单自由度系统的有阻尼自由振动

1、1 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念：实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在各种阻力。 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼（如空气、水）及结构阻尼(也称迟滞阻尼Hysteresis Damping):当材料处于交变应力状态时，由于内部的能量耗散（材料内阻）而呈现的阻尼特性，结构阻尼力大小与位移成正比, 方向与速度相反) 2 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vc

2、R式中：xcR c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。R 粘性阻尼力v 相对速度3 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼：0 xckxxmxckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 则令此即为有阻尼自由振动微分方程的标准形式。其中n为衰减系数，单位为1/s，wn为无阻尼的固有频率4 进一步令：nnmwCmkCwn22/为了求解，令：022xwxwxnn 称为相对阻尼系数stex 0222nnwsws它的两个根为：1,221nnwwss5 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcnn2 )(22nnd有阻尼的自由振动

3、频率,阻尼固有频率则时设 , , , 0 00 xxxxt11,221nnwwsss1,s2为共轭复数，可写为dniwwss21,通解为)sincos()(21twctwcetxddtwn)sincos()(000twwxwxtwxetxddndtwn6 )sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振动的圆频率则时设 , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn也可写成7 衰减振动的特点：(1) 振动周期变大，振动周期变大， 频率减小频率减小。mkcnnTnnndd212 22222阻尼比有阻尼自由振动：当 时，可以认为nn1TTdnd 2

4、22111ndddffTT8小（欠）阻尼情况小（欠）阻尼情况（ ）10-1.0-0.50.00.51.0 a1086420e-nt-nt-easin=0.1unt F1 F2 F39 (2) 振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对数减缩率dnTiinTeAAdlnln1ddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相邻两次振幅之比212ndT2122因为：10 2、临界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 时通解为：)()(21tccetxtwnnw，s 1是二重根则时设 , , , 0 00 xxxxt

5、11（2）临界尼情况）临界尼情况（ ） 1-1.0-0.50.00.51.0 a420-nt-te-nte=1.0unt F1 F2 F3 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。衡位置，不再具备振动的特性。 12 )(222221 tn tnntnneCeCex代入初始条件) , , 0(00 xxxxt 时220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特

6、性。有两个不等的实根，s1与s2是两个不等的实根1,221nnwwss13（1）过阻尼情况）过阻尼情况（ ） 114 由上可见，阻尼的存在对自由振动的影响表现在两方面，一是使振动频率发生变化，另一是使振幅衰减。记Tn为相应的无阻尼的振动同期，有阻尼时的振动周期为：221122nnddTwwT可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时，影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时，影响为1.02，因此通常可忽略。频率的影响：15 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减幅系数 ，定义为相邻两个振幅的比值。振幅的影响：dndinintwttwtwiieAeAeAA1阻尼比越大，减幅系数越大，表明衰减的越快，如为5%时，为1.37, 每一周期为1/1.37=0.73，每一周期内振幅减小27%，可见对振幅影响很大。16 例例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWm