自考历年线性代数试题及答案

1、第一局部 选择题 (共28分)一、 单项选择题本大题共14小题，每题2分，共28分在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，那么行列式等于 A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，那么A-1等于 A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，那么A *中位于1，2的元素是 A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，那么必有 A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.3×4矩阵A的行向量组线性无关

2、，那么秩AT等于 A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，那么 A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0 C.有不全为0的数1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，那么A中 A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2

3、个解，那么以下结论错误的选项是 A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，那么必有 A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是 A.如存在数和向量使A=，那么是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，那么是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，那么1，2，3有可能线性相关

4、11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，那么必有 A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，那么以下结论错误的选项是 A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.那么 A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为 A.B. C.D.第二局部 非选择题共72分二、填空题本大题共10小题，每题2分，共20分不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填

5、均无分。15. .16.设A=，B=.那么A+2B= .17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式i,j=1,2,3,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量2，-3，5与向量-4，6，a线性相关，那么a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，假设1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，那么它的通解为 .20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，那么齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中

6、含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为2和3，那么向量+与-的内积+，-= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，A有2个特征值-1和4，那么另一特征值为 .23.设矩阵A=，=是它的一个特征向量，那么所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，那么其标准形为 .三、计算题本大题共7小题，每题6分，共42分25.设A=，B=.求1ABT；2|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；假设是，那么求出组合系数。29.设

7、矩阵A=.求：1秩A；2A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化以下二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明11=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； 20，1，2线性无关。答案：一、单项选择题本大题共14小题，每题2分，共28分1.D2.B3.B4.D5.C

8、6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题本大题共10空，每空2分，共20分15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)或2+c(2-1)，c为任意常数20. n-r21. 522. 223. 124. 三、计算题本大题共7小题，每题6分，共42分25.解1ABT=.2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·-2=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为2，1，1.解二 考虑4=x11+x22+x

9、33，即 方程组有唯一解2，1，1T，组合系数为2，1，1.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是30.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=2，-1，0T， 2=2，0，1T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=也可取T=.31.解 f(x1，x2，x3)=x1+

10、2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分32.证 由于E-AE+A+A2=E-A3=E，所以E-A可逆，且E-A-1= E+A+A2 .33.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.1A1=A0+1=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。2考虑l00+l11+l22=0，即 l0+l1+l20+l11+l22=0.那么l0+l1+l2=0，否那么

11、0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0，1，2线性无关。线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上。每题2分，共10分1. 假设，那么_。2假设齐次线性方程组只有零解，那么应满足 。 3矩阵，满足，那么与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足，那么 。二、判断正误正确的在括号内填“，错误的在括号内填“×。每题2分，共10分1. 假设行列式中每个元素都大于零，那么。 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。 3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，那么向量组线性相关

12、。 4. ，那么。 5. 假设为可逆矩阵的特征值，那么的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每题2分，共10分) 1. 设为阶矩阵，且，那么 。 42. 维向量组 3 £ s £ n线性无关的充要条件是 。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 以下命题中正确的选项是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。 假设，均可逆，那么可逆 假

13、设，均可逆，那么 可逆 假设可逆，那么 可逆 假设可逆，那么 ，均可逆5. 假设是线性方程组的根底解系，那么是的 解向量 根底解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每题9分，共63分)1. 计算行列式。解·2. 设，且 求。解. ，3. 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时，以下向量组线性相关？。5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设，求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)

14、假设是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1. × 2. 3. 4. 5. ×三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. 2. ，3. 4. 当或时，向量组线性相关。5. 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 那么 ，其中构成极大无关组，7. 特征值，对于11，特征向量为五、证明题， ?线性代数?复习提纲第一局部：根本要求计算方面四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算如有行和、列和相等；矩阵的运算包括加、

15、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算；求矩阵的秩、逆两种方法；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解包括唯一、无穷多解；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换正交矩阵将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二局部：根本知识一、行列式1行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。1它表示所

16、有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；2展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法那么；N阶n>=3行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比拟简单的一行列，保保存一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；2行列式值为0的几种情况：行列式某行列元素全为0；行列式某行列的对应元素相同；行列式某行列的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的根本概念表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对

17、角、对称矩阵等；2矩阵的运算1加减、数乘、乘法运算的条件、结果；2关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律假设ABBA，称A、B是可交换矩阵；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；假设A、B为同阶方阵，那么|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵的秩1定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；2秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵1定义：A、B为n阶方阵，假设ABBAI，称A可逆，B是A的逆矩阵满足半边也成立

18、；2性质：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A')-1=(A-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)注意顺序3可逆的条件： |A|0；r(A)=n; A->I;4逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵)初等变换法A:I->(施行初等变换)I:A-1 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，那么X=A-1B；XB=A，那么X=B(A-1)；AXB=C，那么X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n 有无

19、穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特别，假设为方阵，(1)|A|0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组1解的情况：r(A)=n，或系数行列式D0只有零解；r(A)<n，或系数行列式D0有无穷多组非零解。2解的结构：X=c11+c22+Cn-rn-r。3求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出根底解系；写出通解。3非齐次线性方程组1解的情况：利用判定定理。2解的结构：X=u+c11+c22+Cn-rn-r。3无穷多组

20、解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。4唯一解的解法：有克莱姆法那么、逆矩阵法、消元法初等变换法。四、向量组1N维向量的定义 注：向量实际上就是特殊的矩阵行矩阵和列矩阵。2向量的运算：1加减、数乘运算与矩阵运算相同；2向量内积'=a1b1+a2b2+anbn；3向量长度|='=(a12+a22+an2) ( 根号)4向量单位化(1/|)；5向量组的正交化施密特方法设1， 2，n线性无关，那么1=1，2=2-21/1*1，3=3-31/11*1-32/22*2，。3线性组合1定义假设=k11+k2 2+knn，那么称是向量组1， 2，n的一个线性组合，或称可以用向量组1， 2

21、，n的一个线性表示。2判别方法将向量组合成矩阵，记A(1， 2，n)，B=(1，2，n,)假设r (A)=r (B)，那么可以用向量组1， 2，n的一个线性表示；假设r (A)r (B)，那么不可以用向量组1， 2，n的一个线性表示。3求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，那么最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性1线性相关与线性无关的定义设 k11+k22+knn=0假设k1,k2,，kn不全为0，称线性相关；假设k1,k2,，kn全为0，称线性无关。2判别方法： r(1， 2，n)<n，线性相关；r(1， 2，n)=n，线性无关。假设有n个n维向量，

22、可用行列式判别：n阶行列式aij0，线性相关0无关 (行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩1定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩2求法设A(1， 2，n)，将A化为阶梯阵，那么A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义对方阵A，假设存在非零向量X和数使AXX，那么称是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|I-A|=0的根即为特征值，将特征值代入对应齐次线性方程组(I-A)X0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：1A可逆的充要条件是A的特征值不等于0

23、；2A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；3不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义对同阶方阵A、B，假设存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，那么称A与B相似。2求A与对角矩阵相似的方法与步骤求P和：求出所有特征值；求出所有特征向量；假设所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，那么A可对角化否那么不能对角化，将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型1定义n元二次多项式f(x1,x2,，xn)= aijxixj

24、称为二次型,假设aij=0(ij)，那么称为二交型的标准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性：1定义略；2正定的充要条件：A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0全国2021年1月高等教育自学考试试题局部说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，rA表示矩阵A的秩.一、单项选择题本大题共10小题，每题2分，共30

25、分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。 1.设行列式 A.B.1C.2D.2.设A，B，C为同阶可逆方阵，那么ABC-1= A. A-1B-1C-1B. C-1B-1A-1C. C-1A-1B-1D. A-1C-1B-13.设1，2，3，4是4维列向量，矩阵A=1，2，3，4.如果|A|=2，那么|-2A|= A.-32B.-4C.4D.324.设1，2，3，4 是三维实向量，那么 A. 1，2，3，4一定线性无关B. 1一定可由2，3，4线性表出C. 1，2，3，4一定线性相关D. 1，2，3一定线性无关5.向量组1=1，

26、0，0，2=1，1，0，3=1，1，1的秩为 A.1B.2C.3D.46.设A是4×6矩阵，rA=2，那么齐次线性方程组Ax=0的根底解系中所含向量的个数是 A.1B.2C.3D.47.设A是m×n矩阵，Ax=0只有零解，那么以下结论正确的选项是 A.mnB.Ax=b其中b是m维实向量必有唯一解C.rA=mD.Ax=0存在根底解系8.设矩阵A=，那么以下向量中是A的特征向量的是 A.1，1，1TB.1，1，3TC.1，1，0TD.1，0，-3T9.设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，3，那么1+2+3 = A.4B.5C.6D.710.三元二次型f x1，x2，x3=的矩阵

27、为 A.B.C.D.二、填空题本大题共10小题，每题2分，共20分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式=_.12.设A=，那么A-1=_.13.设方阵A满足A3-2A+E=0，那么A2-2E-1=_.14.实数向量空间V=x1,x2,x3|x1+x2+x3=0的维数是_.15.设1，2是非齐次线性方程组Ax=b的解.那么A52-41=_.16.设A是m×n实矩阵，假设rATA=5，那么rA=_.17.设线性方程组有无穷多个解，那么a=_.18.设n阶矩阵A有一个特征值3，那么|-3E+A|=_.19.设向量=1，2，-2，=2，a，3，且与正交，那么a=_.2

28、0.二次型的秩为_.三、计算题本大题共6小题，每题9分，共54分21计算4阶行列式D=.22.设A=，判断A是否可逆，假设可逆，求其逆矩阵A-1.23.设向量=3，2，求T101.24.设向量组1=1，2，3，6，2=1，-1，2，4，3=-1，1，-2，-8，4=1，2，3，2.1求该向量组的一个极大线性无关组；2将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.全国2021年4月高等教育自学考试线性代数经管类试题课程代码：04184一、单项选择题本大题共20小题，每题1分，共20分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.2阶

29、行列式=m ,=n ,那么= A.m-n B.n-m C.m+n D.-m+n2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，那么ABC= A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，那么行列式|B|A|之值为 A.-8 B.-2 C.2 D.84.A=，B=，P=，Q=，那么B= A.PA B.AP C.QA D.AQ5.A是一个3×4矩阵，以下命题中正确的选项是 A.假设矩阵A中所有3阶子式都为0，那么秩A=2 B.假设A中存在2阶子式不为0，那么秩A=2C.假设秩A=2，那么A中所有3阶子式都为

30、0 D.假设秩A=2，那么A中所有2阶子式都不为06.以下命题中错误的选项是 A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.向量组1,2,3线性无关，1,2,3，线性相关，那么 A.1必能由2,3，线性表出 B.2必能由1,3，线性表出 C.3必能由1,2，线性表出 D.必能由1,2,3线性表出8.设A为m×n矩阵，mn,那么齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩 A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n 9.设A为可逆矩阵，那么与A必有相同特征值的矩阵为

31、 A.AT B.A2 C.A-1 D.A*10.二次型fx1,x2,x3=的正惯性指数为 A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题本大题共10小题，每题2分，共20分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.12.设矩阵A=,B=,那么ATB=_.13.设4维向量3,-1,0,2T,=3,1,-1,4T，假设向量满足2=3，那么=_.14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=,那么|A-1|=_.15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，假设B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，那么|A|=_.16.齐次线性方程组的根底解系所含解向量的个数为_. 17.设n阶可逆

32、矩阵A的一个特征值是-3，那么矩阵必有一个特征值为_.18.设矩阵A=的特征值为4，1，-2，那么数x=_.19.A=是正交矩阵，那么a+b=_。20.二次型fx1, x2, x3=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_。三、计算题本大题共6小题，每题9分，共54分21.计算行列式D=的值。22.矩阵B=2，1，3，C=1，2，3，求1A=BTC；2A2。23.设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。24.矩阵A=，B=.1求A-1；2解矩阵方程AX=B。25.问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解在有无穷多解时，

33、要求用一个特解和导出组的根底解系表示全部解。26.设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=。四、证明题此题6分27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明A+B-1=A-1+B-1。全国2021年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。1.设3阶方阵A=1，2，3，其中i(i=1,2,3)为A的列向量，假设|B|=|1+22，2，3|=6，那么|A|= A.-12B.-6 C.6D.122计算行列式 A.-180B.-120C.120D.18

34、03设A=，那么|2A*|= A.-8B.-4C.4D.84.设1，2，3，4都是3维向量，那么必有A. 1，2，3，4线性无关B. 1，2，3，4线性相关C. 1可由2，3，4线性表示D. 1不可由2，3，4线性表示5假设A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的根底解系中解向量的个数为2，那么R(A)= A2B 3C4D56设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，那么 AA与B相似B|A|=|B|CA与B等价DA与B合同7设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0那么|A+2E|= A0B2C3D248假设A、B相似，那么以下说法错误的选项是 AA与B等价BA与B合同C|A|=|B|DA与B有

35、相同特征9假设向量=(1，-2，1)与= (2，3，t)正交，那么t= A-2B0C2D410设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，那么 AA正定BA半正定CA负定DA半负定二、填空题(本大题共10小题,每题2分，共20分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1l.设A=,B=，那么AB=_.12设A为3阶方阵，且|A|=3，那么|3A-l|=_.13三元方程x1+x2+x3=0的结构解是_.14设=(-1，2，2)，那么与反方向的单位向量是_15设A为5阶方阵，且R(A)=3，那么线性空间W=x|Ax=0的维数是_16设A为3阶方阵，特征值分别为-2，l，那么|5A-1|=

36、_17假设A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，假设R(A)=3，那么R(AB)=_18二次型f(x1，x2，x3)=-2x1x2+-x2x3所对应的矩阵是_.19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=，2=，且R(A)=2,那么Ax=b的通解是_.20.设=，那么A=T的非零特征值是_.三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)21计算5阶行列式D= 22.设矩阵X满足方程X=求X.23.求非齐次线性方程组的结构解.24.求向量组1=1，2，3，4，2=0，-1，2，3，3=2，3，8，11，4=2，3，6，8的秩.25.A=的一个特征向量=1，1，-1T，求a,b及所对应的特征值，

37、并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=为标准形，并写出所用的正交变换.四、证明题本大题共1小题，6分27设1，2，3是齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系.证明1，1+2，2+3也是Ax=0的根底解系.全国2021年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分,共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多

38、项选择或未选均无分。1.设A为3阶矩阵,|A|=1,那么|-2AT|=( )A.-8 B.-2 C.2 D.82.设矩阵A=,B=(1,1),那么AB=( )A.0 B.(1,-1) C. D. 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,那么以下矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,那么A-1= ( )A. B. C. D. 5.以下矩阵中不是初等矩阵的是( )A. B. C. D. 6.设A,B均为n阶可逆矩阵,那么必有( )A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7.设向量组1=(1,2), 2

39、=(0,2),=(4,2),那么 ( )A. 1, 2,线性无关 B. 不能由1, 2线性表示C. 可由1, 2线性表示,但表示法不惟一 D. 可由1, 2线性表示,且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,那么齐次线性方程组(E-A)x=0的根底解系所含解向量的个数为( )A.0 B.1 C.2D.39.设齐次线性方程组有非零解,那么为( )A.-1 B.0 C.1 D.210.设二次型f(x)=xTAx正定,那么以下结论中正确的选项是( )A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零二、

40、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.12.A=,那么|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13.设矩阵A=,P=,那么AP3=_.14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,那么|A-1B|=_.15.向量组1,=(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关,那么数k=_.16.Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, 1, 2, 3为该方程组的3个解,且那么该线性方程组的通解是_.17.P是3阶正交矩,向量_.18.设2是矩阵A的一个特征值,那么矩阵3A必有一个特征值为_.19

41、.与矩阵A=相似的对角矩阵为_.20.设矩阵A=,假设二次型f=xTAx正定,那么实数k的取值范围是_.三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)21.求行列式D=22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.23.假设向量组的秩为2,求k的值.24.设矩阵(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.四、证明

42、题(此题6分)27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.全国2021年1月一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无1设A是4阶方阵，且det(A)=4，那么det(4A)=( )A44B45C46D472A2+A+E=0，那么矩阵A-1=( )AA+EBA-EC-A-ED-A+E3设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，那么矩阵X=( )AA-1CB- BCA-1B-1 CB-1A-1CDCB-1A-14设A是s×n 矩阵(sn)，那么以

43、下关于矩阵A的表达正确的选项是( )AATA是s×s对称矩 BATA=AAT C(ATA)T =AAT DAAT是s×s对称矩阵5设1，2，3，4，5是四维向量，那么( )Al，2，3，4，5一定线性无关Bl，2，3，4，5一定线性相关C5一定可以由1，2，3，4线性表出D1一定可以由2，3，4，5线性表出6设A是n阶方阵，假设对任意的n维向量X均满足AX=0，那么( )AA=0BA=EC秩(A)=nD0<秩(A)<n7设矩阵A与B相似，那么以下结论不正确的选项是( )A秩(A)=秩(B) BA与B等价CA与B有相同的特征值DA与B的特征向量一定相同8设，为矩阵

44、A=的三个特征值，那么=( )A10B20C24D309二次型f(x1，x2，x3)=的秩为( )A1B2C3D410设A，B是正定矩阵，那么( )AAB一定是正定矩阵BA+B一定是正定矩阵C(AB)T一定是正定矩阵DA-B一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)11设A=，k为正整数，那么Ak= 12设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，那么矩阵A=_13设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，那么detAB=_.14设向量=(6, -2, 0, 4), =-3，1，5，7，向量满足2+=3,那么=_.15实数向量空间V=(x1, x2, , xn)|3 x1+ x2+

45、xn =0的维数是_16矩阵A=的秩=_.17设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，那么A3=_.18设方阵A有一个特征值为0，那么det(A3)=_.19设P为正交矩阵，假设Px, Py=8, 那么x, y=_.20设f(x1，x2，x3)=是正定二次型，那么t满足_.三、计算题本大题共6小题，每题9分，共54分21计算行列式22判断矩阵A=是否可逆，假设可逆，求其逆矩阵23求向量组=(1，2，-1，-2),=(2，5，-6，-5),=(3，1，1，1), =(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来24求齐次线性方程组的一个根底解系及其结构解25求矩阵A=的特征值和特征向量26写出以下二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型f(x1，x2，x3)=四、证明题(本大题共1小题，6分)27设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0全国2021年4月高等教育自学