信号与线性系统分析第3章

1、连续系统与离散系统的比较)()()(tytytyzszi)()()(kykykyzszi)()(tytf)()(kykf)()()(khkfkyzs)()()(thtftyzs时域连续系统时域连续系统常系数线性微分方程常系数线性微分方程 卷积积分卷积积分时域离散系统时域离散系统)()(kykf常系数线性差分方程常系数线性差分方程 卷积和卷积和 LTILTI离散系统的响应离散系统的响应 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应 卷积和卷积和本章要点：本章要点：时域离散信号 定义：连续信号是连续时间变量t的函数，记为f (t)。 离散信号是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数，记为f (k)

2、。 离散信号表示： （a）图形表示：（tkt(k1)） 在图a中为变数；在图b，c中为常数（b）解析表示：）解析表示： 差分与差分方程差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程前向差分、后向差分以及差分方程 差分方程解差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解次解和不同激励对应的特解 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程)() 1()(kfkfkf) 1()()(kfkfkf1、前向差分与后向差分、前向差分与后向差分 一阶后向差分：一阶后向差分：一阶前向差分：一阶前向差分：二阶

3、后向差分：二阶后向差分：)2() 1(2)() 1()()1()()()(2kfkfkfkfkfkfkfkfkf2 2、前向差分与后向差分的关系、前向差分与后向差分的关系3 3、差分方程的一般形式、差分方程的一般形式将各阶差分写为将各阶差分写为y(k)y(k)及其各移位序列的线性组合：及其各移位序列的线性组合：常系数差分方程，用来描述LTI离散系统；变系数差分方程变系数差分方程) 1()(kfkf0)(,),(),(, kykykykfn0)(,),1(),(, nkykykykg1 1、用迭代法求差分方程的数值解、用迭代法求差分方程的数值解差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知差分方程是具

4、有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解程的数值解当差分方程阶次当差分方程阶次较低较低时可以使用此法时可以使用此法二、差分方程的解二、差分方程的解例例3.11 若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为)()2(2) 1(3)(kfkykyky已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k) 解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得)()2(2) 1(3)(kfkykyky对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得2)2()0(2) 1 (3)

5、2(fyyy依次迭代可得.10)4()2(2)3(3)4(10)3() 1 (2)2(3)3(fyyyfyyy特点：便于用计算机求解特点：便于用计算机求解例例3.11 若单输入若单输入- -单输出的单输出的LTILTI系统的激励为系统的激励为f(k),f(k),全响应为全响应为y(k)y(k)，则描述系统激，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是励与响应之间关系的数学模型是n n阶阶常系数线性差分方程，一般可写为：常系数线性差分方程，一般可写为：2 2、差分方程的经典解、差分方程的经典解nimjjijkfbikya00)()(解由齐次解和特解两部分组成：解由齐次解和特解两部分组成：1 1）齐

6、次解：）齐次解：齐次方程齐次方程的解称为齐次解的解称为齐次解. .它的它的n n个根个根i i（i=1,2, i=1,2, ,n) ,n)称为差分方程称为差分方程的特征根的特征根令令y(k)=C k1, 0)(.) 1()(01nnankyakyaky)()()(kykykyphniinikya00)(00111 aaannn 均为单实根时的齐次解：均为单实根时的齐次解： 1 1为为r r重根，其余重根，其余(n-r)(n-r)为特征单根：为特征单根： 有一对共轭复根有一对共轭复根1 1 、2 2=a+jb=a+jb Y Yh h(k)=(k)=k kCcos(k)+Dsin(kCcos(k)

7、+Dsin(k) ) （其中（其中=arctan(b=arctan(b/a)/a)，=(a=(a2 2+b+b2 2) )1/21/2 nikiihcky1)( nijkjjrikirihckcky111)(几种典型激励函数激励函数相应的特解激励函数激励函数f(t)响应函数响应函数y(t)的特解的特解mk k cos或或ksinka10111所有特征根不等于PkPkPkPmmmm10111重特征根等于有rPkPkPkPkmmmmr重特征根时是当为特征单根时当不等于特征根时当raaPkaPakPakPaaPkaPaPakkkrrkrrkkk011101 kQkPsin)cos(选定特解后代入原差

8、分方程，求出待定系数就得出方程的特解。3 3）全解）全解 代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数C Ci i，于是得到完全解。，于是得到完全解。)()()(kykykyph 解：方程的特征方程为例3.1-2,若描述某系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解特征根为1 22，为二重根，齐次解为kkhCkCky)2()2()(21由题意，设特解为0,2)(kPkykp)()2(4) 1(4)(kfkykyky0442 将yp(k)代入到原方程得kkkkkfPPP2)(242422141P全解为：0,241)2()2()()()(21

9、kCkCkykykykkkph将已知条件代入，得C11,C2=1/40,241)2(41)2()(kkkykkk自由响应自由响应强迫响应强迫响应1、解形式、解形式 零状态响应：仅由激励引起零输入响应：激励为零时的响应三、零状态响应和零输入响应三、零状态响应和零输入响应)()()(kykykyzszi当特征根均为单根时，有：当特征根均为单根时，有：czii 由初始状态决定，由初始状态决定，czsi由激励决定，由激励决定，且且ci=czii+czsinikiziizicky1)(nipkizsizskycky1)()(对于对于零状态响应零状态响应y yzszs(k),(k),k k00时激励还没有

10、接入时激励还没有接入, ,故：故：yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0而而零输入响应零输入响应yzi(kyzi(k) )，k0时激励尚未接入，故：时激励尚未接入，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n) -系统的初始状态系统的初始状态2、求初始值、求初始值 初始值：初始值：y(0),y(1)y(n-1) 可由差分方程推出可由差分方程推出例例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为)()2(2) 1(3)(kfkykyky已知已知f(k)=0,k0时为零，因而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的函数形

11、式相同。 因此因此，求h(k)的问题转化为求差分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。例题例题 例3.2-1 求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。见书见书p96（2 2）h(k)h(k)满足满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k) h(-1)=h(-2)=0 h(-1)=h(-2)=0 (3) (3)求初始值：用迭代法求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k)h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k) h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(0)=h(-1)+2h(-

12、2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 (4) k (4) k0 0时时, h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0, h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k h(k)=c)=c1 1(-1)(-1)k k+c+c2 2(2)(2)k k h(0)=c h(0)=c1 1+c+c2 2=1 =1 ； h(1)=-ch(1)=-c1 1+2c+2c2 2=1 =1 得得 c c1 1=1/3;c=1/3;c2 2=2/3=2/3所以 )()2(32) 1(31)(kkhkk（1 1）列写差分方程）列写差分方程： y(k)-y

13、(k-1)-2y(k-2)=f(k)y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k) 阶跃响应：阶跃响应：g(k)g(k) 1). 1).定义：定义：g(k)=T0, (k) g(k)=T0, (k) 2).h(k) 2).h(k)与与g(k)g(k)的关系：的关系： 0)()()(jkijkik0)()()(jkijkhihkg经典法经典法; ;由由h(k)h(k)求出求出 例：同例例：同例3.2-13.2-1 经典法：经典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k(k) ) g(-1)=g(-2)=0 g(-1)=g(-2)=0 对对k0,g

14、(k)-g(k-1)-2gk0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2k-2）=1=1 齐次解：齐次解：g gn n(k(k)=c)=c1 1(-1)(-1)k k +c +c2 2(2)(2)k k 特解：特解：g gp p(k(k)=p)=p0 0=- =- 求求g(k)g(k)的方法的方法g(k)= cg(k)= c1 1 (-1)(-1)k k + c + c2 2(2)(2)k k - - k0 k0见书见书P87，表，表32 g(0)= c g(0)= c1 1+c+c2 2- - =1 =1 g(1)= -c g(1)= -c1 1+ 2c+ 2c2 2- - =2 =2 所以：所

15、以：c c1 1 =1/6; c =1/6; c2 2=4/3 =4/3 利用h(k)求g(k): )()2(32) 1(31)(kkhkkkiiikiihkg0)2(32) 1(31)()(g(k)=1/6g(k)=1/6 (-1)(-1)k k + 4/3(2) + 4/3(2)k k - - (k) (k) 1)2(232) 1(1 61)(kkkg0,21)2(34) 1(61kkk3.3 卷积和 1 .序列的时域分解 任意离散序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + 2 .

16、任意序列作用下的零状态响应根据h(k)的定义： )()(TTf(k)(k)yzsiikifiikTif)()(iikhif)()(h(k)*f(k)一般定义一般定义: : iikfif)()(k)f*(k)ff(k)2121i: i:求和变量求和变量 ：-+ + ；k:k:参考量：参考量：-+3 .卷积和的定义 定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义： 为为f1(t)与与f2(t)的的卷积和卷积和，简称简称卷积卷积；记为；记为f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量i 下进行的，下进行的，i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。

17、结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。例题例题 例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h(k)当i k时，(k - i) = 0这种卷积和的计算方法称为：解析法。 例例2 已知序列已知序列x x( (k k)=(3)=(3)-k-k ( (k k) ) ，y y( (k k)=1, -)=1, -k k, , 试验证试验证x x( (k k) )和和y y( (k k) )的卷积和运算满足交换的卷积和运算满足交换律，即律，即)()()()(kxkykykx证证: 先计算x(k)*y(k)，考虑到(k

18、)的特性，有 5 . 1233111)3(1)()3()()()()(0iiiiiiikyixkykx再计算再计算y(k)*x(k)，同样考虑到，同样考虑到u(k)的特性，可得的特性，可得 求解过程中对k没有限制，故上式可写为x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。运算满足交换律。 ()()( )( )( ) ()1 (3)()(3)(3)333(3)1.51 3k iiikkk ikiiikky kx ky i x kiki所以 5 . 1)()()()(kxkykykx 例3：求 (k) * (k)解解：例4：求ak (k) * (k 4

19、)解：解：考虑到(i)的特性，可将上式表示为 iiikiekfkf)()()()(21例例 设f1(k)=e-k( k)，f2(k)= (k), 求f1(k)*f2(k)。解解 由卷积和定义式得 1)1(1100211111)()()(eeeeeeikekfkfkkkiiii显然，上式中显然，上式中k0，故应写为，故应写为 )(11)()()()(1)1(21keekkekfkfkk1)1(1100211111)()()(eeeeeeikekfkfkkkiiii二、卷积的图解法二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为i得f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i

20、)反转f2(i),右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。 例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？（1）换元（2） f2(i)反转得f2( i)（3） f2(i)右移2得f2(2i)（4） f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2) = 4.5.)0()2() 1 () 1 ()2()0() 3() 1()2(21212121fffffffff解：画出解：画出f1(i),f2(i),f2(-i)?列表法求卷积和列表法求卷积和 f(

21、k) =ff(k) =f1 1(k)(k)* *f f2 2(k)= f(k)= f1 1(i)f(i)f2 2(k-i)(k-i) ki 0序号：序号：i+k-i=ki+k-i=kf(k)f(k)卷积和长度卷积和长度: N=L+M-1 (L+M: N=L+M-1 (L+M是原序列长）是原序列长）见书p104)0()3() 1 ()2()2() 1 ()3()0()3(21212121fffffffff 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.)()()()()()()()()()()()()()()()()(31213213213211221kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkf四、卷积和的性质 2. f(k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0)4. f1(k k1