[高等教育]人大版 微积分 第二章 两个重要的极限ppt课件

1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院rxdtdx:微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分第二章第二章 极限与延续极限与延续 数列极限数列极限 函数极限函数极限 变量极限变量极限 无穷大与无穷小无穷大与无穷小 极限的运算法那么极限的运算法那

2、么 两个重要的极限两个重要的极限 函数的延续性函数的延续性微积分2.6 2.6 两个重要的极限两个重要的极限NoImage微积分一、极限存在准那么1.夹逼准那么夹逼准那么准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3,2, 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 微积分,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上

3、两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准那么可以推行到函数的极限上述数列极限存在的准那么可以推行到函数的极限微积分准则准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .留意留意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy准那么准那么 I和准那么和准

4、那么 I称为夹逼准那么称为夹逼准那么.微积分证证由夹逼定理得由夹逼定理得0sinlim0 xx证明例例 xxx|sin|02|当0sinlim0|lim00 xxxx微积分证证由夹逼定理得由夹逼定理得0sinlim0 xx证明例例 xxx|sin|02|当0sinlim0|lim00 xxxx微积分0limcos1xx证明2221cos2sin2( )222xxxx证： 01-201lim02xx0lim 1 cos0 xx由夹逼性（）0limcos1xx微积分例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,

5、 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn微积分x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准那么单调有界准那么满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调添加单调添加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM微积分例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界

6、的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx微积分AC二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx弧于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 AoCAoBAoBSSS扇形易知：微积分, 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11

7、cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx111222sintanxxx微积分例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 微积分(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnn

8、nn1!)1()1( 微积分).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx类似地类似地,微积分!1! 2111nxn ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e1111 11 22 3(1)nn 111111 1 (1)()()2231nn 133n微积分x可以证明对于连续变量 ，也有：1lim 1)xxex（10lim 1)yyye或写成（微积分,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()1

9、11(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 微积分, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim微积分例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求

10、求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 微积分三、小结1.两个准那么两个准那么2.两个重要极限两个重要极限夹逼准那么夹逼准那么; 单调有界准那么单调有界准那么 .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 微积分思索题思索题求极限求极限 xxxx193lim 微积分思索题解答思索题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e微积分._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc微积分xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求以下各极限二、求以下各极限:nnnn)11(lim42 、微积分 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极