2.1有理函数积分(1)ppt课件

1、 西安交通大学理学院西安交通大学理学院魏平魏平第四章 不定积分42 有理函数的积分两类两类积得出的积分积得出的积分1 1、有理函数的积分、有理函数的积分2 2、三角函数有理式的积分、三角函数有理式的积分连续函数的积分一定存在214sin, , , 1xxxdxedxdxe dxxx积不出的意思是其原函数不能表示成初等函数，或不能表示成有限形式。但有些连续函数的原函数却积不出来。如：( )1. ( )( )mnP xR xQ x2.任何有理真分式可以化为部分分式,Axa2, , ,40, 1A M N a p qpqk均为常数，一、有理函数的积分一、有理函数的积分11101110mmmmnnnn

2、b xbxb xba xaxa xa有理函数有理函数()mn有理真分式mn有理假分式多项式有理真分式,()kAxa2, MxNxpxq2 ()kMxNxpxq11) dxxaln |xaC12) ()kdxxa11(1)()kCkxa222224()24pqpxpxqxt对于后两积分要先对分母进行配方23) MxNdxxpxq22424pqptx3.考察上述四个积分2222()2tdtMpdtMNtt22tdtt221ln()2tC22dtt1arctantC22()ktdtt22112(1)()kCk t22()kdtt至此，有理函数积分都是可以积得出的！至此，有理函数积分都是可以积得出的！

3、1化分式为有理真分式；化分式为有理真分式；2化有理真分式为部分分式；化有理真分式为部分分式；3求出各个简单分式的积分。求出各个简单分式的积分。122211232(1)()1kkxkIkxk基本步骤基本步骤24) ()kMxNdxxpxq22424pqptx2222()()2()kktdtMpdtMNtt例221()nnIdxxa解221()nnIdxxa22221()()nnxxdxaxa2222212()()nnxxndxxaxa222222212()()nnxxaandxxaxa222222211122()()()nnnxndxnadxxaxaxa212222()nnnnxInIna Ix

4、a12222212()2nnnxnIInaxana122211232(1)()1nnxnIanxan23223.22xxdxxxx求解解3222xxx(1)(1)(2)xxx2322322xxxxx设223xx1 x 令得：1 x 令得：2 x 令得：111112dxdxdxxxx原积分ln |1|x 例例1 1( )nQ x (1)(2)(1)(2)(1)(1)A xxB xxC xx112ABCxxx 661BB 221AA 331CCln |1|xln |2|xC31dxx 321111ABxCxxxx设21(1)()(1)A xxBxCx11133xAA 令得2013xACC令得111

5、2()3xABCB 令得21123131dxxdxxxx221xdxxx21dxxx221arctan33xC例2解2121 321xdxxx 2213ln |1|221dxxxxx31dxx1ln13x21ln |1|6xx321arctan33xC213()24dxx422221(1)xxxdxx x2222(1)(1)xxdxx x2211(1)dxdxxx21lnarctan22(1)xxxCx例3解21212(1)2xIIx1arctanIxC422221(1)xxxdxx x 例428(1)xdxx281(1)xttdtt 678(2)tttdt567111537tttC 解128

6、(1)xdxx5671115(1)3(1)7(1)Cxxx 解228(1)xdxx281 1(1)xdxx 7811(1)(1)xdxdxxx678121(1)(1)(1)dxdxdxxxx(sin ,cos ), Rxx dxR 有理函数解法：解法：1一些题可以通过三角变换用简便方法积出；2可以通过变量替换万能公式化为有理函数的积分.tan(),2xtx令2222222sin cossincossinxxxxx (sin ,cos )Rxx dx 二、三角函数有理式二、三角函数有理式的积分的积分22222222cossin coscossinxxxxx2222212(,)111ttRdttt

7、t2arctan ,xt22sin, 1txt221os 1 ctxt221dtdxt1 sin1 cosxdxx22212(1)ttdttt 2212()(1)dtttt22112()1tdtdtdtttt212ln | |ln(1)ttCt 另解另解1 sin1 cosxdxx21sin1 cos2cos2xdxdxxx2( cos )sec( )221 cosxxdxdxtanln 1 cos2xxC解例52tanxt 222212111211ttttdtt2cot2ln | tan|ln(1tan)222xxxCcoscos2sinxdxxx112tandxx2tan1121txdtt

8、t21412()5121tdttt2ln |12 |5t1arctan5t21ln(1)5tC解解21coscos2sinxIdxxx令2sin,cos2sinxIdxxx1212IIdxxC则122cossin2cos2sinxxIIdxxx2ln |cos2sin|xxC11(2ln|cos2sin|)5IxxxC联立解得例62ln |12tan|5x5x21ln(1tan)5xC解解1cos2(1)cossinxdxxx2sec(2)()1tanxdxx(cossin )(cossin )cossinxxxxdxxx(cossin )xx dx22sec(2)(1tan )xdxx例7解22cossin(1)cossinxxdxxxsincosxxC 21(tan1)(1tan )dxx11tanCx 11xdxx11xtx令222214, 1(1)ttxdxdt