微积分第六章 多元数量值函数积分学1

1、第三节第三节二、三重积分在二、三重积分在柱坐标系柱坐标系中的计算中的计算一、三重积分在一、三重积分在直角坐标系直角坐标系中的计算中的计算三重积分的计算三重积分的计算 三、三重积分在球三、三重积分在球坐标系坐标系中的计算中的计算一、在直角坐标系中的计算一、在直角坐标系中的计算与二重积分类似，三重积分与二重积分类似，三重积分 , ,Vfx y z dxdydz也可以化为也可以化为三次积分三次积分来进行计算。来进行计算。下面我们通过计算物体的质量来得到三重积分下面我们通过计算物体的质量来得到三重积分的计算公式的计算公式.1. 投影法投影法设空间闭区域设空间闭区域V的边界曲面的边界曲面的直线交点不多于

2、两个，的直线交点不多于两个，将将V 投影到投影到xoy面上，得投面上，得投影闭影闭Dxy，以以Dxy的边界曲线的边界曲线为准线，作母线平行于为准线，作母线平行于z 轴轴的柱面，该柱面与区域的柱面，该柱面与区域V的的边界曲面的交线把边界曲面的交线把V的边界的边界曲面分成上、下两部分，其方程分别是曲面分成上、下两部分，其方程分别是与平行于与平行于z 轴穿过轴穿过V的内部的内部1122:( , ),:( , ),Szzx ySzzx y 1( , ),zx y2( , )zx y在在Dxy上上连续，连续，12( , )( , )zx yzx y 且且假设假设V中分布有体密度为中分布有体密度为f (x

3、,y,z)的某种物质，在的某种物质，在Dxy上点上点(x, y)处取面积元素处取面积元素ddxdy 以以d 的边界的边界曲线为准线，作母线平行于曲线为准线，作母线平行于z 轴的细长柱体，轴的细长柱体，该细长柱体可以看成以该细长柱体可以看成以z为变量的细杆，它通过曲面为变量的细杆，它通过曲面S1:1( , )zzx y 进入区域进入区域V，22:( , )Szzx y 然后，通过曲面然后，通过曲面穿出区域穿出区域V外，其进入点与外，其进入点与穿出点的竖坐标分别是穿出点的竖坐标分别是1( , )zzx y 与与2( , )zzx y 因此，该细长柱体的质量为：因此，该细长柱体的质量为： 21,.,

4、 ,zx yzx yfx y z dz dxdy f (x,y,z)只看作只看作 z 的函数的函数. 21, ,.xyzx yzx yDmfx y z dz dxdy xyD如果表示为如果表示为 12,xyaxbDyxyyx 2211, ,.byxzx yayxzx ymdxdyfx y z dz 则有则有这里对这里对 z 积分积分 时，先将时，先将 x , y 看成常数，此时看成常数，此时于是总质量为：于是总质量为：(X型型) , , ,VVfx y z dVfx y z dxdydz 21, ,xyzx yzx yDdxdyfx y z dz 2211, ,.byxzx yayxzx yd

5、xdyfx y z dz 类似地，可以将区域类似地，可以将区域V投影到投影到yoz、zox 平面上平面上,可得三重积分可得三重积分按其它顺序的三次积分。按其它顺序的三次积分。由此得到将三重积分化为三次积分的计算方法由此得到将三重积分化为三次积分的计算方法DxyDxyy=1-x11 解解 在在Dxy内任取一点，作内任取一点，作 平平的点在平面的点在平面z=0, 离开区域离开区域V的点在平面的点在平面z=1-x-y上上.例例1 计算三重积分计算三重积分 ，其中，其中V为三个为三个Vydxdydz1xyz坐标面及平面坐标面及平面 所围成的闭区域所围成的闭区域. .01zxyV 行于行于z 轴的直线，

6、轴的直线， 进入区域进入区域V01yx01xVydv 11001xdxyxy dy 111000 xxydxdyydz 1330111123xxdx 1.24 z=y22Vx zdvVyx 例2 计算其中 是由抛物柱面例2 计算其中 是由抛物柱面0,1,zyzy与平面围成的闭区域.与平面围成的闭区域.解解 2Vx zdv211210yxdxdyx zdz 21122112xx dxy dy 1261116xxdx 2.27 2yx 11解解221xy,例例3 化三重积分化三重积分 为三次为三次()If x,y,z dxdydz 222zxy积分，其中积分区域积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面

7、22zx 及及 所围成的闭区域所围成的闭区域. .22222zxyzx 由由得交线投得交线投影区域影区域 Dxy故故V： 22222221111xyzxxyxx 22222112112()xxxxyIdxdyf x,y,z dz.以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分再计算一个二重积分，称之为再计算一个二重积分，称之为 “先一后二先一后二”。事实上，我们也可以先计算一个二重积分，再作一事实上，我们也可以先计算一个二重积分，再作一下面进行讨论：下面进行讨论：个定积分，我们称之为个定积分，我们称之为“先二后一先二后一”的的截面法截面法。zVD面的平

8、面去截 ，得截面；面的平面去截 ，得截面；其结果为其结果为z 的函数的函数； 214xyccDfx,y,z dxdy dz.最后计算定积分最后计算定积分 122zc ,czxoy 用过 点且平行于用过 点且平行于 1Vz把积分区域 向某轴 例如 轴 投影，得投把积分区域 向某轴 例如 轴 投影，得投 12c ,c影区间：影区间： 3zDfx,y,z dxdy 计算二重积分计算二重积分2.截面法截面法Vzdxdydz10zDzdzdxdy, 1(1)(1)2zDdxdyzz 1VzdxdydzVxyz.例3 计算三重积分，其中 为三个例3 计算三重积分，其中 为三个坐标面及平面所围成的闭区域坐标

9、面及平面所围成的闭区域解解 1201(1)2zz dz 原式原式124 1xyz截面面积截面面积4例例5 5222:1.zVe dv Vxyz 计计算算， 解解zzD 被积函数仅为 的函数，截面为圆域被积函数仅为 的函数，截面为圆域2zzVVe dve dv 上上102zzDe dzdxdy 1202(1)zze dz 2 . 2221xyz， 故采用“先二后一”法故采用“先二后一”法注注: 以上两例中被积函数只显含变量以上两例中被积函数只显含变量Z，故用，故用“先二后一先二后一”法更简法更简。截面面积截面面积例例6. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1)

10、,(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220二、三重积分在柱坐标系中的计算二、三重积分在柱坐标系中的计算0r, 02 , .z ( , , )M x y zMxoy设为空间内一点，并设点在面设为空间内一点，并设点在面规定规定：,Pr 上的投影 的极坐标为，则这样的三个数上的投影 的极坐标为，则这样的三个数 , ,rzM 就叫点的就叫点的柱面坐标柱面坐标cossinxr,yr,zz 柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与

11、直角坐标的关系为r为常数为常数z为常数为常数 为常数为常数圆柱面圆柱面；半平面半平面；平平 面面 用柱坐标系中的三组坐标面来分割闭区域用柱坐标系中的三组坐标面来分割闭区域V，, ,rzdr ddz对分别取得增量时所形成的对分别取得增量时所形成的小柱体的体积为极坐标小柱体的体积为极坐标rdrd 系中的面积元素系中的面积元素dz与乘积,于是柱坐标与乘积,于是柱坐标系中的体积元素为系中的体积元素为.dvrdrd dz ( , , )Vf x y z dv( cos , sin , ).Vf rrz rdrd dz 所以，柱坐标系中所以，柱坐标系中三重积分的计算公式为：三重积分的计算公式为：与直角坐标

12、系中一样，在柱坐标系中三重积分同与直角坐标系中一样，在柱坐标系中三重积分同样可化为对样可化为对, ,rz 的三次积分，一般总是先对的三次积分，一般总是先对z 积分，余下的二重积分就是极坐标系中的二重积分，余下的二重积分就是极坐标系中的二重积分，有时也可以先计算极坐标系中的二重积分，积分，有时也可以先计算极坐标系中的二重积分，再对再对z积分。积分。适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.解解22243rzrz 13z, r,知交线为知交线为22222134VIz

13、dxdydz,Vxyzxyz例计算其中 是抛物面例计算其中 是抛物面与球面所围的立体.与球面所围的立体.cossinxryrzz 由由24zr 23rz 3r 2243rzr22323400rrIddrr zdz 134. 03,02 .xyrD 例例2 计算计算22，Vxy dvV 其中 是由旋转抛物面其中 是由旋转抛物面221.zxyz与所围成的闭区域与所围成的闭区域221xyz01,02 .xyrD 解解21rz22Vxy dvVr rdrd dz 4.15 2211200rdr drdz 221zxy21zrz=0VVzdxdydzzrdrd dz 2211000rdrdrzdz 21

14、200112drrdr 4 例例3 计算计算222,:1,0.Vzdxdydz Vxyzz解解zz=rz=aaD解解222xyzzr, rza 0,02 .xyraD 224VIxydxdydz,V例计算其中 是锥面例计算其中 是锥面I 2200aardrdrr dz 302()arar dr 510a . 2220 xyzza a.与平面所围的立体与平面所围的立体三、三重积分在球面坐标系中的计算三、三重积分在球面坐标系中的计算Pxyzo()M x, y,z zyxA M x,y,zM设为空间内一点，则点可用三个有次设为空间内一点，则点可用三个有次,OM 序的数来确定，其中 为原点 与点间的序

15、的数来确定，其中 为原点 与点间的OMz距离， 为有向线段与 轴正向所夹的角， 为距离， 为有向线段与 轴正向所夹的角， 为zx从正 轴来看自 轴按逆时针从正 轴来看自 轴按逆时针OP方向转到有向线段的角，方向转到有向线段的角，PMxoy这里 为点在面上的投这里 为点在面上的投 影，这样的三个数, ,影，这样的三个数, ,M称为点的称为点的球面坐标球面坐标0, 02 . 0, 规定规定： 为常数为常数球面球面； 为常数为常数圆锥面圆锥面； 为常数为常数半平面半平面 , , sincos ,sinsin ,cos.xyz 记住此公式记住此公式直角坐标与球面坐标的关系为直角坐标与球面坐标的关系为M

16、xoyP,设点在面上的投影为设点在面上的投影为PxA,点 在 轴上的投影为点 在 轴上的投影为OAx, APy, PMz.则则Pxyzo()M x, y,z zyxA用球面坐标系中的坐标面来用球面坐标系中的坐标面来别取得增量别取得增量,ddd所形所形成的六面体，去掉高阶无成的六面体，去掉高阶无当作长方体，其当作长方体，其长为长为,d 宽为宽为sin,d 高为高为,d 于是体积元素于是体积元素dv 在球坐标系中为：在球坐标系中为：分割闭区域分割闭区域V，穷小后，可将这个六面体穷小后，可将这个六面体2sindvd d d 记住此体积元素记住此体积元素, , 由由 分分因此，得到球坐标系中三重积分的

17、计算公式因此，得到球坐标系中三重积分的计算公式( , , )Vf x y z dxdydz ( , , )Vf x y z dv 2(sincos ,sinsin ,cos )sin.Vfd d d 记住此计记住此计算公式算公式适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.2R 4 R例例1 计算计算222,Vxyz dVV其中 是由半球面其中 是由半球面 2220zRRxyR与锥面与锥面22zxy所围成的闭区域.所围成的闭区域.解解 在球坐标系中在球坐标系中222z

18、RRxy02cos ,0,402 .RV 2cos ,R22zxytan1 4 故故222Vxyz dV2sinVd d d 22cos34000sinRddd 44402sin4cosRd 482 .5R 2R 4 Rzz=rz=aaDcosa 222xyz4, : 0,cosaV 2222220VIxydxdydz,Vxyzza a.例计算其中 是锥面例计算其中 是锥面与平面所围的立体与平面所围的立体0, 02 ,4 za ,cosa 采用球面坐标采用球面坐标解解22()VIxydxdydz2434cos000sinaddd 5345012sin05 cosa()d 510a . R2xzR1y 32223cos,Vxyzdxdydz例计算例计算222221212:,0.VRxyzRRR其中其中12,0,02 .RRV 解 解 32cossinVId d d 2123200sincosRRddd 33214sinsin.3RR 解解4, 02 ,0,402 .aV 4 2a 22222242xyzazxy例求曲面与例求曲面与所围成的立体体积.所围成的立体体积.V由锥面与球面围成，采用球面坐标.由锥面与球面围成，采用球面坐标.22zxy 2 , a 22222xyza由由340( 2 )2sin3ad 34( 21)3a . 故体积故体积