Y(s)使成立以下的贝佐特(Bezout)等式 X(s)D(s) + Y(s)N(s) = Ip结论7.20秩判据 给定pp和qp的多项式矩阵D(s)和N(s)，D(s)为非奇异，则D(s)和N(s)为右互质，当且仅当CspsNsD,)()(rank结论7.22

17、右互质判据 给定pp和qp的多项式矩阵D(s)和N(s)，D(s)为非奇异，则D(s)和N(s)为右互质的，当且仅当存在qp和qq的多项式矩阵B(s)和A(s)，使同时成立)(detdeg)(detdeg0)()( )()()()()()(sDsAsNsDsAsBsNsAsDsB例推论：对gcrd的构造关系式其中设D(s)非奇异，则下列论断必成立：(1)U22(s)和U21(s)为左互质；(2)U22(s)为非奇异，且N(s)D-1(s) = -U22-1(s)U21(s)；(3)D(s)和N(s)右互质，当且仅当 deg det D(s)=deg det U22(s)0)()()()()()

18、()()()()(22211211sRsNsDsUsUsUsUsNsDsU列次数和行次数的定义多项式向量a(s)的次数为该向量的所有多项式元中s的最高幂次，即, 2 , 1),(maxdeg)(qisasaiqp多项式矩阵M(s)，其列次数和行次数分别规定为：第j个列次数dcjM(s) = kcj M(s)的第j个列向量的次数；第i个行次数driM(s) = kri M(s)的第i个行向量的次数。列次表示式和行次表达式令dcjM(s) = kcj(i = 1， ，p)，则M(s)的列次表示式为 M(s) = MhcSc(s) + McL(s)其中，Mhc为列次系数矩阵，McL为低次剩余多项式矩

19、阵，Hc(s)= ,21pccckkksssdiag令driM(s) = kri(i = 1， ，q)，则M(s)的行次表示式为 M(s) = Sr(s)Mhr + MrL(s)其中，Mhr为行次系数矩阵，它的第i行即为M(s)的第i行中相应于 的系数组成的行。MrL为低次剩余多项式矩阵，且必有driMrL(s) kri。 ,)(21qrrrkkkrsssdiagsHirks列既约性和行既约性一个pp非奇异多项式矩阵M(s)称为列既约的，假如 而称为行既约的，假如picisMsM1)()(detdegpirisMsM1)()(detdeg既约性判据结论7.26 给定p维方多项式矩阵M(s)，那

20、么 (1) M(s)为列既约，当且仅当Mhc为非奇异； (2) M(s)为行既约，当且仅当Mhr为非奇异；列次系数矩阵行次系数矩阵结论7.28 给定p维方多项式矩阵M(s)，令kci和krj分别为第i列和第j行的次数，那么 (1) M(s)为列既约，当且仅当对所有非零p1多项式向量p(s)，使得如下列多项式向量q(s)= M(s)p(s)满足 (2) M(s)为行既约，当且仅当对所有非零1p多项式向量f(s)，使得如下行多项式向量h(s)= f(s)M(s)满足几点推论一般来说，列既约和行既约之间无必然联系；非奇异多项式矩阵具有对角阵形式时，如果其为列既约，则必然也是行既约的，反之亦然；非奇异

21、多项式矩阵的埃尔米特形一定既是列既约，又是行既约的；列(行)既约矩阵的列(行)次数在单模变换下不变。非既约矩阵的既约化非既约矩阵M(s)，可通过适当的列(行)初等运算，来降低它的某些列(行)次数，即通过右(左)乘一单模阵实现既约化。 非方多项式矩阵的既约性令M(s)为qp满秩多项式矩阵，qp，且将其表示为 M(s) = MhcHc(s) + Mlc(s)当Mhc为列满秩，即rankMhc = p时，称M(s)是列既约的。行既约与列既约对偶。史密斯形(一种重要规范形)qp多项式矩阵Q(s)，rankQ(s) = r，如果找到相应维数的单模阵V(s)，U(s)，使有其中li(s)是满足整除性 li

22、(s) | li+1(s)，i = 1，2， ，r-1的非零首1多项式，则称(s)为Q(s)的史密斯形。0000)(0)()()()()(1ssssVsQsUr通过行、列交换，将Q(s)中最低次数的非零元素换到(1，1)位置，即为q11(s)。)()()()()()()()(1111111111sfspsqsqsfspsqsqkkkiii f1i(s)和fk1(s)均为0？Y找余式中最低次数的非零元fa1(s)，做运算： “行a”-“行1pa1(s)”N作行列运算得到多项式矩阵pispiqkspkik, 2,)(1, 2,)(111”“列”“列”“行”“行)()(2*1sQs00对Q2(s)重

23、复以上步骤，直到矩阵化为0000)(0)(*1ssrli*(s)是否满足整除性li*(s) | li+1*(s)的首1多项式？Y得到史密斯形非首1li*(s)的行用其首系数相除；通过行列交换满足整除性。N多项式矩阵Q(s)的史密斯形(s)中，l1(s)， ，lr(s)是Q(s)的不变多项式。令i(s)=gcdQ(s)的所有ii子式，0=1，则成立 l1(s) = 1(s) / 0(s)， ，lr(s) = r(s) / r-1(s)对给定Q(s)，其史密斯形(s)是唯一的；Q(s)史密斯形的单模变换阵U(s)和V(s)不是唯一的；Q1(s)和Q2(s)具有相同的史密斯形，称Q1(s)和Q2(s

24、)在初等行和列运算下等价的，记成反身性：自反性：传递性： ，当且仅当存在单模阵P(s)和T(s)使成立 Q2(s) = P(s)Q2(s)T(s)令A和B为同维常阵，那么 当且仅当A和B相似。结论7.37：D(s)和N(s)右互质的充要条件是NL(s)和DL(s)左互质的充要条件是 DL(s) NL(s) 的史密斯形是 Iq 0 0)()(pIsNsD的史密斯形为波波夫形的形式称一个pp的多项式矩阵为波波夫形，如果DE(s)具有如下的特性：它是列既约的，且列次数非降，即kc1 kcp；对列j(j=1，. ，p)存在一个主指数mj1，. ，p，使 ； 是首1的；列j中位于 以下的所有元多项式的次

25、数均小于列次数；对列i和列j，如果ij而kci= kcj，则应mi mj； 在所在行中次数最高，即 。cjjmksdj)(deg)(sdjmj)(sdjmjjqksdcjqmj,)(deg)(sdjmj)()()()()(1111sdsdsdsdsDppppE例令DE(s)为波波夫形，L=maxkc1，. ，kcp，且将DE(s)表示为 DE(s) = DLsL + DL-1sL-1 +. + D1s + D0 其中Di(i=1，. ，L)为常数矩阵。现定义 那么 必为阶梯形常数矩阵。所以波波夫形又称为多项式阶梯形。10LEDDDDED令 的第i行中主元所处的列位置指数，i=1，. ，p，那么

26、ai是在强意义下不相等的，即成立 ai aj mod p，i jEiD 中，主元是其所在列中的唯一非零元；且所有(ai+bp)列均为零列，p = dimDE(s)。ED多项式矩阵D(s)和D(s)V(s)，其中V(s)为单模阵，具有相同的波波夫形DE(s) 。Y给定 ，求波波夫形DE(s)(sD 是否列既约？)(sD D(s) = )(sDD(s) = V(s)化为列既约 )(sD寻找单模阵U(s)，使有D(s)U(s) = E(s)N E(s)为波波夫形，则DE(s) = E(s)； E(s)为准波波夫形，化A为阶梯形常数矩阵，再求E(s)。U(s)? E(s)?A?结论7.44 给定D(s

27、)，表L=maxkc1， ，kcp，定义增广多项式矩阵：B(s)=D(s)， ，sLD(s) -Ip， ，-sLIp，通过求出矩阵方程B(s)A = 0的常数矩阵解A，做如下分块表示，即可定出E(s)，U(s)。ppiiLLREUEEUUA,000101)()(UsUsUsUEsEsEsELLLL结论7.45 方程B(s)A = 0的常数矩阵解A可通过搜索 B(s)=D(s)， ，sLD(s)，-Ip， ，-sLIp的p个首相关列来得到，其中(1) 相关列定义为B(s)中可表示为先前各列的且系数限制为常数的线性组合的那些列；(2)首相关列是指列位置指数为强意义下不相等的所有相关列；(3) 一般

28、，相关列将出现在B(s)的右半部分中，即可从-Ip， ，-sLIp中去搜索。矩阵束令A和E为pm的常数矩阵，则形为(sE - A)的多项式矩阵称为矩阵束。(sE - A)为正则，当且仅当p=m和det(sE - A) 0，否则，就称矩阵束为奇异。对矩阵束(sE - A)和(sE - B)，如果存在非奇异常数矩阵U和V使成立 U(sE - A)V = (sE - B)则称(sE - A)和(sE - B)是严格等价的。F，J，Lm i， 是唯一的。FsIIsJLLLLVAsEU)(11jL若当规范形零特征值若当形11ss11ssLmi， 表征了矩阵束(sE-A)的奇异性。并且称mi，i = 1， ，a为右克罗内克尔指数，称nj，j = 1， ，b为左克罗内克尔指数；jLjL如果矩阵束(sE-A)是正则的，则其克罗内克尔形中将不出现Lmi，